Задачи тысячелетия: 7 головоломок стоимостью миллион долларов

Лифт 2010

Хорошо, призовой фонд здесь не самый большой (только $ 4 млн по сравнению с $ 25 млн Ричарда Брэнсона), но если эту задачу решить, все представление обо всем абсолютно поменяется.

Премия Лифт 2010 уйдет тому, кто спроектирует космический лифт. Это не метафора, в буквальном смысле лифт более чем 100 км, который сможет отправить в космическое пространство. Идеально подходит для матерей астронавтов, которые забыли свой обед дома перед выходом на работу на Международную космическую станцию.

Приз также делится на несколько частей

Если вы создадите экономически эффективный способ сделать так, чтобы лифт не ломался ( что очень важно, ведь снаружи кислорода нет), вы получите миллион долларов. Так что, если вы скорее «человек идеи», а не «человек дела» — это ваш шанс.

Команда из Сиэтла выиграла $ 900 000 несколько лет назад за разработку альпинистского троса длиной 914,4 м. Не совсем космос, но все равно чертовски высоко.

3. Гипотеза Римана

Область: теория чисел

Сформулирована в 1859 г., остается нерешенной

Многие из нас еще со школы помнят о существовании простых чисел – тех, которые делятся только на 1 и на самих себя, как 2, 3, 5, 7, 11 и т. д. Простые числа играют важную роль и в «абстрактной» теории чисел, и в практике – например, в работе криптографических алгоритмов. Если отметить положение всех простых чисел на числовой оси, то мы увидим, что их распределение неравномерно и, кажется, не подчиняется какой-то закономерности, поэтому заранее предсказать, где именно появится следующее простое число, не получается. Однако Бернард Риман показал, что это распределение похоже на точки, в которых дзета-функция – ς(s) = 1/1s + 1/2s + 1/3s + 1/4s + … – обращается в ноль.

Известно, что нулевое значение она имеет, когда s – отрицательное четное число. Но где еще? Согласно выкладкам Римана, другие нули появляются, если s – комплексное число, содержащее действительную часть 1/2. Задача была названа в числе актуальных еще Давидом Гильбертом в 1900 г. и не решена до сих пор, хотя практически все математики готовы согласиться: расчеты, проведенные даже с использованием суперкомпьютеров и для невероятно громадных простых чисел, подтверждают справедливость гипотезы Римана. Она доказана для примерно 10 трлн первых решений, но в общем виде пока – нет. По словам Субита Чакрабарти, за годы работы над этой проблемой математики продвинулись достаточно далеко, и ответ может быть найден в ближайшие десятилетия.

Действительная (красная) и мнимая (синяя) компоненты дзета-функции 

Склонность к персонализации

Один из таких факторов — обезличенность математики. Многие из нас склонны к чрезмерной персонализации событий и не желают смотреть на них со стороны, а поскольку цифры и обезличенный взгляд на мир тесно связаны, это ведет практически к добровольному математическому невежеству.

Когда человек в своих рассуждениях выходит за рамки собственного «я», своей семьи или окружения, у него естественным образом возникают квазиматематические вопросы: как долго? как давно? как далеко? как быстро? что связывает это и то? что более вероятно? как увязывается наш проект с событиями в городе, стране и мире? а как все это соотносится с историческим, биологическим, геологическим или астрономическим временем?

Похожее

  • Иноходец. Урок Перельмана
    Этот фильм — первая серьезная попытка на телевидении разобраться, какие бури движут этим человеком и что именно он сделал для русской и мировой науки. А вывод, почему же Перельман не взял свой миллион, зритель уже сделает сам…

  • Парадоксы бесконечных множеств
    Представьте отель с бесконечным числом номеров. Приезжает автобус с бесконечным числом будущих постояльцев. Но разместить их всех — не так-то просто. Это бесконечная морока, а гости бесконечно уставшие. И если справиться с задачей не удастся, то можно потерять бесконечно много денег! Что же делать?

