Импульс тела. импульс силы. закон сохранения импульса

Работа как мера изменения энергии

Если система тел может совершать работу, то она обладает энергией.

Работа и изменение кинетической энергии (теорема о кинетической энергии)

Если под действием силы тело совершило перемещение и вследствие этого его скорость изменилась, то работа силы равна изменению кинетической энергии.
Силы, работа которых не зависит от формы траектории, называются консервативными.

Работа и изменение потенциальной энергии тела, поднятого над землей

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком.

Работа и изменение потенциальной энергии упруго деформированного тела

Работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком.

Основные теоретические сведения

Импульс тела

Импульсом (количеством движения) тела называют физическую векторную величину, являющуюся количественной характеристикой поступательного движения тел. Импульс обозначается р. Импульс тела равен произведению массы тела на его скорость, т.е. он рассчитывается по формуле:

Направление вектора импульса совпадает с направлением вектора скорости тела (направлен по касательной к траектории). Единица измерения импульса – кг∙м/с.

Изменение импульса одного тела находится по формуле (обратите внимание, что разность конечного и начального импульсов векторная):

где: pн – импульс тела в начальный момент времени, pк – в конечный. Главное не путать два последних понятия.

Абсолютно упругий удар – абстрактная модель соударения, при которой не учитываются потери энергии на трение, деформацию, и т.п. Никакие другие взаимодействия, кроме непосредственного контакта, не учитываются. При абсолютно упругом ударе о закрепленную поверхность скорость объекта после удара по модулю равна скорости объекта до удара, то есть величина импульса не меняется. Может поменяться только его направление. При этом угол падения равен углу отражения.

Абсолютно неупругий удар – удар, в результате которого тела соединяются и продолжают дальнейшее своё движение как единое тело. Например, пластилиновый шарик при падении на любую поверхность полностью прекращает свое движение, при столкновении двух вагонов срабатывает автосцепка и они так же продолжают двигаться дальше вместе.

Закон сохранения импульса

При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние силы со стороны других тел, такая система называется замкнутой.

В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой. Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения импульса (ЗСИ). Следствием его являются законы Ньютона. Второй закон Ньютона в импульсной форме может быть записан следующим образом:

Как следует из данной формулы, в случае если на систему тел не действует внешних сил, либо действие внешних сил скомпенсировано (равнодействующая сила равна нолю), то изменение импульса равно нолю, что означает, что общий импульс системы сохраняется:

Аналогично можно рассуждать для равенства нулю проекции силы на выбранную ось. Если внешние силы не действуют только вдоль одной из осей, то сохраняется проекция импульса на данную ось, например:

Аналогичные записи можно составить и для остальных координатных осей. Так или иначе, нужно понимать, что при этом сами импульсы могут меняться, но именно их сумма остается постоянной. Закон сохранения импульса во многих случаях позволяет находить скорости взаимодействующих тел даже тогда, когда значения действующих сил неизвестны.

Сохранение проекции импульса

Возможны ситуации, когда закон сохранения импульса выполняется только частично, то есть только при проектировании на одну ось. Если на тело действует сила, то его импульс не сохраняется. Но всегда можно выбрать ось так, чтобы проекция силы на эту ось равнялась нулю. Тогда проекция импульса на эту ось будет сохраняться. Как правило, эта ось выбирается вдоль поверхности по которой движется тело.

Многомерный случай ЗСИ. Векторный метод

В случаях если тела движутся не вдоль одной прямой, то в общем случае, для того чтобы применить закон сохранения импульса, нужно расписать его по всем координатным осям, участвующим в задаче. Но решение подобной задачи можно сильно упростить, если использовать векторный метод. Он применяется если одно из тел покоится до или после удара. Тогда закон сохранения импульса записывается одним из следующих способов:

В этих формулах буквой υ обозначены скорости тел до соударения, а буквой u обозначены скорости тел после соударения. Из правил сложения векторов следует, что три вектора в этих формулах должны образовывать треугольник. Для треугольников применяется теорема косинусов. Если правильно записать соответствующую теорему косинусов, то зачастую получается уравнение из которого можно найти нужную величину. Однако, иногда к правильно записанной теореме косинусов еще нужно будет добавить правильно записанный закон сохранения энергии (смотрите следующий раздел). В этом случае получится система уравнений из которых наверняка можно будет найти нужную величину.

