Тригонометрическая форма комплексного числа

Свойства операций.

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:

  1. коммутативности, то есть
    $$
    z_1+z_2=z_2+z_1,\qquad z_1z_2=z_2z_1;\nonumber
    $$
  2. ассоциативности, то есть
    $$
    (z_1+z_2)+z_3= z_1 + (z_2+z_3),\qquad (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3);\nonumber
    $$
  3. дистрибутивности, то есть
    $$
    z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2+z_1z_3.\nonumber
    $$

Эти свойства вытекают из определения операций сложения и умножения комплексных чисел и свойств операций для вещественных чисел.

Из этих свойств следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами, заменяя \(i\) на \(-1\). Например, равенство \eqref{ref2} можно получить так:
$$
z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=\\=x_1 x_2+i x_1 y_2+ix_2 y_1+i^2 y_1 y_2=x_1x_2-y_1y_2+i(x_1 y_2+x_2 y_1).\nonumber
$$
Множество комплексных чисел обозначают буквой \(\mathbb{C}\). Числа \(0= 0 + 0\cdot i\) и \(1 = 1 + 0\cdot i\) на множестве \(\mathbb{C}\) обладают такими же свойствами, какие они имеют на множестве \(\mathbb{R}\), а именно: для любого \(z \in \mathbb{C}\) справедливы равенства
$$
z+ 0 = z,\qquad z\cdot 1 = z.\nonumber
$$
На множестве \(\mathbb{C}\) вычитание вводится как операция, обратная сложению. Для любых комплексных чисел \(z_1=_1+iy_1\) и \(z_2 = x_2 + iy_2\) существует, и притом только одно, число \(z\) такое, что
$$
z+z_2=z_1.\label{ref7}
$$
Это число называют разностью чисел \(z_1\) и \(z_2\) и обозначают \(z_1-z_2\). В частности, разность \(0 -z\) обозначают \(-z\).

Из уравнения \eqref{ref7} в силу правила равенства и определения суммы комплексных чисел следует, что
$$
z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2).\nonumber
$$

Деление на множестве \(\mathbb{C}\) вводится как операция, обратная умножению, а частным от деления комплексного числа \(z_1=_1+iy_1\) на число \(z_2 = x_2 + iy_2\) называют такое число \(z\), которое удовлетворяет уравнению
$$
zz_2=z_1\label{ref8}
$$
и обозначается \(z_1:z_2\) или \(\displaystyle \frac{z_1}{z_2}\).

Докажем, что уравнение \eqref{ref8} для любых комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\), где \(z_2\neq 0\), имеет единственный корень.

\(\circ\) Умножая обе части уравнения \eqref{ref8} на \(\overline{z}_2\), получим в силу равенства \eqref{ref6} уравнение
$$
z|z_2|^2 = z_1\overline{z}_2,\label{ref9}
$$
которое равносильно уравнению \eqref{ref8}, так как \(\overline{z}_2\neq 0\).

Умножая обе части \eqref{ref9} на \(\displaystyle\frac{1}{|z_2|^2}\), получаем \(z=\displaystyle\frac{z_1\overline{z}_2}{|z_2|^2}\), то есть
$$
\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\overline{z}_2}{|z_2|^2},\nonumber
$$
или
$$
\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{x_2^2+y_2^2}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}.\ \bullet\nonumber
$$

Эту формулу можно не запоминать — важно знать, что она получается умножением числителя и знаменателя на число, сопряженное со знаменателем. Пример 1

Пример 1.

Найти частное \(\displaystyle \frac{z_1}{z_2}\), если \(z_1=5-2i,\ z_2=3 + 4i\).

$$
\triangle\quad \frac{z_1}{z_2}=\frac{(5-2i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}=\frac{15-26i+8i^2}{25}=\frac7{25}-\frac{26}{25}i.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Аргумент комплексного числа

      Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа   z.

      Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором    z.