  • Математик и наставник Григория Перельмана Сергей Рукшин рассказал, в чем ошибки реформы российского образования
    «Ломоносовых больше не будет»

  • Великие безумцы

    Гении Леонардо да Винчи, Бах, Ван Гог, Достоевский, Эйнштейн, Перельман – люди, которые меняют наш взгляд на мир. Среди них нет ни одного «нормального» с точки зрения обычного человека. Почему гениальности часто сопутствует безумие? Это загадка, которую до сих пор не удалось разгадать.

  • О лотереях

    Игра эта давно приобрела массовый характер и стала неотъемлемой частью современной жизни. И хотя лотерея всё больше расширяет свои возможности, многие люди по-прежнему видят в ней лишь способ обогащения. Пусть и не бесплатный и не надёжный. С другой стороны, как заметил один из героев Джека Лондона, в азартной игре нельзя не считаться с фактами — людям иногда везёт.

  • Брайан Дэвис: «Куда идет математика?»
    На протяжении тысячелетий считалось, что математика открывает неопровержимые вечные истины. Множество замечательных математических утверждений, таких как теоремы евклидовой геометрии, верны в наши дни, точно так же, как и две тысячи лет назад. И тем не менее в XX веке математика пережила три глубоких кризиса, которые существенно меняют статус математического исследования.

  • Математики заинтересовались структурой подсолнухов

    Математики из Университета Аризоны разработали модель, которая позволяет объяснить особую спиральную структуру, которая часто встречается в живой природе — у подсолнухов, артишоков, капусты и других растений.

  • Решена задача о непериодичном замощении плоскости фигурами одной формы
    Предложен вариант непериодичной мозаики, покрывающей плоскость, в котором используются плитки одной формы, но двух различных раскрасок.

  • Фракталы в природе
    Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? Существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны.

  • Геометрия мыльных пузырей до сих пор озадачивает математиков
    Игорь Иванов
    Как соединить два мыльных пузыря, чтобы минимизировать их суммарную площадь поверхности (включая перегородку)? Ответ на этот вопрос интуитивно очевиден, но строгое математическое решение этой задачи было дано лишь в 2000 году. Тот же вопрос для трех и более пузырей до сих пор остается открытым. Немногим лучше обстоит дело и в плоском случае. Несмотря на все достижения математики, геометрия пузырьковых кластеров остается очень сложной задачей.

Далее >>>

Проблемы анализа пространства (геометрия, топология, теория графов — 4)

Геометрия многомерных пространств и гипотеза Пуанкаре

Над гипотезой о вероятных формах Вселенной бились лучшие умы 20 века.

Решение гипотеза Пуанкаре Григорием Перельманом

Российский математик Григорий Перельман решил гипотезу Пуанкаре.
В 2002-2003 годах он совершил прорыв, предложив ряд новых идей.
Он развил и довел до конца метод, предложенный в 1980-е годы Ричардом Гамильтоном.
В своих работах Перельман утверждает, что построенная им теория позволяет доказать не только гипотезу Пуанкаре,
но и гипотезу геометризации Тёрстона.

Суть метода состоит в том, что для геометрических объектов можно определить некоторое уравнение «плавной эволюции»,
похожее на уравнение ренормализационной группы в теорфизике.
Исходная поверхность в ходе этой эволюции будет деформироваться и, как показал Перельман,
в конце концов плавно перейдет именно в сферу.
Сила этого подхода состоит в том, что, минуя все промежуточные моменты, можно сразу заглянуть «в бесконечность»,
в самый конец эволюции, и обнаружить там сферу.

В  2002 году Г. Перельман опубликовал решение гипотезы Пуанкаре,
и до сих пор ни один пристрастный анализ не нашел в нем ошибки.

Топология и гипотеза Ходжа

Гипотеза Ходжа сформулирована в 1941 году и состоит в том, что для особенно хороших типов пространств,
называемых проективными алгебраическими многообразиями, так называемые циклы Ходжа являются комбинациями объектов,
имеющих геометрическую интерпретацию, — алгебраических циклов.