Законы сохранения. Работа и мощность. (теория и формулы для ЕГЭ)

Законы сохранения

Импульсом тела (материальной точки) называют произведение массы тела на вектор его скорости. Единица модуля импульса тела – 1 кг·м/c.

Импульсом силы называют произведение вектора скорости на интервал времени её действия ∆t. Единица модуля импульса силы – 1 кг·м/c.

                   = Н·м.

Ударом (или столкновением) принято называть кратковременное взаимодействие тел, в результате которого их скорости испытывают значительные изменения.

Абсолютно упругим ударом  называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия  системы тел.

Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие, при котором тела соединяются  друг с другом  и              движутся дальше как одно тело.  Механическая энергия не сохраняется (она частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел).

Закон сохранения импульса.

Замкнутая (изолированная) система – система тел, взаимодействующих только между собой и не взаимодействующих с телами, не входящими в эту систему.

Закон сохранения импульса: векторная сумма импульсов тел, составляющих  замкнутую систему, не изменяется.

Энергия – скалярная физическая величина, являющаяся мерой способности тела (или системы тел) совершить работу. Существует кинетическая и потенциальная энергия.

Закон сохранения энергии в механических процессах – сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой силами тяготения и силами упругости, остается неизменной.

Е = Еk1 + Ep1 = Еk2 + Ep2 = const              при Fтр = 0

Если Fтр≠ 0, механическая энергия переходит во внутреннюю (тепловую)  энергию тела:

Q = Е2 – Е1,  где Q =Атр

Понятие потенциальной энергии можно ввести только для сил, работа которых не зависит от траектории движения тела и определяется только начальным и конечным положениями. Такие силы называются консервативными (силы тяжести и силы упругости)

 Работа силы.

Механической  работой A, совершаемой постоянной силой, называется скалярная физическая величина, равная произведению модулей силы и перемещения, умноженному на косинус угла α между векторами силы и перемещения.        

                  А = F∙s∙cos α                      = Дж                                1Дж =1Н∙1м

 Работа зависит от угла α.

Работа силы  тяжести не зависит от формы траектории и равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком.Атяж. = mg(h1 – h2) =  — ( mgh1 — mgh2) = — (Ер2 – Ер1)

Работа силы  тяжести по замкнутой траектории равна нулю.

Мощность – скалярная физическая величина, равная отношению совершенной работы к промежутку времени, за который она совершена.

Коэффициент полезного действия механизмов КПД – величина, равная отношению полезной работы к полной работ, выраженная в процентах.

1 файл(ы) 316.72 KB

Конспект урока «Законы сохранения. Работа и мощность. Теория и формулы для ЕГЭ».

Еще конспекты для 10-11 классов:

Импульс сохраняется, на примере бильярдных шаров

Предположим, мы склонились над гладким бильярдным столом и смотрим на него сверху. Рассмотрим три бильярдных шара на столе (рис. 1). Массы шаров одинаковые.

\( m_{1} = m_{2} = m_{3}\)

Рис. 1. Шар 1 движется по направлению к покоящимся шарам 2 и 3

Шары под номерами 2 и 3 покоятся. Значит, их начальные скорости и импульсы равны нулю.

Шар №2: \( \vec{v_{2\text{до}}} = 0\),  импульс \( \vec{p_{2\text{до}}} = 0\)

Для третьего шара \( \vec{v_{3\text{до}}} = 0\) и \( \vec{p_{3\text{до}}} = 0\)

Еще один шар движется со скоростью \( \vec{v_{1\text{до}}} \) по направлению к шарам 2 и 3.

Его вектор импульса обозначен \( \vec{p_{1\text{до}}} \) на рисунке.

Сложим импульсы всех шаров, чтобы найти общий вектор импульса системы

\

\

То есть, импульс первого шара равен импульсу всех шаров системы (рис. 2) до удара

\

Рис. 2. До удара вектор импульса системы шаров равен вектору импульса первого шара

Во время удара шар 1 подействовал на шары 2 и 3 силой и передал им импульс.

После удара шар под номером 1 остановился, а шары 2 и 3 пришли в движение.

Примечание: в бильярде иногда бывает такое, шар передает свой импульс полностью шару, о который он ударяется.