      Аргумент комплексного числа  z  считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к  радиус-вектору z  происходит против часовой стрелки, и отрицательным  — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

      Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

      Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где  k  — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента, обозначаемое   arg z   и удовлетворяющее неравенствам:

      Тогда оказывается справедливым равенство:

      Если для комплексного числа   z = x + i y   нам известны его модуль   r = | z | и его аргумент φ, то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

(3)

      Если же комплексное число   z = x + i y   задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа   x   и   y,   то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

      Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом  k  обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

      Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа   z = x + i y

Расположениечисла  z Знаки x и y Главное значение аргумента Аргумент Примеры
Положительная вещественнаяполуось

x > 0 ,

y = 0

φ = 2kπ

x > 0 ,

y > 0

Положительнаямнимаяполуось

x = 0 ,

y > 0

x < 0 ,

y > 0

Отрицательнаявещественнаяполуось

x < 0 ,

y = 0

π φ = π + 2kπ

x < 0 ,

y < 0

Отрицательнаямнимаяполуось

x = 0 ,

y < 0

x > 0 ,

y < 0

Расположениечисла  z Положительнаявещественнаяполуось
Знаки x и y

x > 0 ,

y = 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент φ = 2kπ
Примеры
Расположениечисла  z  
Знаки x и y

x > 0 ,

y > 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры
Расположениечисла  z Положительнаямнимаяполуось
Знаки x и y

x = 0 ,

y > 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры
Расположениечисла  z  
Знаки x и y

x < 0 ,

y > 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры
Расположениечисла  z Отрицательнаявещественнаяполуось
Знаки x и y

x < 0 ,

y = 0

Главноезначениеаргумента π
Аргумент φ = π + 2kπ
Примеры
Расположениечисла  z  
Знаки x и y

x < 0 ,

y < 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры
Расположениечисла  z Отрицательнаямнимаяполуось
Знаки x и y

x = 0 ,

y < 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры
Расположениечисла  z  
Знаки x и y

x < 0 ,

y < 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположение числа   z :

Положительная вещественная полуось

Знаки x и y :

x > 0 ,   y = 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

φ = 2kπ

Примеры:

Расположение числа   z :

Знаки x и y :

x > 0 ,   y > 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Положительная мнимая полуось

Знаки x и y :

x = 0 ,   y > 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Знаки x и y :

x < 0 ,   y > 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Отрицательная вещественная полуось

Знаки x и y :

x < 0 ,   y = 0

Главное значение аргумента:

π

Аргумент:

φ = π + 2kπ

Примеры:

Расположение числа   z :

Знаки x и y :

x < 0 ,   y < 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Отрицательная мнимая полуось

Знаки x и y :

x = 0 ,   y < 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Знаки x и y :

x < 0 ,   y < 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Извлечение корня.

Рассмотрим уравнение
$$
z^n=a,\label{ref22}
$$
где \(a\neq 0\) — комплексное число, \(n\) — натуральное число.

Если \(z=re^{i\varphi}, \ a=\rho e^{i\theta}\), то уравнение \eqref{ref22} примет вид
$$
r^n e^{in\varphi}=\rho e^{i\theta},\nonumber
$$
откуда
$$
r^n=\rho,\quad n\varphi=\theta+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},\nonumber
$$
и поэтому
$$
r=\sqrt{\rho},\qquad \varphi_k=\frac{1}{n}(\theta+2k\pi),\quad k\in \mathbb{Z},\label{ref23}
$$
то есть числа
$$
z_k=\sqrt{\rho}e^{i\varphi_k}\label{ref24}
$$
являются корнями уравнения \eqref{ref22} и других корней это уравнение не имеет.

Заметим, что числа \(z_0,\ z_1,\ …,\ z_{n-1}\) различны, так как их аргументы \(\displaystyle\varphi_0=\frac{\theta}{n},\ \varphi_1=\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi}{n},\ …,\ \varphi_{n-1}=\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi(n-1)}{n}\) различны и отличаются друг от друга меньше, чем на \(2\pi\). Далее, \(z_n = z_0\), так как \(|z_n| = |z_0|=\displaystyle\sqrt{\rho}\) и \(\varphi_n=\varphi_0+2\pi\). Аналогично, \(z_{n+1} = z_1,\ z_{-1} = z_{n-1}\) и т. д.

Итак, при \(a\neq 0\) уравнение \eqref{ref22} имеет ровно \(n\) различных корней, определяемых формулами \eqref{ref23} и \eqref{ref24}, где \(k=0,1,…,n-1\).

На комплексной плоскости точки \(z_k\ (k=\overline{0,n-1})\) располагаются в вершинах правильного \(n\)-угольника, вписанного в окружность радиуса \(\displaystyle \sqrt{\rho}\) с центром в точке 0.

Пример 5.

Найти все корни уравнения \(z^4 = 1 + i\).