В XX веке математики изобрели мощные методы исследования формы сложных объектов.
Основная идея состоит в том, чтобы выяснить, до какой степени мы можем аппроксимировать форму данного объекта,
склеивая вместе простые тела возрастающей размерности.
Этот метод оказался эффективным при описании разнообразных объектов встречающихся в математике.
При этом были не ясны геометрические обоснования метода: в некоторых случаях было необходимо прибавлять части,
которые не имели никакого геометрического истолкования.

Доказать гипотезу Ходжа удалось для некоторых частных случаев. Более общее доказательство пока не найдено,
не найдено и доказательство обратного — что гипотеза неверна.

Проблемы 2000 года: гипотеза Ходжа.

Квантовая физика и геометрия (гипотеза Янга-Миллса)

Тео́рия Я́нга—Ми́ллса — калибровочная теория с неабелевой калибровочной группой.
Калибровочные поля в этой теории называются полями Янга — Миллса.
Такие теории были предложены в 1954 году Чж. Янгом (Yang) и Р. Миллсом (Mills),
однако долгое время рассматривались лишь как математические изыски, не имеющие отношения к реальности.

Несмотря на это, именно на основе теорий Янга — Миллса в 1970-х годах были созданы
две краеугольные теории Стандартной Модели в физике элементарных частиц:
квантовая хромодинамика (теория сильных взаимодействий) на основе группы SU(3)
и теория электрослабых взаимодействий на основе группы SU(2).

Теория Янга-Миллса.

Теория графов и теорема Шварца-Кристоффеля

Теорема Шварца — Кристоффеля относится к теории функций комплексного переменного
и носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля.

Она касается проблемы о конформном отображении некой канонической области (единичного круга Δ или верхней полуплоскости H+)
на внутренность произвольного многоугольника

Теорема дает общий вид таких отображений, что важно с практической точки зрения.. Сформулированная 140 лет назад формула Шварца–Кристоффеля является незаменимой для проектирования различных объектов,
включая здания, мосты, а также самолеты

Она определяет уровень внешней и внутренней сопротивляемости структуры и степень запаса ее прочности. Однако классическая формула не могла быть применена для сложных объектов, имеющих отверстия и сложные формы

Сформулированная 140 лет назад формула Шварца–Кристоффеля является незаменимой для проектирования различных объектов,
включая здания, мосты, а также самолеты.
Она определяет уровень внешней и внутренней сопротивляемости структуры и степень запаса ее прочности.
Однако классическая формула не могла быть применена для сложных объектов, имеющих отверстия и сложные формы.

  • Доказательства великих завихрений.

Гипотеза Ходжа

Область: алгебраическая геометрия

Сформулирована в 1941 г., остается нерешенной

Со времен Декарта алгебраическая геометрия достигла большого прогресса в описании форм сложных объектов. Мы можем предложить уравнение, решения которого будут соответствовать той или иной фигуре, например, сферу описать как (x — a)2 + (y — b)2 = r2. Если объект слишком сложен, мы можем аппроксимировать эту форму, «склеивая» вместе более простые фигуры – тогда ей будет соответствовать решение системы уравнений. Такой подход применяется очень широко, и математики далеко ушли даже от объектов, которым вообще соответствуют какие-либо геометрические аналоги – к тому, что называется более широким термином «многообразие».

Вопрос состоит в том, насколько этот подход можно применять к особому классу проективных алгебраических многообразий. Шотландец Уильям Ходж нашел остроумный метод, позволяющий проверять соответствие таких многообразий и алгебраические уравнения их представления, однако доказать его справедливость в общем случае пока не удается. Более того, математик Субит Чакрабарти считает эту задачу чересчур «абстрактной» для текущего уровня развития науки – ее решение требует разработки новых, плохо освоенных разделов алгебраической геометрии, и будет найдено очень нескоро. Пока что гипотеза доказана лишь для некоторых частных случаев, и математикам неизвестно, верна ли она в принципе.