Направления, в которых двигаются шары 2 и 3, указаны векторами их импульсов \( \vec{p_{2\text{после}}} \) и \( \vec{p_{3\text{после}}} \) на рисунке 3.

Рис. 3. После удара шар 1 остановился, шары 2 и 3 пришли в движение, стрелками указано направление движения шаров

Рассмотрим векторы импульсов шаров 2 и 3 подробнее. Совместим их начала и дорисуем параллелограмм (рис. 4), чтобы сложить импульсы \( \vec{p_{2\text{после}}} \) и \( \vec{p_{3\text{после}}} \).

Рис. 4. Совместим начала векторов импульса шаров 2 и 3 после удара для их сложения

В результате сложения получим вектор, обозначенный на рисунке 5 красной стрелкой и символом \( \vec{p_{\text{общ.после}}} \)

Рис. 5. Общий вектор импульса системы получим, складывая векторы импульса шаров 2 и 3 после удара

Сравним векторы \( \vec{p_{\text{общ.до}}} \) и \( \vec{p_{\text{общ.после}}} \). Как видно из рисунка 6, у векторов совпадают длины и направления. Если у векторов совпадают обе характеристики, то векторы равны. О равенстве векторов подробно написано тут.

Рис. 6. Сравнивая вектор импульса системы до удара с вектором импульса системы послу удара обнаружим их равенство

Запишем математически равенство векторов:

\.

Это выражение и есть закон сохранения импульса.

Сохранение импульса в механике Ньютона

Закон сохранения количества движения следует непосредственно из второй и третьей аксиом Ньютона . Согласно второй аксиоме Ньютона, изменение количества движения тела с течением времени равно действующей на него внешней силе . Этот закон, также называемый законом количества , гласит:
п→˙{\ displaystyle {\ dot {\ vec {p}}}}п→{\ displaystyle {\ vec {p}}}Ф.→{\ displaystyle {\ vec {F}}}

п→˙знак равноФ.→{\ displaystyle {\ dot {\ vec {p}}} = {\ vec {F}}}.

Если нет внешних сил, согласно третьей аксиоме Ньютона ( «actio = reactio» ) должна быть одинаковая большая, но противоположная сила (так называемая противодействующая сила) для каждой силы ; Следовательно, векторная сумма этих двух сил равна нулю. Поскольку это относится ко всем силам, векторная сумма всех сил, возникающих в системе, и, следовательно, также изменение общего количества движения равно нулю. Таким образом применяется

Ф.→знак равно∑язнак равно1пФ.→язнак равно∑язнак равно1пп→˙язнак равноп→˙знак равно→{\ displaystyle {\ vec {F}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ vec {F}} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ dot {\ vec {p}}} _ {i} = {\ dot {\ vec {p}}} = {\ vec {0}}},

поэтому полный импульс — постоянный вектор. Если импульс зависит только от скорости, это означает, что центр масс движется с постоянной скоростью.
п→{\ displaystyle {\ vec {p}}}

Сохранение количества движения также эквивалентно утверждению, что центр тяжести системы движется с постоянной скоростью и направлением без внешней силы (это обобщение первой аксиомы Ньютона, которая изначально была сформулирована только для отдельных тел).

Теорема Штейнера о параллельном переносе оси вращения

Рассмотрим случай, когда твердое тело движется вокруг некоторой неподвижной оси. Момент инерции этого тела инерции I можно выразить через момент инерции IC этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой.

Рисунок 6. К доказательству теоремы о параллельном переносе оси вращения.

Пример 2

Для примера возьмем твердое тело, форма которого произвольна. Обозначим центр масс С. Выберем систему координат ХУ с началом координат . Совместим центр масс и начало координат.

Одна из осей проходит через центр масс С. Вторая ось пересекает произвольно выбранную точку Р, которая расположена на расстоянии d от начала координат. Выделим некоторый малый элемент массы данного твердого тела Δmi.

По определению момента инерции:

IC=∑∆mi(xi2+yi2),IP=∑mi(xi-a)2+yi-b2

Выражение для IP можно переписать в виде:

IP=∑∆mi(xi2+yi2)+∑∆mi(a2+b2)-2a∑∆mixi-2b∑∆miyi.

Два последних члена уравнения обращаются в нуль, так как начало координат в нашем случае совпадает с центром масс тела.