\(\triangle\) Корни \(z_k\ (k = \overline{0,3})\) этого уравнения определяются формулами \eqref{ref23} и \eqref{ref24}, где \(\displaystyle \rho=|1 + i| =\sqrt{2},\ \theta=\frac{\pi}{4}\), то есть
$$
z_k=\sqrt{2}e^{i\varphi_k},\nonumber
$$
где
$$
\varphi_k=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{2},\quad k=0,1,2,3.\nonumber
$$

Рис. 31.6

Точки \(z_k\) располагаются в вершинах квадрата (рис. 31.6). \(\blacktriangle\)

Комплекснозначные функции действительного переменного.

Если каждому значению \(t\in \) поставлено в соответствие комплексное число \(z=z(t)\), то говорят, что на отрезке \(\) задана комплекснозначная функция действительного переменного.

Пусть \(\operatorname{Re}z(t) = x(t),\ \operatorname{Im}z(t) = y(t)\), тогда \(z(t) = x(t)+iy(t)\). Функцию \(z(t)\) можно рассматривать как вектор-функцию \(z(t)=(x(t),y(t))\). Определения предела, непрерывности, производной для комплекснозначной функции аналогичны соответствующим определениям для вектор-функции.

Например, производная функции \(z(t) = x(t) + iy(t)\) определяется формулой
$$
z'(t) = x'(t) + iy'(t).\label{ref25}
$$
Следовательно, производная \(z'(t)\) существует, если существуют производные \(x'(t)\) и \(y'(t)\).

Применяя формулу \eqref{ref25} к функции \(e^{it}=\cos t+i\sin t\), получаем \((e^{it})’=-\sin t+i\cos t=i^2\sin t + i\cos t = i(\cos t + i\sin t)\), то есть
$$
(e^{it})’=i e^{it}.\label{ref26}
$$

Таким образом, формула для производной комплексной функции \(e^{it}\) имеет такой же вид, как и для функции \(e^{\alpha t}\), где \(\alpha\in\mathbb{R}\).

Определим теперь показательную функцию \(\displaystyle e^{(\alpha+i\beta)t}\), где \(\alpha,\beta\) — заданные действительные числа, \(t\) — действительное переменное. Функция \(f(t) = e^t\), где \(t\in\mathbb{R}\), удовлетворяет условию
$$
f(t_1)f(t_2) = f(t_1+t_2).\label{ref27}
$$

Аналогично функция \(e^{i\beta t}\), где \(\beta\in\mathbb{R}\), обладает свойством \eqref{ref27} в силу первого из равенств \eqref{ref18}.

Поэтому функцию    \(e^{(\alpha+i\beta)t}\) естественно определить так, чтобы для нее выполнялось условие \eqref{ref27}, то есть
$$
e^{(\alpha+i\beta)t}=e^{\alpha t}e^{i\beta t}.\nonumber
$$

Используя формулу \eqref{ref15}, отсюда находим
$$
e^{(\alpha+i\beta)t} = e^{\alpha t} (\cos \beta t+i\sin\beta t).\label{ref28}
$$
Применяя к функции \(e^{\lambda t}\), где \(\lambda=\alpha+i\beta\), правило дифференцирования \eqref{ref25}, легко показать, что
$$
(e^{\lambda t})=\lambda e^{\lambda t},\quad \lambda=\alpha+i\beta.\label{ref29}
$$

По аналогии с производной неопределенный интеграл от комплекснозначной функции \(z(t)=x(t)+iy(t)\) определяется формулой
$$
\int z(t) dt = \int x(t) dt + i\int y(t) dt.\nonumber
$$

Если комплексная функция \(\omega(t) = \xi(t) + i\eta (t)\) такова, что \(\omega'(t)=z(t)\), то
$$
\int z(t)=\int \omega'(t)dt=\int \xi'(t)dt+i\int \eta'(t)dt = \xi(t) + C_1 + i\eta(t)+iC_2.\nonumber
$$
Следовательно,
$$
\int z(t) dt = \omega(t) + C,\quad C = C_1+iC_2.\nonumber
$$
Применяя это утверждение к функции \(e^{(\alpha+i\beta)t}\) и используя формулу \eqref{ref29}, получаем
$$
\int e^{(\alpha+i\beta)t}=\displaystyle \frac{e^{(\alpha+i\beta)t}}{\alpha+i\beta}+C_1+iC_2.\label{ref30}
$$