Фолдинг белка

В процессе фолдинга задействовано большое количество сил и взаимодействий, которые позволяют белку достичь состояния самой низкой из возможных энергий, что придает ему стабильность. Из-за большой сложности структуры и большого количества вовлеченных силовых полей, довольно трудно понять точную физику процесса фолдинга небольших белков. Проблему прогнозирования структуры пытались решить в комбинации с физикой и мощными компьютерами. И хотя с небольшими и относительно простыми белками был достигнут определенный успех, ученые до сих пор пытаются точно спрогнозировать сложенную форму сложных многодоменных белков по их аминокислотной последовательности.

Чтобы понять процесс, представьте, что находитесь на перекрестке тысячи дорог, которые ведут в одном направлении, и вам нужно выбрать путь, который приведет вас к цели за наименьшее время. Точно такая же, только более масштабная проблема лежит в кинетическом механизме фолдинга белка в определенное состояние из возможных. Было выяснено, что случайные тепловые движения играют большую роль в быстрой природе фолдинга и что белок «пролетает» через конформации локально, избегая неблагоприятные структуры, но физический путь остается открытым вопросом — и его решение может привести к появлению более быстрых алгоритмов прогнозирования структуры белка.

Проблема фолдинга белка остается горячей темой в биохимических и биофизических исследованиях современности. Физика и вычислительные алгоритмы, разработанные для фолдинга белка, привели к разработке новых искусственных полимерных материалов. Помимо вклада в рост научных вычислений, проблема привела к лучшему пониманию заболеваний вроде диабета II типа, Альцгеймера, Паркинсона и Хантингтона — в этих расстройствах неправильный фолдинг белков играет важную роль. Лучшее понимание физики фолдинга белка может не только привести к прорывам в материаловедении и биологии, но и произвести революцию в медицине.

Проблемы движения тел и среды (1-2)

Обьявленные здесь проблемы динамики дискретных тел и непрерывной среды — фактически,
физические, но сводимые к математическим формулам.

Уравнение Навье-Стокса

Среди 7 проблем тысячелетия 6-я проблема является чисто прикладной задачей.
От ее решения зависит качество проектирования самолетов, ракет, снарядов, гидротурбин, подводных лодок, газо- и нефтепроводов.
В биологии и медицине решение этого уравнения дает всю правду о течении крови в сосудах, жидкости в клетках сосудов и т.д.

Решить уравнения Навье-Стокса не могут с 1822 года. Более того, не могут доказать: правильно ли мы решаем это уравнение,
а их приходится решать на компьютерах в силу большой размерности, где 3 — уже много.

Поэтому, прежде, чем вычислять, надо доказать теорему существования и единственности решения (СЕР),
что составляет суть проблемы и важно потому, что аварии на газопроводах, гидростанциях, авиакатастрофы
могут оказаться следствием неправильных расчетов уравнения Навье-Стокса, а не слепой случайности. (Чоро Тукембаев)

(Чоро Тукембаев)

Исследователи, занимавшиеся или занимающиеся УНС, внёсшие свой вклад или взгляд в решение этого типа уравнений; их работы:

  • Американка Пенелопа Смит (Penelope Smith) из Университета Лихай (Lehigh University, Вифлеем, штат Пенсильвания)
    опубликовала 26.09.2006 сатью «Immortal Smooth Solution of the Three Space Dimensional Navier-Stokes System«.
    Она выяснила, что уравнения Навье-Стокса могут быть перезаписаны в форме дифференциальных уравнений,
    которые она знала, как решать. В статье представлено это решение и она уверена в нём.
    Смит когда-то также посещала те же самые семинары, что и наш Григорий Перельман.
  • Большой вклад в развитие теории уравнений Навье-Стокса внесла некогда
    и наша петербургская женщина-математик Ольга Ладыженская.
    Главным результатом Ладыженской в этой области стало полное решение проблемы в двумерном случае.
  • Статьи Чоро Тукембаева:
  • Работы Талайбека Омурова, Кыргызстан:
  • Работы Намаза Алтаева (Казахстан, г.Шымкент):

    Намаз считает, что принятые подходы к решению уравнений Эйлера и Навье-Стокса методами математической физики ведут в тупик.
    Он полагает, что природу этих уравнений можно удовлетворительно интерпретировать,
    если за основу анализа брать основополагающие принципы теоретической и эмпирической физики.

