§ 4.5. закон био

Копилка

  • Как на крыльях бабочек создается защитное изображение змеи

    Бабочки, конечно, ничего не знают о змеях. Зато о них знают птицы, охотящиеся на бабочек. Птицы, плохо распознающие змей, чаще становятся…

  • Если octo на латыни «восемь», то почему октава содержит семь нот?

    Октавой называется интервал между двумя ближайшими одноименными звуками: до и до, ре и ре и т. д. С точки зрения физики «родство» этих…

  • Почему важных особ называют августейшими?

    В 27 году до н. э. римский император Октавиан получил титул Август, что на латыни означает «священный» (в честь этого же деятеля, кстати,…

  • Чем пишут в космосе

    Известная шутка гласит: «NASA потратило несколько миллионов долларов, чтобы разработать специальную ручку, способную писать в космосе….

  • Почему основа жизни — углерод?

    Известно порядка 10 миллионов органических (то есть основанных на углероде) и лишь около 100 тысяч неорганических молекул. Вдобавок…

  • Почему кварцевые лампы синие?

    В отличие от обычного стекла, кварцевое пропускает ультрафиолет. В кварцевых лампах источником ультрафиолета служит газовый разряд в парах ртути. Он…

  • Почему дождь иногда льет, а иногда моросит?

    При большом перепаде температур внутри облака возникают мощные восходящие потоки. Благодаря им капли могут долго держаться в воздухе и…

Для тока, текущего по контуру (тонкому проводнику)

Пусть постоянный ток I{\displaystyle I} течёт по контуру (проводнику) γ{\displaystyle \gamma }, находящемуся в вакууме, r{\displaystyle \mathbf {r} _{0}} — точка, в которой ищется (наблюдается) поле, тогда индукция магнитного поля в этой точке выражается интегралом (в Международной системе единиц (СИ))

B(r)=μ4π∫γIdr×(r−r)|r−r|3=μ4π∫γIdr×er,ro(r−r)2,{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}}={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I}{(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} )^{2}}},}

где квадратными скобками обозначено векторное произведение, r{\displaystyle r} — положение точек контура γ{\displaystyle \gamma }, dr{\displaystyle dr} — вектор элемента контура (ток течёт вдоль него); μ{\displaystyle \mu _{0}} — магнитная постоянная;
er,ro{\displaystyle \mathbf {e_{r,r_{o}}} } — единичный вектор, направленный от элемента контура к точке наблюдения.

  • В принципе контур γ{\displaystyle \gamma } может иметь ветвления, представляя собой сколь угодно сложную сеть. В таком случае под выражением, приведённым выше, следует понимать сумму по всем ветвям, слагаемое же для каждой ветви является интегралом приведённого выше вида (контур интегрирования для каждой ветви может быть при этом незамкнутым).
  • В случае простого (неветвящегося) контура (и при выполнении условий магнитостатического приближения, подразумевающих отсутствие накопления зарядов), ток I{\displaystyle I} одинаков на всех участках контура и может быть вынесен за знак интеграла. (Это справедливо отдельно и для каждого неразветвленного участка разветвлённой цепи).

Если же взять за точку отсчёта точку, в которой нужно найти вектор магнитной индукции, то формула немного упрощается:

dB→=μ4πIr→×dr→r3{\displaystyle d{\vec {B}}={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I}{r^{3}}}}

где r→{\displaystyle {\vec {r}}} — вектор, описывающий кривую проводника с током I{\displaystyle I}, r{\displaystyle r} — модуль r→{\displaystyle {\vec {r}}}, dB→{\displaystyle d{\vec {B}}} — вектор магнитной индукции, создаваемый элементом проводника dr→{\displaystyle d{\vec {r}}}.

Направление dB{\displaystyle d\mathbf {B} } перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы dl≡dr{\displaystyle d\mathbf {l} \equiv d\mathbf {r} } и r−r{\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}. Направление вектора магнитной индукции может быть найдено по правилу правого винта: направление вращения головки винта даёт направление dB{\displaystyle d\mathbf {B} }, если поступательное движение буравчика соответствует направлению тока в элементе.
Модуль вектора dB{\displaystyle d\mathbf {B} } определяется выражением (в системе СИ)

dB=μ4πIdlsin⁡αr2,{\displaystyle dB={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {Idl\sin \alpha }{r^{2}}},}

где α{\displaystyle \alpha } — угол между вектором r−r{\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}} (радиус-вектором, проведённым от элемента проводника dl≡dr{\displaystyle d\mathbf {l} \equiv d\mathbf {r} } к точке, в которой ищется (наблюдается) поле) и элементом dl≡dr{\displaystyle d\mathbf {l} \equiv d\mathbf {r} } проводника.