Так мы пришли к формуле теоремы Штейнера о параллельном переносе оси вращения.

Теорема 2

Для тела, которое вращается относительно произвольной неподвижной оси, момент инерции, согласно теореме Штейнера, равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

IP=IC+md2,

где m – полная масса тела.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Рисунок 7. Модель момента инерции.

На рисунке ниже изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.

Рисунок 8. Моменты инерции IC некоторых однородных твердых тел.

Примеры решения, формулы и задачи

Решение задач Лекции
Расчёт найти определения Учебник методические указания

а или M = M ‘+ . (9.4) Эта формула Поскольку целое является стационарным (то есть P = 0), момент не зависит от выбора источника. Конечно, эта неопределенность в своем значении не влияет на закон сохранения импульса. Это потому, что импульс остается в замкнутой системе.

Также выведите формулу, относящуюся к значению момента Две разные инерциальные системы отсчета K импульсов А К ‘, второй движется относительно первого V. Система К а Соответствует 1 в какой-то момент. Далее радиус-вектор Частицы в обеих системах одинаковы, но скорость связана ва = + V.

Таким образом, м = х) ша = х) рна + у, ма — а Первая сумма в правой части уравнения — системный момент M ‘ Вводя радиус-вектор центра инерции во вторую сумму меня K ф \ Согласно (8.3) M = M ‘+ q . (9.5) , Аналогичные правила для импульса и энергии задаются уравнениями (8.1) и (8.5).

Если это система отсчета K1 Поскольку все системы в целом статичны, V — это скорость последнего центра инерции, а yi — его полный импульс P (относительно K). тогда M = M ‘+ . (9.6) Другими словами, момент импульса М механической системы Составленные из ее «Моих моментов» и системы отсчета, где она отдыхает, Моменты связаны Ноги с движением в целом.

Закон сохранения всех трех элементов моментов (отн. (Для любого происхождения) делается только для закрытых систем. В более ограниченной форме этот закон может также применяться к системам во внешних полях. Из приведенного выше вывода всегда Проекция момента на такую ​​ось, заданная Поскольку поле симметрично, механические свойства системы не изменяются при вращении вокруг этой оси.

В этом случае, конечно, момент должен быть определен со ссылкой на несколько точек (начала координат) на одной оси. Наиболее важным случаем такого рода является поле цены. Тралларская симметрия, т. Е. Поле, потенциальная энергия которого зависит только от определенного расстояния Точка в пространстве (центр).

Очевидно, когда вы переезжаете Такое поле удерживает проекцию момента на ось через центр. Другими словами, вектор М Момент, но не определяется в любой момент Относительно пространства и полевого центра. Другой пример: однородное поле вдоль оси z, в котором сохраняется проекция моментов Mz, и начало координат можно выбрать произвольно.

Проекция момента на любую ось я) можно найти, дифференцируя функцию Лагранж по церемониям ш. «(9 -7) но Где координата cp — угол поворота вокруг оси z. Очевидно Из сущности приведенного выше вывода о сохранении метода уже Однако то же самое можно подтвердить прямым расчетом.

Для цилиндрических координат r, cp, z, (xa = = r a cosFa, уа = ra sinfa): = /// ,, (.J’aila Wa & a) = Тем не менее, С другой стороны, лагранжева функция этих переменных как L = 2aE ++ + k1) до Кроме того, если вы замените его уравнением (9.7), оно будет таким же уравнением (9.8). Задание 1.

Уравнение декартовой составляющей и абсолютное значение момента импульса частицы в цилиндрических координатах r, (p, z Ответ: Mx = t sin <p (rz-zr) -mrzdp cos (p, My = mn cos (p (zr-rz) -mrzip sin (p, Mz = mr2 f, M2 = m 2r 2 (* p2 (/ r2-. \ -Z2) \ — \ | -m2 [/r.z-zr) * \ 2. 2. Сферические координаты r, 0, (с. Ответ: Mx = —tr2 (0 sin sr + φsin 0 cos 0 cos sr), My = mr2 (0 cos cp-φsin 0 cos 0 sin cp), Mz = mr2 sin2 0 • f, M 2 = _ m 2 r 4 ((r0 \ l + I s • m 2 / -0 »•• ф2 ). 3.

