Движение тела переменной массы — файл n1.doc

Уравнение — мещерское

Уравнение Мещерского по своей форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки постоянной массы: слева — произведение массы тела на ускорение, справа — действующие на него силы, включая реактивную силу.

Уравнения Мещерского, полученные в динамике точки переменной массы, оказались тем фундаментом, на котором строится новый, практически важный, раздел теоретической механики.

Применим уравнение Мещерского к свободному движению ракеты без учета сил притяжения к Земле и сопротивления воздуха.

Вывод уравнения Мещерского для случая, когда некоторые массы выходят за контрольную поверхность, а некоторые входят в нее, проводится аналогично.

Это есть уравнение Мещерского, которое описывает движение ракет с нерелятивистскими скоростями в отсутствие внешних сил.

Как записывается уравнение Мещерского. В чем заключаются первая и вторая задачи Циолковского. Какая модель точки переменной массы принимается в механике. Какое допущение принято о взаимодействии точки и частицы. Что представляет собой реактивная сила. Какая связь существует между уравнением Мещерского и теоремой об изменении импульса.

Гладкая цепочка — система переменного состава.

Подчеркнем, что уравнение Мещерского имеет смысл, когда, то О, т.е. суммарная масса системы изменяется.

Этот частный случай уравнения Мещерского ( которое само есть следствие второго закона Ньютона) называется уравнением Циолковского. Несмотря на многочисленные упрощения, допущенные при его составлении, решение уравнения Циолковского очень поучительно.

Это уравнение называют уравнением Мещерского. В диссертации развита общая теория движения точки переменной массы для случая отделения ( или присоединения) частиц. В 1904 г. был напечатан второй труд Мещерского Уравнения движения точки переменной массы и общем случае, в котором его теория получила окончательное и в высшей степени изящное выражение. Здесь он устанавливает и исследует общее уравнение движения точки, массы которой изменяются от одновременного процесса присоединения и отделения материальных частиц.

Это выражение называется уравнением Мещерского.

Это уравнение называется уравнением Мещерского. Оно описывает поступательное движение ракеты на прямолинейном активном участке траектории.

В качестве примера использования уравнения Мещерского применим его к движению ракеты, на которую внешние силы не действуют.

Рассмотрим пример на применение уравнения Мещерского.

Уравнение ( 4) называется уравнением Мещерского.

Другая форма формулы

В некоторых ресурсах применяется несколько иная формула Циолковского, уравнение, в котором вместо υ′ применяется другой параметр — I. В данном случае I называют удельным импульсом, и даже приводится объяснение, что удельный импульс выражается через тягу двигателя и его сжиганию массы топлива за единицу времени. Первый вопрос, который приходит на ум — вопрос о размерности. В отличие от скорости, импульс имеет другую размерность, которая будет противоречить сути формулы. Однако, непосредственно удельный импульс совпадает по размерности со скоростью.

Удельный импульс показывает количество секунд, при котором двигатель, истратив единицу топлива, получит единицу силы. Применяется сугубо в описании реактивного двигателя.

Релятивистское уравнение Мещерского

Первыми работами, посвященными исследованию движения ракет с учетом релятивистских эффектов, были работы Аккерета и Зенгера.

При выводе уравнения Мещерского, пригодного для случая скоростей, сравнимых со скоростью света, используется выражение для релятивистского импульса p→=mv→1−v2c2{\displaystyle {\vec {p}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}. В результате уравнение приобретает вид:

ddt(Mv→1−v2c2)=v→1⋅ddt(m11−v2c2)−v→2⋅ddt(m21−v2c2).{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {M{\vec {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right)={\vec {v}}_{1}\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{1}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right)-{\vec {v}}_{2}\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right).}

В этом уравнении в общем случае не вводятся относительные скорости (v→1−v→){\displaystyle ({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})} и (v→2−v→){\displaystyle ({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}})}, так как в релятивистском случае сложение скоростей производится иначе.

Для случая только частиц, отделяющихся со скоростью коллинеарной скорости ракеты, это уравнение сводится к следующему виду:

Mdvdt=−(1−v2c2)udMdt,{\displaystyle M{\frac {dv}{dt}}=-\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)u{\frac {dM}{dt}},}

где u=v2−v1−v2⋅vc2{\displaystyle u={\frac {v_{2}-v}{1-v_{2}\cdot v/c^{2}}}} — скорость частиц относительно ракеты.

Числовые характеристики одноступенчатой ракеты

При
анализе формулы Циолковского было выяснено, что число z=m0/m является важнейшей
характеристикой ракеты.

