Измерения 3-4-5

Ребра – измерения

Поясняю, что я называю ребрами-измерениями. Итак, (см. рис. 1.1) в каждой 3ПГК-n
автор определил две «исходные» правильные n-угольные пирамиды:
верхнюю «исходную» пирамиду с вершиной +S, расположенную в первом
«ярусе» между параллельными плоскостями РI и РII, и нижнюю
«исходную» пирамиду с вершиной –S, расположенную в последнем, n-
«ярусе», между параллельными плоскостями Рn и Рn+I.

Боковые ребра этих двух «исходных» пирамид назовем ребрами-измерениями.
Если принять направления в пространстве n ребер-измерений, исходящих из вершины +S
верхней пирамиды, положительно направленными ребрами-измерениями (+),
то, соответственно, n ребер-измерений, исходящих из вершины –S нижней пирамиды,
надо считать отрицательно направленными ребрами-измерениями (-). – Это с одной стороны.

А с другой стороны: ребра-измерения имеют свою векторную направленность
относительно именно данной рассматриваемой вершины в 3ПГК-n
.

Поясняю, как я это понимаю: любое ребро в 3ПГК-n соединяет две вершины 3ПГК-n; если для одной из этих
двух вершин это ребро является положительным ребром-вектором, то для второй
вершины (или относительно второй вершины) это же ребро является отрицательным
ребром-вектором. Все в Мироздании относительно. Все познается в
сравнении.

Поэтому, когда вы начертите горизонтальную проекцию «исходной» правильной
n-угольной пирамиды с вершиной в точке +S, вы должны мысленно или на чертеже сразу
же обозначить (начертить) противоположные ребра-измерения нижней «исходной»
пирамиды с вершиной в точке –S.

Обратим особое внимание на следующее:

1) в 3ПГК-n, где n – четное число (т.е. n = 4, 6, 8, 10, …), основания
«исходных» пирамид (т.е. правильные n-угольники) геометрически зеркальны
,
то есть при строго вертикальном совмещении этих двух правильных n-угольников
их вершины и ребра совместятся.

В этом случае горизонтальная проекция двух «исходных» пирамид
(введем аббревиатуру: ГП 2ИП-n ) на чертеже (см. рис. 3.13) представлена
в виде n ребер-измерений, но каждое из этих n ребер-измерений содержит
в себе два ребра-измерения различных между собою по знаку;

2) в 3ПГК-n, где n – нечетное число (т.е. n = 3, 5, 7, 9, …), при строго
вертикальном совмещении оснований верхней и нижней «исходных» пирамид —
и вершины, и, соответственно, ребра этих правильных n-угольников геометрически
не совмещены.
В этом случае горизонтальная проекция двух «исходных» пирамид
(ГП2ИП-n) на чертеже представлена в виде 2n ребер-измерений, где n
ребер-измерений являются положительными векторами-измерениями и, соответственно,
другие n ребер-измерений являются отрицательными векторами измерениями.

Вот поэтому в первом случае, когда n равно четному числу (n = 4, 6, 8, 10, …),
в самих гиперкубах-n (ГК-n) и в их 3ПГК-n образуются реальные геометрически
совмещенные вершины
, и в любой проекции, в любом ракурсе, на всех чертежах
именно эти вершины будут всегда совмещены.

Во втором случае, когда n равно нечетному числу (n = 3, 5, 7, 9, …), в самих
гиперкубах-n (ГК-n) и в их 3ПГК-n нет ни одной геометрически совмещенной вершины,
в горизонтальной проекции совмещены только две вершины: +S и –S, но это –
визуальное совмещение, необходимое при построении именно этой проекции.
В зависимости от выбранного ракурса изображения можно достичь на чертежах
много визуально совмещенных вершин, даже ребер, граней и кубов, но это будет
лишь визуальное совмещение.