Какие составляющие импульса P и момента M сохраняются Следующее поле: а) Бесконечно однородное поле. Ответ: Px, Ru, Mz (бесконечная плоскость-xy). б) Бесконечное однородное цилиндрическое поле. Ответ: Mz, Pz (ось цилиндра-ось z). в) Бесконечное однородное призменное поле. Ответ: Pz (край призмы параллелен оси z). г) двухточечное поле.

Ответ: Mz (точки на оси z). д) бесконечное однородное поле полуплоскости. Ответ: Ru (бесконечная полуплоскость-часть плоскости XY, демон отключено по оси Y). е) однородное коническое поле. Ответ: Mz (ось конуса является осью z). г) Равномерное круговое торическое поле. Ответ: Mz (ось тора-ось z). з) Бесконечное однородное цилиндрическое спиральное поле. Решения.

Лагранжевы функции не меняются при вращении вокруг оси Винт (ось z) под углом 6 (p и двигаться вдоль этой оси одновременно Стоя -6 (p (шаг винта h). 2р «= F fa + Ј» ‘= (p4 + M *) 6 <p = °’ Откуда Mz + ^ -Pz = const

Сохранение импульса в механике Ньютона

Закон сохранения количества движения помогает понять поведение Колыбель Ньютона

В закрытая система (тот, который не обменивается материей с окружающей средой и не подвергается действию внешних сил), общий импульс постоянен. Этот факт, известный как закон сохранения количества движения, подразумевается Законы движения Ньютона. Предположим, например, что взаимодействуют две частицы. Из-за третьего закона Ньютона силы между ними равны и противоположны. Если частицы пронумерованы 1 и 2, второй закон гласит, что F1 = дп1dt и F2 = дп2dt. Следовательно,

dп1dт=−dп2dт,{ displaystyle { frac {dp_ {1}} {dt}} = — { frac {dp_ {2}} {dt}},}

с отрицательным знаком, указывающим, что силы противостоят. Эквивалентно,

ddт(п1+п2)={ displaystyle { frac {d} {dt}} left (p_ {1} + p_ {2} right) = 0.}

Если скорости частиц равны ты1 и ты2 до взаимодействия, а после они v1 и v2, тогда

м1ты1+м2ты2=м1v1+м2v2.{ displaystyle m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2} = m_ {1} v_ {1} + m_ {2} v_ {2}.}

Этот закон выполняется независимо от того, насколько сложна сила между частицами. Точно так же, если есть несколько частиц, импульс, которым обмениваются каждая пара частиц, в сумме равен нулю, поэтому общее изменение импульса равно нулю. Этот закон сохранения применяется ко всем взаимодействиям, включая столкновения и разъединения, вызванные взрывными силами. Его также можно обобщить на ситуации, когда законы Ньютона не выполняются, например, в теория относительности И в электродинамика.

4. Движение тела переменной массы.

, реактивной силон уравнение движения тела переменной массы, формулой Циолковского.,, 2)Моментом силы относительно неподвижной точкиОАпсевдовектор,.О — плечо силы.Моментом силы относительно неподвижной осискалярная, О.,В,В..1,2. ,птоломеевой геоцентрической системыгелиоцентрическая система их гравитационной силон всемирного тяготения). гравитаци­онной постоянной. же крутильные весыАВ..,АВ., работы силы.прямолинейно,,(), Элементарной работойскалярная,2.А,N —скалярная. ваттКинетическая энергия, ,,Потенциальная энергияпотенциальными, консервативными. диссипативной; градиентом скаляра . оператором набла-оператором:,(кинетическая энергия всегда положительна!).),.х; коэффициент упругости жесткость),х., , закон сохранения механической энергии:энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.физическая сущность однородностью времени. диссипативные системы, диссипации рассеяния) энергии. количественногокачественную

Упругий и неупругий удар

В качестве примера рассмотрим абсолютно упругое и абсолютно неупругое столкновения:

Абсолютно упругое столкновение — столкновение, при котором сохраняется механическая энергия сталкивающихся тел (тела разлетаются в стороны).

Абсолютно неупругое столкновение — столкновение, при котором сталкивающиеся тела слипаются в одно целое.

Абсолютно упругое столкновение 

Тело движущееся с одной скоростью врезается в тело движущееся с другой. Тела двигаются в одном направлении. Удар — абсолютно упругий. Внешнии силы отсутствуют или скомпенсированы.