Выделяя в равенстве \eqref{ref30} действительные и мнимые части, находим
$$
\int e^{\alpha t}\cos\beta t dt + i\int e^{\alpha t}\sin\beta t dt = \frac{\alpha-i\beta}{\alpha^2+\beta^2}e^{\alpha t}(\cos\beta t+i\sin\beta t)+C_1+C_2,\nonumber
$$
откуда получаем
$$
\int e^{\alpha t}\cos\beta t dt=\frac{e^{\alpha t}}{\alpha^2+\beta^2}(\alpha\cos\beta t+\beta\sin\beta t)+C_1,\label{ref31}
$$
$$
\int e^{\alpha t}\sin\beta t dt=\frac{e^{\alpha t}}{\alpha^2+\beta^2}(\alpha\sin\beta t-\beta\cos\beta t)+C_2,\label{ref32}
$$

Заметим, что формула \eqref{ref31} была получена с помощью в .

Возведение комплексных чисел в степень

Начнем со всеми любимого квадрата.

Пример 9

Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей  и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применении известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба суммы и куба разности. Но эти формулы более актуальны для задач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ю, 10-ю или 100-ю степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень  справедлива формула:

Данная формула следует из правила умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме: чтобы найти произведение чисел ,  нужно перемножить их модули и сложить аргументы:

Аналогично для показательной формы: если , то:

Просто до безобразия.

Пример 10

Дано комплексное число , найти .

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:

Тогда, по формуле Муавра:

Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет  радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе . Для удобства делаем дробь правильной: , после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: . Надеюсь всем понятно, что  и  – это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде: (т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя  – ни в коем случае не ошибка.

Пример 11

Дано комплексное число , найти . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Пример 12

Возвести в степень комплексные числа , ,

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и»,  получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

Пример 13

Возвести в степень комплексные числа ,

Это пример для самостоятельного решения.

Определение комплексного числа.

Комплексными числами называют пары \((x,y)\) вещественных (действительных) чисел \(x\) и \(y\), для которых следующим образом определены понятие равенства и операции сложения и умножения.
Обозначим комплексное число \((x,y)\) буквой \(z\), то есть положим \(z=(x,y)\). Пусть \(z_1=(x_1,y_1)\), \(z_2=(x_2,y_2)\). Два комплексных числа \(z_1\) и \(z_2\) считаются равными тогда и только тогда, когда \(x_1=x_2\) и \(y_1=y_2\), то есть
$$
\{(x_1,y_1) = (x_2,y_2)\}\Leftrightarrow \{x_1=x_2\}\ \wedge\ \{y_1 = y_2\}.\nonumber
$$

Сумма и произведение комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\) обозначаются соответственно \(z_1+z_2\) и \(z_1z_2\) и определяются формулами
$$
z_1+z_2=(x_1+x_2,y_1+y_2),\label{ref1}
$$
$$
z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1).\label{ref2}
$$

Из формул \eqref{ref1} и \eqref{ref2} следуют соотношения
$$
(x_1,0) + (x_2,0) = (x_1+x_2,0),\qquad (x_1,0)(x_2,0) = (x_1x_2,0),\nonumber
$$
которые показывают, что операции над комплексными числами вида \((x, 0)\) совпадают с операциями над действительными числами. Поэтому комплексное число вида \((x, 0)\) отождествляют с действительным числом \(x\), то есть полагают \((x,0) = x\).

Среди комплексных чисел особую роль играет число \((0,1)\), которое называют мнимой единицей и обозначают \(i\), то есть
$$
i = (0,1).\nonumber
$$
Вычислив произведение \(i\) на \(i\) по формуле \eqref{ref2}, получим
$$
i\cdot i = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1,\nonumber
$$
то есть \(i^2 = -1\). Используя формулы \eqref{ref1}, \eqref{ref2}, находим
$$
i\cdot y = (0,1)(y,0) = (0,y),\qquad (x,y) = (x, 0) + (0,y) = x + iy.\nonumber
$$

Следовательно, любое комплексное число \(z= (x,y)\) можно записать в виде \(x + iy\), то есть
$$
z = x + iy.\label{ref3}
$$

Запись комплексного числа \(z = (x,y)\) в виде \eqref{ref3} называют алгебраической формой комплексного числа.

В записи \eqref{ref3} число \(x\) называют действительной частью комплексного числа и обозначают \(Re\ z\), а число \(y\) — мнимой частью и обозначают \(Im\ z\), то есть
$$
Re\ z = x,\quad Im\ z = y. \nonumber
$$

Если \(x= 0\), то есть \(z = iy\), то такое комплексное число называют чисто мнимым.