Задача притяжения трех тел

Задача о движении трех материальных точек под действием ньютоновских сил взаимного притяжения —
«задача трех тел» — получила в математике, механике и астрономии широкую известность.
Достаточно просмотреть посвященные этой задаче главы в книгах Уиттекера, Биркгофа, Зигеля
и статьи Арнольда и Смейла, чтобы убедиться в богатстве и плодотворности круга идей,
так или иначе обязанных ей своим возникновением.

Задача трех тел описывается системой дифференциальных уравнений;
ей соответствует фазовый поток в 18-мерном фазовом пространстве.

Другие

Существуют известные компиляции задач для различных разделов математики, например Робион Кирби для геометрии и топологии многообразий малой размерности, Shing-Tung Yau для дифференциальной геометрии (1982) или книга Ричарда К. Гая о нерешенных проблемах элементарной теория чисел. Венгерский математик Пауль Эрдёш известен множеством задач (некоторые из них перечислены выше), на решение которых он часто сам тратил небольшие и большие суммы денег. Школа польских математиков межвоенного периода также известна своей ориентацией на задачи, собранные, например, в « Шотландской книге» .

По приглашению Хендрика Клоостермана на Международном математическом конгрессе в Амстердаме в 1954 году Джон фон Нейман прочитал лекцию о нерешенных проблемах математики, которая должна была дать такой же обзор, как и Гильберт в 1900 году на конгрессе в Париже. Фон Нейман занимался проблемами из своей области исследований, в частности операторными алгебрами, основами квантовой механики и связанной с ними теории вероятностей и логики. Лекция так и не была опубликована (ни в томах лекций по ICM 1954, ни в сборнике сочинений фон Неймана). В качестве центральной проблемы он видел развитие теории неограниченных операторов в гильбертовых пространствах с учетом основы квантовой механики. Он дал обзор своей классификации алгебр фон Неймана и объяснил, почему он рассматривает алгебры типовЯ.Я.1{\ displaystyle II_ {1}} как многообещающие кандидаты для математической теории квантовой механики (чего-то, чего иначе не найти в его публикациях и в поместье, и в котором он также обнаружил другую формулу). исторического развития не последовало).

Приз от NASA за наноспутник

Призом в $ 2 млн ждет того, что сможет запустить маленький спутник на орбиту дважды за одну неделю. Именно два раза. Потому что любой дурак сможет отправить спутник на орбиту один раз на неделе. Черт побери, давно уже отправили.

Для двух спутников на орбите есть определенная причина, так что это не просто бесполезная работа. Цель NASA — показать, что спутники могут обходиться относительно дешево, в надежде на прирост интереса к частному их использованию. Так что, если вы радовались, запуская воздушного змея, приготовьтесь быть сильно униженными, так как человек, который сможет справиться с этим заданием будет наблюдать за вашим змеем из космоса.

Заявка на миллион

Задача о неравенстве классов P и NP – одна из самых интригующих в математике, даром что большинство специалистов и так уверено, что они не равны (все ученые признают, что пока в основу уверенности не положен строгий доказательный фундамент, она будет оставаться в области интуиции, а не науки). Значение этой задачи, которую математический институт Клэя включил в список семи задач тысячелетия, огромно и простирается не только на «умозрительную» математику, но также на компьютерные науки и теории вычислений.

Коротко проблема неравенства классов сложности P и NP формулируется так: «Если положительный ответ на некий вопрос можно быстро проверить, то верно ли, что можно быстро найти ответ на этот вопрос». Задачи, для которых актуальна эта проблема, относятся к классу сложности NP (задачи класса сложности P можно назвать более простыми – в том смысле, что их решение точно можно найти за разумное время).