Разделим
конечную массу ракеты на две составляющие: полезную массу Мпол, и массу конструкции
Мконстр. К полезной относят только массу контейнера, который требуется
запустить с помощью ракеты для выполнения заранее запланированной работы. Масса
конструкции – вся остальная масса ракеты без топлива(корпус, двигатели, пустые
баки, аппаратура). Таким образом M= Мпол + Мконстр ; M0= Мпол + Мконстр + Мтопл

Обычно
оценивают эффективность транспортировки груза при помощи коэффициента полезной
нагрузки р. р= M0/ Мпол. Чем меньшим числом выражен этот коэффициент, тем
большую часть от общей массы составляет масса полезного груза

Степень
технического совершенства ракеты характеризуется конструктивной характеристикой
s. . Чем большим числом выражается конструктивная
характеристика, тем более высокий технический уровень у ракеты-носителя.

Можно
показать, что все три характеристики s, z и p связаны между собой следующими
уравнениями:

Релятивистская механика

Все вышеописанные формулы могут применяться только в том случае, когда скорость ракеты много меньше скорости света (υ<<c), потому что тогда возможно использование нерелятивистских законов механики.

Однако если скорость движения ракеты можно сравнить со скоростью света, то необходимо применять уже другие законы.

Пусть m и υ — масса ракеты в состояние и ее скорость в любое время t, а υ′ и m′ — скорость выхода газа и его масса в это же время

То есть m′ — масса вышедшего газа, поэтому его значение для расчета неважно, m′ = 0

Необходимо расписать закон сохранения импульса и закон сохранения энергии в релятивистской механике, затем продифференцировать первое уравнение, учитывая, что m′=0 и получить выражение третье.

где u — скорость испускания газов.

Исходя из закона сложения скоростей в релятивистской, механике следует такое выражение. Его необходимо преобразовать относительно υ′ и проинтегрировать для получения окончательного варианта уравнения.

И далее получается формула Циолковского для скорости, сравнимой со скоростью света. Также ее можно назвать релятивистской формулой Циолковского.

Можно несколько усложнить задачу и рассмотреть в качестве примера ракету с несколькими ступенями. Таким образом, формула Циолковского для многоступенчатой ракеты представляет собой сумму необходимых для расчета параметров. То есть, для того, чтобы рассчитать скорость для многоступенчатой ракеты, следует сложить скорость каждой из составляющей части.

Уравнение Циолковского

Если
внешнюю силу F принять равной нулю, то, после преобразований, получим уравнение
Циолковского:

V=u
ln (m0/m)

Отношение
m0/m называется числом Циолковского, и часто обозначается буквой z.

Скорость,
рассчитанная по формуле Циолковского, носит название характеристической или
идеальной скорости. Такую скорость теоретически имела бы ракета при запуске и
реактивном разгоне, если бы другие тела не оказывали на неё никакого влияния.

Как
видно из формулы, характеристическая скорость не зависит от времени разгона, а
определяется на основе учёта только двух величин: числа Циолковского z и
скорости истечения u. Для достижения больших скоростей необходимо повышать
скорость истечения и увеличивать число Циолковского. Так как число z стоит под знаком
логарифма, то увеличение u даёт более ощутимый результат, чем увеличение z в то
же количество раз. К тому же большое число Циолковского означает, что конечной
скорости достигает лишь небольшая часть первоначальной массы ракеты.
Естественно, такой подход к проблеме увеличения конечной скорости не совсем
рационален, ведь надо стремится выводить в космос большие массы, при помощи
ракет с возможно меньшими массами. Поэтому конструкторы стремятся прежде всего
к увеличению скоростей истечения продуктов сгорания из ракет.

Формула Циолковского

Попробуем исключить из уравнения движения ракеты внешние силы, воздействующие на нее. Предположим, что движение ракеты прямолинейно, а направление противоположно скорости газовой струи vотн. Будем считать направление полета положительным, тогда проекция вектора vотн является отрицательной. Она будет равна -vотн. Переведем предыдущее уравнение в скалярную форму:

mdv=vотнdm.

Тогда равенство примет вид:

dvdm=-vотнm.

Газовая струя может выходить во время полета с переменной скоростью. Проще всего, разумеется, принять ее в качестве константы. Такой случай наиболее важен для нас, поскольку так уравнение решить намного проще.

Исходя из начальных условий, определим, какое значение приобретет постоянная интегрирования С. Допустим, что в начале пути скорость ракеты будет равна , а масса m. Следовательно, из предыдущего уравнения можем вывести:

C=vотн lnmm.