Здесь и всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, в записи \(x+iy\) числа \(x\) и \(y\) считаются действительными (вещественными).

Число \(\displaystyle\sqrt{x^2+y^2}\) обозначают \(|z|\) и называют модулем комплексного числа \(z\), то есть
$$
|z|=|x + iy|=\sqrt{x^2+y^2}.\label{ref4}
$$
Заметим, что \(|z|\geq 0\) и \(\{|z| = 0\}\Leftrightarrow \{z=0\}\).

Комплексное число \(x-iy\) называют сопряженным комплексному числу \(z = x + iy\) и обозначают \(\overline{z}\) то есть
$$
\overline{z} = \overline{x+iy}= x-iy.\label{ref5}
$$
Из равенств \eqref{ref4} и \eqref{ref5} следует, что
$$
|z| = |\overline{z}|,\qquad    z\overline{z}=|z|^2,\label{ref6}
$$
так как \(z\overline{z}=(x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2\).

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

      Рассмотрим плоскость с заданной на ней   Oxy   и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

      Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью, и будем представлять комплексное число   z = x + i y   радиус–вектором с координатами   (x , y).

      Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью, а ось ординат Oy – мнимой осью.

      При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Комплексная плоскость.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число \(z=x+iy\) изображается точкой плоскости с координатами \((x,y)\), и эта точка обозначается той же буквой \(z\).

Такое соответствие между множеством \(\mathbb{C}\) и точками плоскости является взаимно однозначным: каждому числу \(z\in\mathbb{C}\) соответствует одна точка плоскости с координатами \((x,y)\), и наоборот, каждой точке плоскости с координатами \((x,y)\) соответствует одно комплексное число \(z=x+iy\). Поэтому слова “комплексное число” и “точка плоскости” часто употребляются как синонимы.

При этом действительные числа, то есть числа вида \(x+0\cdot i\), изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые числа, то есть числа вида \(iy = 0 + iy\) — точками оси ординат. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью, а ось ординат — мнимой осью. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют комплексной плоскостью.

Рис. 31.1

На рис. 31.1 изображены точки \(z,\ -z,\ \overline{z},\ -\overline{z}\). Отметим, что точки \(z\) и \(-z\) симметричны относительно точки \(O\), а точки \(z\) и \(\overline{z}\) симметричны относительно действительной оси.

Геометрический смысл модуля комплексного числа.

Комплексное число \(z=x+iy\) можно изображать вектором с началом в точке \(O\) и концом в точке \(z\). Этот вектор будем обозначать той же буквой \(z\). Из рис. 31.1 или из формулы \eqref{ref4} видно, что длина вектора \(z\) равна \(|z|\) и справедливы неравенства \(|x|\leq |z|,\ |y|\leq |z|\), то есть
$$
|Re\ z|\leq |z|,\quad |Im\ z|\leq |z|.\nonumber
$$

Рис. 31.2Рис. 31.3

С помощью векторной интерпретации наглядно иллюстрируются сумма и разность комплексных чисел. Число \(z_1+z_2\) изображается вектором, построенным по правилу сложения векторов \(z_1\) и \(z_2\), а вектор \(z_1-z_2\) можно построить как сумму векторов \(z_1\) и \(-z_2\). Из рис. 31.2 видно, что расстояние между точками \(z_1\) и \(z_2\) равно длине вектора \(z_1-z_2\), то есть равно \(|z_1-z_2|\). Это же утверждение следует из равенства
$$
|z_1-z_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.\nonumber
$$
Итак, \(|z_1-z_2|\) — расстояние между точками \(z_1\) и \(z_2\).

Пример 2.