Поскольку считается, что внешнии силы отсутствуют, то выполняется закон сохранения импульса в векторной форме:

В векторной форме не учитываются направления векторов (в уравнении везде плюсы). Для того, чтобы отыскать любую из скоростей можно записать его в виде:

Для получения модулей векторов скоростей (числовое значение скоростей), нужно спроектировать все вектора на горизонтальную ось ОХ. Так как все скорости целиком находятся на горизонтальной оси ОХ, то длина проекций всех векторов полностью равна длинам этих векторов. 

Поэтому можно убрать значки векторов и записать в следующем виде:

Поскольку скорость V1| направлена против оси ОХ в ее проекции появляется знак минус.

С помощью последней формулы мы можем найти все величины и скоростей, и масс, в зависимости от того, что дано в условии.

Абсолютно неупругое столкновение

Тело движущееся с одной скоростью врезается в тело движущееся с другой. Тела двигались в одном направлении. Удар — абсолютно неупругий. Внешнии силы отсутствуют или скомпенсированы.

Все тоже самое. Поскольку считается, что внешнии силы отсутствуют, то выполняется закон сохранения импульса в векторной форме.

Масса после удара двух тел — общая потому, что тела слиплись в результате неупругого соударения (по условию):

Скорости также направлены вдоль оси ОХ, поэтому:

Откуда также можем найти все величины и скоростей, и масс, в зависимости от того, что дано в условии.

Основные понятия и законы кинематики

кинематикойМеханическим движениемСистемой отсчётаТелом отсчётаМатериальной точкойТраекториейпрямолинейноекриволинейное
Путь — это длина траектории, которую описывает материальная точка за данный промежуток времени. Это скалярная величина.Перемещение — это вектор, соединяющий начальное положение материальной точки с её конечным положением (см. рис.).

Очень важно понимать, чем путь отличается от перемещения. Самое главной отличие в том, что перемещение — это вектор с началом в точке отправления и с концом в точке назначения (при этом абсолютно неважно, каким маршрутом это перемещение совершалось)

А путь — это, наборот, скалярная величина, отражающая длину пройденной траектории.

Равномерным прямолинейным движением называют движение, при котором материальная точка за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещенияСкоростью равномерного прямолинейного движения называют отношение перемещения ко времени, за которое это перемещение произошло:

Для неравномерного движения пользуются понятием средней скорости. Часто вводят среднюю скорость как скалярную величину. Это скорость такого равномерного движения, при котором тело проходит тот же путь за то же время, что и при неравномерном движении:

Мгновенной скоростью называют скорость тела в данной точке траектории или в данный момент времени.Равноускоренное прямолинейное движение — это прямолинейное движение, при котором мгновенная скорость за любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину

Ускорением

Зависимость координаты тела от времени в равномерном прямолинейном движении имеет вид: x = x + Vxt, где x — начальная координата тела, Vx — скорость движения.Свободным падением называют равноускоренное движение с постоянным ускорением g = 9,8 м/с2, не зависящим от массы падающего тела. Оно происходит только под действием силы тяжести.

Скорость при свободном падении рассчитывается по формуле:
Перемещение по вертикали рассчитывается по формуле:

Одним из видов движения материальной точки является движение по окружности. При таком движении скорость тела направлена по касательной, проведённой к окружности в той точке, где находится тело (линейная скорость). Описывать положение тела на окружности можно с помощью радиуса, проведённого из центра окружности к телу. Перемещение тела при движении по окружности описывается поворотом радиуса окружности, соединяющего центр окружности с телом. Отношение угла поворота радиуса к промежутку времени, в течение которого этот поворот произошёл, характеризует быстроту перемещения тела по окружности и носит название угловой скорости
ω
:
Угловая скорость связана с линейной скоростью соотношением где r — радиус окружности.
Время, за которое тело описывает полный оборот, называется периодом обращения. Величина, обратная периоду — частота обращения — ν
Поскольку при равномерном движении по окружности модуль скорости не меняется, но меняется направление скорости, при таком движении существует ускорение. Его называют центростремительным ускорением, оно направлено по радиусу к центру окружности:

Мощность

Мощность – это количественная мера быстроты совершения работы.