Один из примеров задач класса сложности NP – вскрытие шифра. На сегодняшний день единственным способом решить эту задачу является перебор всех возможных комбинаций. Этот процесс может занять чудовищно много времени. Но когда верный код найден, злоумышленник моментально поймет, что задача решена (то есть проверку решения можно осуществить за разумное время). В том случае, если классы сложности P и NP все-таки не равны (то есть задачи, решение которых нельзя найти за разумное время, нельзя свести к более простым задачам, которые можно решить быстро), то тогда всем преступникам мира всегда придется вскрывать шифры перебором. Но если вдруг окажется, что неравенство на самом деле является равенством (то есть сложные задачи класса NP можно свести к более простым задачам класса P), то мозговитые воры теоретически смогут придумать более удобный алгоритм, который позволит им взламывать любые шифры намного быстрее.

Очень сильно упрощая, можно сказать, что строгое доказательство неравенства классов сложности P и NP окончательно и бесповоротно лишит человечество надежды решать сложные задачи (задачи класса сложности NP) иначе как тупым перебором всех допустимых вариантов решения.

Как всегда случается с проблемами особенной важности, попытки строго доказать, что классы P и NP равны или не равны, предпринимаются регулярно. Обычно заявления на решение задачи тысячелетия делают люди, репутация которых в научном мире, мягко говоря, сомнительна, или даже вовсе любители, не имеющие специального образования, но завороженные масштабностью вызова

Никто из по-настоящему признанных специалистов подобные работы всерьез не принимает, как не относятся всерьез физики к периодическим попыткам доказать, что общая теория относительности или законы Ньютона в корне неверны.

Неизвестно, то ли рекомендация корифея в области теории сложности (именно эта область математики имеет дело с неравенством P и NP) сыграла свою роль, то ли важность самой задачи, но множество математиков из разных стран отвлеклись от своей основной работы и начали разбираться в выкладках Деолаликара. Люди, знающие о неравенстве классов сложности P и NP, но не занимающиеся этой темой непосредственно, также принимали активное участие в обсуждении

Например, они завалили вопросами о доказательстве специалиста по компьютерным наукам Скотта Ааронсона (Scott Aaronson) из Массачусетского технологического института (MIT).

Ааронсон в момент появления статьи Деолаликара был в отпуске и не мог сходу разобраться в доказательстве

Тем не менее, для того чтобы подчеркнуть его важность, он заявил, что отдаст индийцу 200 тысяч долларов, если математическое сообщество и Институт Клэя признают его верным. За этот экстравагантный поступок многие коллеги осудили Ааронсона, заявив, что истинный ученый должен опираться только на факты, а не эпатировать публику красивыми жестами

5. Чеки-вознаграждения Кнута

Дональд Кнут написал несколько книг о компьютерах и информатике и создал оригинальный способ продать их: он предложил денежные вознаграждения для тех, кто найдет ошибки. Если вы нашли их, вы выигрываете шестнадцатеричный доллар. Нельзя сказать, что финансово впечатляет ($ 2.56), и фактически сама проверка стоит намного больше. Но эти чеки в значительной степени являются призом сами по себе. Кнут использовал чеки банка Of San Sarriff.

Никогда не слышали про такой банк? Это потому, что он выдуман. Он, очевидно, имеет филиалы на вымышленной планета Пинкус. Так что, если вы вдруг окажетесь в районе Пинкуса и вам понадобятся наличные, вы находитесь в хороших руках.

Но все-таки с этими вымышленными чеками возникла проблема. Хакеры использовали номера чеков Кнута, чтобы взломать его счет и украсть деньги. Как они узнали номер? Взволнованные люди, которые нашли ошибки и выиграли чек, фотографировали их и выкладывали в Интернет, еще раз доказав, что смысл книги и здравый смысл незнакомы друг с другом.