Дать геометрическое описание множества всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:

  1. \(|z-z_0| = R,\ R > 0\);
  2. \(1 < |z-1| < 2\);
  3. \(|z-i| = |z + i|\).
  1. \(\triangle\) Условию \(z-z_0=R\), где \(R > 0\), \(z_0\) — заданное комплексное число, удовлетворяют все точки, расстояние от которых до точки \(z_0\) равно \(R\), то есть точки, лежащие на окружности радиуса \(R\) с центром в точке \(z_0\).
  2. Условию \(|z-1| < 2\) удовлетворяют все точки, лежащие внутри круга радиуса 2 с центром в точке \(z = 1\), а условию \(|z-1| > 1\) — точки, лежащие вне круга радиуса 1 с центром в точке \(z = 1\).
    Оба эти условия выполняются для точек, лежащих между окружностями  \(|z-1| = 1\) и  \(|z-1| = 2\) (рис. 31.3).
  3. Условию \(|z-i| = |z + i|\) удовлетворяют те и только те точки, которые равноудалены от точек \(i\) и \(-i\), то есть все точки действительной оси. \(\blacktriangle\)

Покажем, что для любых комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\) справедливы неравенства
$$
||z_1|-|z_2||\leq |z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|.\label{ref10}
$$

\(\circ\) Рассмотрим треугольник с вершинами \(0,\ z_1\) и \(z_1+z_2\) (рис. 31.2). Длины его сторон равны \(|z_1|,\ |z_2|\) и \(|z_1+z_2|\). Поэтому неравенства \eqref{ref10} выражают известные из геометрии свойства длин сторон треугольника. \(\bullet\)

Тригонометрическая форма комплексного числа:

Для всякого  комплексного числа $z=x+iy$ справедливо равенство $$z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi).\qquad\qquad\qquad (1)$$ Здесь $|z|=\sqrt{x^2+y^2},$ a $\varphi$ удовлетворяет условиям: $$\cos\varphi=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\qquad \sin\varphi=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},\qquad \varphi\in[0, 2\pi).$$  

Равенство (1) называют тригонометрической формой комплексного числа $z.$  

 Примеры:

Следующие комплексные числа представить в тригонометрической форме и изобразить точками на комплексной плоскости:

1.435. $-i$

Решение.

Пусть $z=x+iy=-i,$ то есть $x=0,\,\, y=-1.$ Тогда $$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt 1=1.$$

$$\cos\varphi=\frac{0}{1}=0,\qquad \sin\varphi=\frac{-1}{1}=-1\Rightarrow \varphi=\frac{3\pi}{2}.$$ 

Таким образом, $z=\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}.$

Ответ $\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}.$

1.438. $\frac{1-i}{1+i}.$

Решение.

Запишем число $z=\frac{1-i}{1+i}$ в алгебраической форме:

$$\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-2i+i^2}{1-i^2}=\frac{1-2i-1}{1+1}=\frac{-2i}{2}=-i.$$

Тригонометрическая форма числа $-i$ найдена в предыдущемпримере(1.435):

$z=-i=\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}.$

Ответ $\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}.$

1.441. $1+\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7}.$

Решение.

Пусть $z=x+iy=1+\cos\frac{\pi}{7}+i\sin{\pi}{7},$ то есть $x=1+\cos\frac{\pi}{7},\,\, y=\sin{\pi}{7}.$ Тогда $$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt {\left(1+\cos\frac{\pi}{7}\right)^2+\sin^2\frac{\pi}{7}}=$$ $$=\sqrt{1+2\cos\frac{\pi}{7}+\cos^2\frac{\pi}{7}+\sin^2\frac{\pi}{7}}=\sqrt{2+2\cos\frac{\pi}{7}}=$$ $$=\sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{14}}=2\cos\frac{\pi}{14}.$$

$$\cos\varphi=\frac{x}{|z|}=\frac{1+\cos\frac{\pi}{7}}{2\cos\frac{\pi}{14}}=\frac{2\cos^2\frac{\pi}{14}}{2\cos\frac{\pi}{14}}=\cos\frac{\pi}{14}.$$

$$\sin\varphi=\frac{y}{|z|}=\frac{sin\frac{\pi}{7}}{2\cos\frac{\pi}{14}}=\frac{2\cos\frac{\pi}{14}\sin\frac{\pi}{14}}{2\cos\frac{\pi}{14}}=\sin\frac{\pi}{14}.$$

Таким образом, $\varphi=\frac{\pi}{14}.$

Отсюда находим показательную форму комплексного числа $z=x+iy=1+\cos\frac{\pi}{7}+i\sin{\pi}{7}:$

$$z=2\cos\frac{\pi}{14}\left(\cos\frac{\pi}{14}+i\sin\frac{\pi}{14}\right).$$

Ответ: $2\cos\frac{\pi}{14}\left(\cos\frac{\pi}{14}+i\sin\frac{\pi}{14}\right).$

Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел

С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились,  – это и есть алгебраическая форма комплексного числа. Почему речь зашла о форме? Дело в том, что существуют еще тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел, о которых пойдет речь в следующем параграфе.

Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.

Сложение комплексных чисел

Пример 1

Сложить два комплексных числа ,

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Просто, не правда ли? Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях.

Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.

Для комплексных чисел справедливо правило первого класса:  – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вычитание комплексных чисел

Пример 2

Найти разности комплексных чисел  и , если ,

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: . Для наглядности ответ можно переписать так: .

Рассчитаем вторую разность:
Здесь действительная часть тоже составная:

Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . Вот здесь без скобок уже не обойтись.

Умножение комплексных чисел

Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:

Пример 3

Найти произведение комплексных чисел  ,

Очевидно, что произведение следует записать так:

Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что  и быть внимательным.

Повторим, omg, школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Я распишу подробно:

Надеюсь, всем было понятно, что

Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках. Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство:

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .

В учебной литературе и на просторах Сети легко найти специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел. Если хотите, пользуйтесь, но мне кажется, что подход с умножением многочленов универсальнее и понятнее. Формулу приводить не буду, считаю, что в данном случае – это забивание головы опилками.

Деление комплексных чисел

Пример 4

Даны комплексные числа , . Найти частное .

Составим частное:

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Вспоминаем бородатую формулу  и смотрим на наш знаменатель: . В знаменателе уже есть , поэтому сопряженным выражением в данном случае является , то есть

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой  (помним, что и не путаемся в знаках!!!).

Распишу подробно:

Пример я подобрал «хороший», если взять два числа «от балды», то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде .

В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: . Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы: . Для любителей порешать приведу правильный ответ:

Редко, но встречается такое задание:

Пример 5

Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме ).

Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу . В знаменателе уже есть , поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение , то есть на :

Пример 6

Даны два комплексных числа , . Найти их сумму, разность, произведение и частное.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

На практике запросто могут предложить навороченный пример, где нужно выполнить много действий с комплексными числами. Никакой паники: будьте внимательны, соблюдайте правила алгебры, обычный алгебраический порядок действий, и помните, что

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

      Пусть — произвольное комплексное число, отличное от нуля.

      Корнем   n — ой степени из числа  z , где  называют такое комплексное число   z = r e iφ , которое является решением уравнения

z n = z . (8)

      Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна   2kπ ,   где   k   — произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства

следствием которых являются равенства

(9)

      Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет   n   различных корней

(10)

где

причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов   zk   при   k = 0 , … , n – 1   располагаются в вершинах правильного   n — угольника, вписанного в окружность радиуса  с центром в начале координат.

      Замечание. В случае   n = 2   уравнение (8) имеет два различных корня   z1   и   z2 , отличающихся знаком:

z2 = – z1 .

      Пример 1. Найти все корни уравнения

z3 = – 8i .

      Решение. Поскольку

то по формуле (10) получаем:

      Следовательно,

      Пример 2. Решить уравнение

z2 + 2z + 2 = 0 .

      Решение. Поскольку отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:

      Так как

то решения уравнения имеют вид

z1 = – 1 + i ,       z2 = – 1 – i .

Комплексные числа — тригонометрическая форма

Казалось бы, плоскость двухмерная, так как для описания произвольной точки нужны два числа. На самом же деле можно обойтись одним числом. Для этого используется тригонометрическая форма представления. То есть z = a+bi можно представить как z = ×(cosφ+i×sinφ), где:

  • — модуль комплексного числа. Это расстояние от соответствующей точки до начала координат на плоскости. Например, модуль 2 + 1,5i = 2,5.
  • φ (argz) — аргумент комплексного числа. Он находится измерением угла между осью абсцисс и прямой, соединяющей начало координат с точкой, отвечающей числу. Аргумент 2 + 1,5i = 36,8°.

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: = √(a²+b²). Данная формула справедлива для любых значений a и b.

Для нахождения аргумента (φ или argz) нужно воспользоваться следующими формулами:

  • Если a>0 (1-я и 4-я координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле argz = arctg(b/a).
  • Если a<0, b>0 (2-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле argz = π+arctg(b/a).
  • Если a<0, b<0 (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле argz = -π+arctg(b/a).

Как видно, комплексные числа не так сложны, как могло бы показаться на первый взгляд. Ознакомившись с простым объяснением и методикой работы с ними, вы научитесь складывать, вычитать, умножать и делить комплексные числа. Также вы сможете переводить комплексные числа из алгебраической формы в тригонометрическую.