Векторный потенциал даётся интегралом (в системе СИ)

A(r)=μ4π∫γI(r)dl|r−r|.{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {\mathbf {I} (\mathbf {r} )\mathbf {dl} }{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |}}.}

Трудности задачи

В опытах с постоянными токами мы всегда имеем дело с токами замкнутыми, следовательно, с полями, создаваемыми всеми элементами тока. Нам же нужен закон, определяющий магнитную индукцию, созданную одним элементом тока. Только такой закон может иметь общее значение. Для каждого конкретного замкнутого проводника с током магнитная индукция зависит от формы проводника, а таких форм может быть бесчисленное множество. Никакой общей закономерности для поля в точке здесь усмотреть нельзя. Точно так же основной закон электростатики — закон Кулона — формулируется для точечных зарядов.

Зная магнитную индукцию Δ, созданную элементом тока, можно вычислить индукцию любого тока в любой точке пространства.

Но нахождение закона для Δ сразу же наталкивается на трудности. Нельзя создать элемент тока (незамкнутый постоянный ток). Прямой способ экспериментального нахождения закона для Δ, как в случае электростатических взаимодействий, здесь невозможен. Однако такой закон все же удалось установить. Непосредственно из опыта следует, что во всех случаях магнитная индукция В — I. Отсюда можно предположить, что и ΔВ — I.

Далее, эксперименты французских физиков Ж. Био и Ф. Са- вара показали, что индукция магнитного поля, созданного прямым током, на расстоянии d, много меньшем длины проводника, пропорциональна Направление Δ определяется по правилу буравчика (см. § 3).

Отсюда следует, что для Δ нужно найти такой закон, который при суммировании по всем элементам прямого провода давал бы найденную экспериментально зависимость от I и d. Это удалось сделать П. Лапласу. Отыскивая простейшую формулу, приводящую к известному результату, он получил требуемый закон.

Найденную Лапласом формулу для Δ следует рассматривать как обобщение опытных фактов. Уверенность в ее справедливости вытекает не из ее «вывода», а из того, что все расчеты полей любых замкнутых токов на ее основе приводят к правильным результатам, согласующимся с опытом.

СМИ ПОН

Подлинная история советского «ограбления века». Дело братьев Калачян

В 1977 году в Армении произошло крупнейшее в истории СССР ограбление Госбанка.

Об ограблении денежных хранилищ Госбанка не думали даже матёрые уголовники. И тем не менее в 1977 году случилось немыслимое — злоумышленники покусились на святая святых советской финансовой системы.

Операция «Архив». Как Советский Союз окончательно избавился от Гитлера

На рубеже 1980–1990-х годов, когда в Восточной Европе произошло обрушение просоветских режимов, а Западная Германия поглотила Восточную, произошло резкое усиление позиций неонацистов.

На фоне ниспровержения социализма крайне правые силы пытались добиться хотя бы частичной реабилитации нацизма.

Непобедимая страна. 15 интересных фактов о Советском Союзе

30 декабря 1922 года на Первом Всесоюзном съезде Советов было утверждено образование Союза Советских Социалистических республик. Советский Союз занимал территорию площадью 22 400 000 квадратных километров, являясь самой большой страной на планете, имел самую протяжённую границу в мире (свыше 60 000 километров) и граничил с 14 государствами.

Великая душа. Жизнь и принципы Махатмы Ганди

Мохандас Карамчанд Ганди родился 2 октября 1869 года в индийском городе Порбандар в состоятельной семье из варны вайшьев. Маленький Мохандас, или Мохан, меньше всего напоминал философа, мыслителя и политика, идеи которого перевернут мир.

Продукт гуманизма. Как сердобольный дантист придумал «электрический стул»

6 августа 1890 года человечество вписало новую страницу в свою историю. Научно-технический прогресс добрался и до такого специфического рода деятельности, как исполнение смертных приговоров. В Соединённых Штатах Америки была проведена первая смертная казнь на «электрическом стуле».

Придуманный из гуманных соображений «электрический стул» оказался одним из самых жестоких способов смертной казни.

Примечания

  1. Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Вили. Глава 5. ISBN 0-471-30932-X.
  2. Электромагнетизм (2-е издание), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN  978-0-471-92712-9
  3. Принцип суперпозиции справедлив для электрического и магнитного полей, потому что они являются решением набора линейных дифференциальных уравнений , а именно уравнений Максвелла , где ток является одним из «исходных членов».
  4. ^
  5. Knight, Randall (2017). Физика для ученых и инженеров (4-е изд.). Pearson Higher Ed. п. 800.
  6. См. Предостерегающую сноску в Griffiths p. 219 или обсуждение в Jackson p. 175–176.
  7. Максвелл, Дж. К. «О физических силовых линиях» . Wikimedia Commons . Проверено 25 декабря 2011 года .
  8. ^ См. Джексон, стр. 178–79 или Гриффитс, стр. 222–24. Изложение в Griffiths особенно обстоятельно, со всеми подробностями прописано.
  9. Фейнман Р., Лейтон Р. и Сэндс М. Лекции Фейнмана по физике. Vol. 2, гл. 14 (1964). Аддисон-Уэсли, Массачусетс, Пало-Альто, Лондон.