Темная энергия и темная материя

Любой список нерешенных проблем в науке будет неполным без упоминания загадочных темной материи и темной энергии. Темная энергия выступает в качестве предложенной причины расширения Вселенной. В 1998 году, когда две независимых группы ученых подтвердили, что расширение Вселенной ускоряется, это опровергло популярное на тот момент мнение, что гравитация замедляет расширение Вселенной. Теоретики до сих пор ломают голову, пытаясь объяснить это, и темная энергия остается самым подходящим объяснением. Но чем она является на самом деле — никто не знает. Есть предположения, что темная энергия может быть свойством пространства, своего рода энергией космоса, или пронизывающими космос флюидами, которые непонятным образом приводят к ускорению расширения Вселенной, тогда как «обычная» энергия на это не способна.

Темная материя тоже странная штука. Она практически ни с чем не взаимодействует, даже со светом, существенно затрудняя свое обнаружение. Темная материя была обнаружена вместе со странностями в динамике некоторых галактик. Известная масса галактики не может объяснить расхождения с наблюдаемыми данными, поэтому ученые пришли к выводу, что существует некоторая форма невидимой материи, гравитационная тяга которой удерживает галактики вместе. Темная материя никогда не наблюдалась напрямую, но ученые наблюдали оказываемые ей эффекты с помощью гравитационного линзирования (искривления света, взаимодействующего гравитационно с невидимой материей).

Состав темной материи остается одной из величайших проблем в физике элементарных частиц и космологии. Ученые считают, что темная материя состоит из экзотических частиц — вимпов — которые обязаны своим существованием теории суперсимметрии. Ученые также предполагают, что темная материя может состоять из барионов.

В то время как обе теории — темной материи и темной энергии — вытекают из нашей неспособности объяснить некоторые наблюдаемые особенности Вселенной, они являются в сущности фундаментальными силами космоса и привлекают финансирование крупных экспериментов. Темная энергия отталкивает, а темная материя притягивает. В случае превалирования одной из сил соответствующим образом решится и судьба Вселенной — будет ли она расширяться или сжиматься. Но пока обе теории остаются темными, как и виновники их появления.

Игнорабимус

Следуя Готтлобу Фреге и Бертрану Расселу , Гильберт стремился определить математику логически, используя метод формальных систем , т. Е. Конечных доказательств на основе согласованного набора аксиом. Одной из основных целей программы Гильберта было финитистическое доказательство непротиворечивости аксиом арифметики: это его вторая проблема.

Однако вторая теорема Гёделя о неполноте дает точный смысл, в котором такое конечное доказательство непротиворечивости арифметики доказуемо невозможно. Гильберт прожил 12 лет после того, как Курт Гёдель опубликовал свою теорему, но, похоже, не написал никакого официального ответа на работу Гёделя.

Десятая проблема Гильберта не спрашивает, существует ли алгоритм для определения разрешимости диофантовых уравнений , а скорее требует построения такого алгоритма: «разработать процесс, в соответствии с которым он может быть определен за конечное число операций, будет ли уравнение разрешимо в целых рациональных числах ». То, что эта проблема была решена путем демонстрации невозможности существования такого алгоритма, противоречило философии математики Гильберта.

Обсуждая свое мнение о том, что каждая математическая проблема должна иметь решение, Гильберт допускает возможность того, что решение может быть доказательством невозможности исходной проблемы. Он заявил, что дело в том, чтобы так или иначе узнать, каково решение, и он считал, что мы всегда можем знать это, что в математике нет никакого « ignorabimus » (утверждение, истинность которого никогда не может быть познана). Кажется неясным, рассматривал бы он решение десятой проблемы как пример игнорабимуса: доказано, что не существует целочисленного решения, а (в определенном смысле) способность определенным образом различать, является ли решение существует.

С другой стороны, статус первой и второй проблем еще более сложен: нет четкого математического консенсуса относительно того, являются ли результаты Геделя (в случае второй проблемы) или Геделя и Коэна (в случае первой проблемы) дают окончательные отрицательные решения или нет, поскольку эти решения относятся к определенной формализации проблем, которая не обязательно является единственно возможной.