Тогда мы получим соотношения следующего вида:

Определение 3

v=vотн lnmm или mm=evvотн.

Это соотношение и является формулой Циолковского.

Она предназначена для расчета запаса топлива, с помощью которого ракета может набрать необходимую скорость. При этом время сгорания топлива не обусловливает величину максимальной скорости ракеты. Чтобы разогнаться до предела, нужно увеличить скорость истечения газов. Для достижения первой космической скорости следует изменить конструкцию ракеты. Она должна быть многоступенчатой, поскольку необходимо меньшее соотношение между требуемой массой топлива и массой ракеты.

Разберем несколько примеров применения данных построений на практике.

Пример 1

Условие: у нас есть космический корабль, скорость которого постоянна. Для изменения направления полета в ней нужно включить двигатель, который выбрасывает газовую струю со скоростью vотн. Направление выброса перпендикулярно траектории корабля. Определите угол изменения вектора скорости при начальной массе корабля m и конечной m.

Решение

Ускорение по абсолютной величине будет равно a=ω2r=ωv, причем v=const.

Значит, уравнение движения будет выглядеть так:

mdvdt=vотнdmdt перейдет в mvωdt=-vотнdm.

Поскольку da=ωdt является углом поворота за время dt, то после интеграции первоначального уравнения получим:

a=vотнvlnmm.

Ответ: искомый угол будет равен a=vотнvlnmm.

Пример 2

Условие: масса ракеты перед стартом равна 250 кг. Вычислите высоту, которую она наберет через 20 секунд после начала работы двигателя. Известно, что топливо расходуется со скоростью 4 кгс, а скорость истечения газов постоянна и равна 1500 мс. Поле тяготения Земли можно считать однородным.

Решение

Рисунок 2

Начнем с записи уравнения Мещерского. Оно будет иметь следующий вид:

m∆v∆t=μvотн-mg.

Здесь m=m-μt и v – скорость ракеты в заданный момент времени. Разделим переменные:

∆v=μvотнm-μt-g∆t.

Теперь решим полученное уравнение с учетом первоначальных условий:

v=vотнlnmm-μt-gt.

С учетом того, что H= при t=, у нас получится:

H=vотнt-gt22+vотнmμ1-μtmln1-μtm.

Добавим заданные значения и найдем ответ:

H=vотнt-gt22+vотнmμ1-μtmln1-μtm=3177,5 м.

Ответ: через 20 секунд высота ракеты будет составлять 3177,5 м.

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

3.2.1. Реактивное движение window.top.document.title = «3.2.1. Реактивное движение»;

В настоящем параграфе говорится о медленном движении тел, масса которых меняется за счет потери или приобретения вещества. Уравнения движения тел с переменной массой являются следствиями законов Ньютона. Тем не менее, они представляют большой интерес, главным образом, в связи с ракетной техникой.

Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты.

Модель 3.4.
Реактивное движение

Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой, в свою очередь, действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться во времени. На этом положении и основана теория движения ракет.

Несложные преобразования закона изменения импульса приводят к уравнению Мещерского:

Здесь m – текущая масса ракеты,

– ежесекундный расход массы, υ – скорость газовой струи (т.е. скорость истечения газов относительно ракеты), F – внешние силы, действующие на ракету. По форме это уравнение напоминает второй закон Ньютона, однако, масса тела m здесь меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе

добавляется дополнительный член

, который может быть истолкован как реактивная сила.

Применив уравнение Мещерского к движению ракеты, на которую не действуют внешние силы, и проинтегрировав уравнение, получим формулу Циолковского:

Релятивистское обобщение этой формулы имеет вид

cv

Формула Циолковского позволяет рассчитать запас топлива, необходимый, чтобы сообщить ракете скорость υ. В частности, можно получить, что запас топлива, необходимого для осуществления межзвездного путешествия (с возвращением обратно), должен превышать массу космического корабля в несколько тысяч раз. Но для межзвездных перелетов ракеты на химическом топливе абсолютно непригодны. Расстояния до звезд измеряются световыми годами – от ближайшей звезды свет идет до Земли около 4 лет. Поэтому для достижения даже ближайших звезд нужны космические корабли, скорости которых близки к скорости света c. Если, например, скорость ракеты должна составлять четверть скорости света, то на каждую тонну полезного груза должно приходиться 5•103327 тонн топлива! (Кстати, при таких скоростях применима только релятивистская формула Циолковского; она еще больше увеличивает необходимое количество топлива). Обычно, когда имеют дело с очень большими величинами, их называют «астрономическими». В данном случае такое сравнение не годится – речь идет о величинах несравненно большего масштаба. Вряд ли имеет смысл говорить о движении столь фантастически гигантского космического корабля относительно Вселенной, имеющей по сравнению с ним ничтожную массу.