Обозначение – ​\( N \)​, единицы измерения – Вт (Ватт).
Мощность равна отношению работы к времени, за которое она была совершена: .

1 Вт – это мощность, при которой за 1 с совершается работа в 1 Дж:

1 л. с. (лошадиная сила) = 735 Вт.

Связь между мощностью и скоростью равномерного движения:

Таким образом, мощность равна произведению модуля вектора силы на модуль вектора скорости и на косинус угла между направлениями этих векторов.

Важно!
Если интервал времени стремится к нулю, то выражение представляет собой мгновенную мощность, определяемую через мгновенную скорость

Потенциальная энергия

Потенциальная энергия – это энергия взаимодействия тел или частей одного и того же тела.

Обозначение – ​\( W_p (E_p) \)​, единицы измерения – Дж.

Потенциальная энергия тела, поднятого на некоторую высоту над землей, равна произведению массы тела, ускорения свободного падения и высоты, на которой он находится:

Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна половине произведения жесткости на квадрат удлинения:

Важно!
Величина потенциальной энергии зависит от выбора нулевого уровня. Нулевым называется уровень, на котором потенциальная энергия равна нулю

Нулевой уровень выбирается произвольно, исходя из удобства решения задачи.

Пояснения к формуле закона сохранения импульса

Пусть, несколько тел двигаются в замкнутой системе.

В начальный момент времени сложим векторы \( \vec{p} \) импульсов всех тел, входящих в систему.

В результате получим новый вектор, обозначим его \( \vec{p_{\text{общ}}} \). Этот вектор – импульс всей системы, как единого целого.

Время идет. Тела продолжают двигаться и соударяться. При ударах их импульсы будут меняться (и по направлению, и по модулю).

После каждого удара будем с помощью геометрии складывать новые импульсы тел.

При этом выяснится следующее: складывая новые импульсы тел, мы будем получать все тот же вектор \( \vec{p_{\text{общ}}} \), который был получен нами в начале.

Вывод из формализма Ньютона[править | править код]

Рассмотрим выражение определения силы
dp→dt=F→.\frac{d\vec {p}}{dt}=\vec {F}.

Перепишем его для системы из N частиц:
∑n=1Ndpn→dt=∑n=1N∑m=1N F→n,m,m≠n,(1)\sum_{n=1}^{N} \frac{\vec{dp_n}}{dt}=\sum_{n=1}^{N}\sum_{m=1}^{N}\ \vec{F}_{n,m}, \qquad m\ne n, \qquad\qquad (1)

где суммирование идет по всем силам, действующим на n-ю частицу со стороны m-ой. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида F→a,b\vec {F}_{a,b}
и F→b,a\vec {F}_{b,a}
будут равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть F→a,b=−F→b,a.\vec{F}_{a,b} = -\vec{F}_{b,a}.
Тогда после подстановки полученного результата в выражение (1) правая часть будет равна нулю, то есть:
∑n=1Ndp→ndt=\sum_{n=1}^{N} \frac{d\vec{p}_n}{dt}=0

или
ddt∑n=1Np→n=\!\qquad \frac {d}{dt}\sum_{n=1}^{N}\vec{p}_n=0.

Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:
∑n=1Np→n=const→\sum_{n=1}^{N}\vec{p}_n=\overrightarrow {\mathrm{const}} \qquad\!
(постоянный вектор).

То есть суммарный импульс системы частиц есть величина постоянная. Нетрудно получить аналогичное выражение для одной частицы.

Следует учесть, что вышеприведенные рассуждения справедливы лишь для замкнутой системы.

Точка обрыва зависит от продолжительности действия силы

Также стоит подчеркнуть, что изменение импульса dp→d\vec {p}
зависит не только от действующей на тело силы, но и от продолжительности её действия. Это легко продемонстрировать на примере. Пусть на нити висит шарик массы M.M.\!
Если медленно тянуть за нижнюю нить силой F,F,\!
то обрывается верхняя нить, так как за время действия силы тело успевает приобрести и некоторую скорость (некоторый импульс). Если же резко потянуть за нижнюю нить, она обрывается. Шарик в этом случае продолжает висеть (он не успевает приобрести заметную скорость, поскольку импульс силы dp→=F→dtd\vec {p} = \vec {F}dt
очень мал.