Закон Био-Савара-Лапласа: решение задач

В нашем блоге есть материалы, которые помогут справиться с задачами по разным темам:

  1. Общая памятка по решению физических задач.
  2. Более 40 формул по физике. 

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №1

Условие 

Прямой провод согнут в виде квадрата со стороной а=8 см. Какой силы ток надо пропустить по проводнику, чтобы напряженность магнитного поля в точке пересечения диагоналей была 20 А/м?

Решение

Согласно принципу суперпозиции напряженность магнитного поля в точке пересечения диагоналей квадрата будет равна сумме напряженностей, которые создают стороны. Поскольку стороны одинаковые, то:

H=4H1=4B1μ

Будем использовать формулу для магнитной индукции поля, создаваемого отрезком прямого провода с током (выводится из закона Био-Савара-Лапласа):

B=μ2πIrcosαB1=μ2πIa2cosα=μ2πIacosα, α=45°
Тогда для напряженности в точке пересечения диагоналей получим:

Н=4πIacosα
Отсюда можем выразить ток:

I=πaH4cosα=3,14×,08×204cos45=1,78 А  

Ответ: 1,78 А.

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №2

Условие

Используя закон Био-Савара-Лапласа, определите магнитную индукцию в вакууме B поля в центре кругового проводника радиусом 10 см, если сила тока в проводнике равна 5 A.

Решение

Модуль магнитной индукции в центре кругового тока вычисляется по формуле:

B=μμI2rμ=1 — магнитная проницаемость для вакуумаμ=1,25×10-6 Гнм — магнитная постоянная

Вычислим индукцию:

В=1,25×10-6×1×52×,1=3,1×10-5 Тл

Ответ: 0,31 мкТл.

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №3

Условие

Используя закон Био-Савара-Лапласа выведите формулу для индукуии из предыдущей задачи.

Решение

Пусть ток идет по тонкому проводу в форме окружности, имеющей радиус R.

Разобъем провод на бесконечно малые элементы dl. Каждый такой элемент создает в центре окружности индукцию dB, направленную вдоль положительной нормали к контуру. По закону Био-Савара-Лапласа:

B=μ4πIdlsinαr2

Угол альфа между векторами r и Idl равен 90 градусам, а r=R. Тогда, можно записать:

Интегрируя это выражение по контуру, получим:

Ответ: см. выше.

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №4

Условие

По квадратной рамке со стороной a=0,2 м течет ток 4 А. Определить напряженность и индукцию магнитного поля в центре рамки.

Решение

Будем рассматривать каждую из четырех сторон рамки, как отдельный проводник, создающий в ее центре магнитную индукцию. Направление векторно-магнитной индукции определяется по правилу правого винта: все векторы направлены в одну сторону, перпендикулярно рамке.

Найдем индукцию, создаваемую одной стороной рамки:

B1=μμI4πr(cosα1-cosα2)

r=a2α1=45°α2=135°В1=μμI2πa(cos45-cos135)

По принципу суперпозиции, запишем формулу для общей индукции в центре рамки и вычислим:

B=4B1=2μμIπa(cos45-cos135)B=1×1,25×10-6×42×3,14×,2(,707+,707)=22,6×10-6 Тл

Ответ: 22,6 мкТл.

Задача на закон Био-Савара-Лапласа №5

Условие

Проводник согнут в виде правильного треугольника со стороной а=20 см. Какой ток протекает по периметру треугольника, если в его центре напряженность поля равна Н = 71,64 А/м?

Решение

Условно разбиваем проводник на три проводника, каждый из которых создает магнитное поле. По закону Био – Савара – Лапласа элемент контура dl, по которому течет ток I, создает в некоторой точке А пространства магнитное поле напряженностью:

dH=Isinα4πr2dl

r – расстояние от точки А до элемента тока dl, α – угол между радиус-вектором и элементом тока dl. Напряженность магнитного поля в точке О будет равна:

Н=∫-∞+∞Isinα4πr2dl

Учтем, что:

l=b×ctgαdl=-bdαsin2αr=bsinα

Теперь выражение для напряженности можно переписать в следующем виде:

H=-I4πb∫α1α2sinαdα=I4πbcosα1-cosα2b=a2tgαH=I2π×a×tgαcosα1-cosα2

Из рисунка видно, что угол α1 равен 30 градусам, а угол α2 = 150. Очевидно, что результирующая напряженность:

Н=3Н

Н=3I2π×a×tg30cos30-cos150

Отсюда найдем ток:

I=2πH×a×tg303(cos30-cos150)=2×3,14×71,64×,2×,5773(,866+,866)=10А

Ответ: 10 А.