Было бы неосторожно на основании вышеизложенного сделать вывод, что звездные миры никогда не будут доступны земным космонавтам. Только отдаленное будущее покажет, возможно это или нет

Для превращения ракеты в звездолет, прежде всего, необходимо повысить скорость струи, приблизив ее к скорости света. Идеальным был бы случай u = c. Так было бы в фотонной ракете, в которой роль газовой струи должен был бы играть световой пучок. Реактивная сила в фотонной ракете осуществлялась бы давлением света. Превращение вещества в излучение постоянно происходит внутри звезд. Этот процесс осуществляется и на Земле (взрывы атомных и водородных бомб). Возможно ли придать ему управляемый характер и использовать в фотонных ракетах – на этот вопрос отвечать сейчас преждевременно.

Использование при создании ракет

Формулу Циолковского для многоступенчатой ракеты применяют и при проектировании ракеты. Для этого используется совершенно логичная зависимость, которая практически является прямопропорциональной — чем больше используется при полете топлива, тем больше будет масса самой ракеты. Это обуславливается тем, что для перевозки большого количества топлива требуются, соответственно, и большие резервуары, поэтому увеличивается в результате и размер корабля, и даже сам двигатель. Некоторым решением возникающей проблемы является использование твердого топлива, которое требует меньше условий для хранения. Однако в настоящий момент оно обладает наименьшим удельным импульсом из существующих.

§ 2. Уравнение Мещерского

  • Алгоритм компактного хранения и решения систем линейных уравнений высокого порядка | Лекция | 2016 | docx | 0.23 Мб

    ВВЕДЕНИЕ. 1 ОБЗОР МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СЛАУ, ВОЗНИКАЮЩИХ В МКЭ Точные методы решения СЛАУ Решение произвольных систем линейных уравнений. Однородная система линейных уравнений. Метод главных элементов.

  • Разработка современных технологий реконструкции и развития государственной геодезической сети с учетом особенностей территории Азербайджанской Республики (Том I) Годжаманов Магсад Гусейн оглы | Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. Москва — 2005 | Диссертация | 2005 | Россия | docx/pdf | 18.63 Мб

    Специальность — 25.00.32 — Геодезия. Геодезия на современном этапе занимается решением обширного круга задач, важных как для развития цикла наук о Земле, так и для обеспечения функционирования

  • Вибрационные силы, их проявление в гироскопе со смещенным центром масс при вибрации основания Иванова Вероника Сергеевна | Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук | Диссертация | 2003 | docx/pdf | 3.01 Мб

    Специальность 01.02.06. — «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры». Томск -2003 ВВЕДЕНИЕ 6 Глава 1 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ О ВЛИЯНИИ ВИБРАЦИИ НА ГИРОСКОПЫ СО СМЕЩЕННЫМ ЦЕНТРОМ МАСС 11

  • Адекватное математическое моделирование динамики полета летательных аппаратов Кубланов Михаил Семенович | Диссертация на соискание ученой степени
    доктора технических наук | Диссертация | 2000 | docx/pdf | 8.29 Мб

    Специальность 05.07.09 — динамика, баллистика и управление движением летательных аппаратов. Москва 2000 ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 6 ВВЕДЕНИЕ 7 1. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

  • Вейвлет-преобразование в теории случайных процессов и квантовой теории поля Алтайский Михаил Викторович | Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук | Диссертация | 2007 | pdf | 7.04 Мб

    Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.04.02 — теоретическая физика. Москва 2006 Введение 9 1 Основные сведения о непрерывном

  • Функционирование банковской системы рф Яковлев С.А. | | Лекция | 2007 | Россия | docx | 0.31 Мб

    Мурманск — 2007 СОДЕРЖАНИЕ Раздел 1. ОСНОВЫ ОРГАНИЗАЦИИ И ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ БАНКОВСКОЙ СИСТЕМЫ РОССИИ. НАПРАВЛЕНИЯ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ БАНКОВСКОГО ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВА 1. Этапы формирования современной

  • Шпаргалка на экзамен по высшей математике | Шпаргалка | 2016 | docx | 0.45 Мб

    Определители и их свойства 2.Миноры и алгебраические дополнения 3. Методы вычисления определителей. 4.Обратная матрица.Теорема о существовании обратной матрицы. 5.Элементарные преобразованияматрицы.

  • Ответы на экзамен по высшей математике | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | docx | 2.37 Мб

    Врпросы 1. Декартова и полярная система координат. 2.Расстояние между двумя точками на плоскости. 3.Деление отрезка в данном отношении. 4.Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и в данном

  • Теория функций комплексного переменного И.М. Лавит | | Лекция | 2001 | Россия | docx | 0.96 Мб

    Конспект лекций для студентов направлений: — Математика. Прикладная математика — Механика. Прикладная математика дневного отделения Тула 2001 Предисловие Лекция 1 Комплексные числа Операции над

  • Математическая физика. Шпаргалка | Шпаргалка | 2017 | docx | 0.12 Мб

    Уравнение (1) будет называться уравнением гиперболического типа если Решение задачи Коши для волнового уравнения. Уравнение колебания струны, на бесконечной прямой. Решение

Предисловие

Для всех космических полетов изначальной и основополагающей стала формула Циолковского для скорости ракеты, вывод которой представлен ниже.

Для начала необходимо приняв ее, грубо говоря, за материальную точку. На нее будут действовать силы притяжения Земли и других небесных тел (в момент взлета сила гравитации Земли будет, конечно же, наиболее сильной), сила сопротивления воздуха с одной стороны и противоположно им направленная реактивная сила, возникающая из-за выброса сгоревшего газа у основания тела. Ракета с большой силой выбрасывает эти газы, которые сообщают ей ускорение, направленное противоположно стороне выброса. Теперь необходимо представить эти рассуждения в виде формулы.

Сам принцип полета ракеты достаточно простой. С большой скоростью из ракеты вырывается газ, полученный при сгорании топлива, который сообщает самой ракете определенную силу, которая действует противоположно направлению движения. Так как считается, что внешние силы не действуют на ракету, то система будет замкнутой, и импульс ее не зависит от времени.

Многоступенчатые ракеты

Достижение
очень больших характеристических скоростей одноступенчатой ракеты требует
обеспечения больших чисел Циолковского и ещё больших по величине конструктивных
характеристик (т.к всегда s>z). Так, например при скорости истечения
продуктов сгорания u=5км/с для достижения характеристической скорости 20км/с
требуется ракета с числом Циолковского 54,6. Создать такую ракету в настоящее
время невозможно, но это не значит, что скорость 20км/с не может быть
достигнута при помощи современных ракет. Такие скорости обычно достигаются при
помощи одноступенчатых, т.е составных ракет.

Когда
массивная первая ступень многоступенчатой ракеты исчерпывает при разгоне все
запасы топлива, она отделяется. Дальнейший разгон продолжает другая, менее
массивная ступень, и к ранее достигнутой скорости она добавляет ещё некоторую
скорость, а затем отделяется. Третья ступень продолжает наращивание скорости, и
т.д.

Согласно
формуле Циолковского, первая ступень в конце разгона достигнет скорости , где . Вторая ступень увеличит скорость ещё на , где . Полная характеристическая скорость двухступенчатой ракеты
будет равна сумме скоростей, сообщаемых каждой ступенью в отдельности:

. Если скорости истечения из ступеней одинаковы, то , где Z= — число Циолковского для двухступенчатой ракеты.

Нетрудно
доказать, что в случае 3-x ступенчатой ракеты число Циолковского будет равно Z=.

Итак,
предыдущая задача достичь скорости 20км/с легко решается с помощью 3-х
ступенчатой ракеты. Для неё число Циолковского будет также равно 54,6, однако,
числа Циолковского для каждой ступени (при условии их равенства между собой)
будут равны 3.79, что является вполне достижимым для современной техники.

Несколько выводов из формулы Циолковского

Основа всех космических полетов — формула Циолковского.

  • Скорость движения непосредственно зависит от относительной скорости выбрасывания газов, поэтому, чем больше скорость выбрасывания, тем быстрее летит ракета.
  • Чем больше отношение суммы массы ракеты и массы топлива к массе ракеты, тем больше скорость ракеты. Увеличение происходит даже по определенной зависимости — если отношение масс увеличивается в геометрической прогрессии, то есть, каждое предыдущее число меньше последующего в определенное количество раз, то скорость растет в арифметической прогрессии — каждое предыдущее число меньше последующего на определенное число. Однако это совершенно не означает, что скорость пропорциональна массе. Сам Циолковский в своих трудах замечал, что скорость растет медленнее по сравнению с увеличением топлива, однако не имеет предела.
  • Соответственно, для развития больше скорости необходимо увеличивать скорость выбрасывания газа и массу топлива.