«3D» печатные изображения

Для печати изображений используются несколько методов, которые могут создать впечатление глубины:

  • стереоскопическое изображение, требующее ношения специальных двухцветных или поляризационных очков, позволяющих мозгу восстановить стереоскопическое зрение;
  • голография  : подложка представляет собой прозрачную пленку для пропускаемого изображения или серебряную пленку для отраженного изображения, и она содержит фигуру интерференции, полученную с помощью лазера  ; дифракция на этом рисунке, подобно дифракционной решетки , создает образ тома , видимый невооруженным глазом, но не позволяет цветопередачу.

Другие методики позволяют или позволят обойтись без специальных очков:

  • Линзовидные изображения (открытки или гаджеты), как правило, напечатанные (или ламинированные) на рифленой опоре на стороне зрителя;
  • В году в Германии была разработана технология, сочетающая особый режим печати и освещения для создания больших 3D-изображений. Прототип, произведенный в 2010 году, имел размер 1 квадратный метр ( формат A0 ), но, по оценкам группы, он может достигать панели в пять метров. Изображение, ранее измененное компьютером, печатается на массиве из сотен тысяч линз, которые возвращают его по-разному в зависимости от точки зрения. Возможны несколько тысяч точек зрения.

Что такое четырёхмерное пространство («4D»)?

Илья Щуров

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики НИУ ВШЭ

Начнём с самого простого геометрического объекта — точки. Точка — нульмерна. У неё нет ни длины, ни ширины, ни высоты.

Сдвинем теперь точку по прямой на некоторое расстояние. Допустим, что наша точка — остриё карандаша; когда мы её сдвинули, она прочертила отрезок. У отрезка есть длина, и больше никаких измерений — он одномерен. Отрезок «живёт» на прямой; прямая является одномерным пространством.

Возьмём теперь отрезок и попробуем его сдвинуть, как раньше точку. (Можно представить себе, что наш отрезок — это основание широкой и очень тонкой кисти.) Если мы выйдем за пределы прямой и будем двигаться в перпендикулярном направлении, получится прямоугольник. У прямоугольника есть два измерения — ширина и высота. Прямоугольник лежит в некоторой плоскости. Плоскость — это двумерное пространство (2D), на ней можно ввести двумерную систему координат — каждой точке будет соответствовать пара чисел. (Например, декартова система координат на школьной доске или широта и долгота на географической карте.)

Если сдвинуть прямоугольник в направлении, перпендикулярном плоскости, в которой он лежит, получится «кирпичик» (прямоугольный параллелепипед) — трёхмерный объект, у которого есть длина, ширина и высота; он расположен в трёхмерном пространстве — в таком, в каком живём мы с вами. Поэтому мы хорошо представляем себе, как выглядят трёхмерные объекты. Но если бы мы жили в двумерном пространстве — на плоскости — нам пришлось бы изрядно напрячь воображение, чтобы представить себе, как можно сдвинуть прямоугольник, чтобы он вышел из той плоскости, в которой мы живём.

Представить себе четырёхмерное пространство для нас также довольно непросто, хотя очень легко описать математически. Трёхмерное пространство — это пространство, в котором положение точки задаётся тремя числами (например, положение самолёта задаётся долготой, широтой и высотой над уровнем моря). В четырёхмерном же пространстве точке соответствует четвёрка чисел-координат. «Четырёхмерный кирпич» получается сдвигом обычного кирпичика вдоль какого-то направления, не лежащего в нашем трёхмерном пространстве; он имеет четыре измерения.

На самом деле мы сталкиваемся с четырёхмерным пространством ежедневно: например, назначая свидание, мы указываем не только место встречи (его можно задать тройкой чисел), но и время (его можно задавать одним числом — например, количеством секунд, прошедших с определённой даты). Если посмотреть на настоящий кирпич, у него есть не только длина, ширина и высота, но ещё и протяженность во времени — от момента создания до момента разрушения.

Физик скажет, что мы живём не просто в пространстве, а в пространстве-времени; математик добавит, что оно четырёхмерно. Так что четвёртое измерение ближе, чем кажется.

Задачи:

  Привести какой-нибудь другой пример реализации четырёхмерного пространства в реальной жизни.

 Определить, что такое пятимерное пространство (5D). Как должен выглядеть 5D-фильм?

В философии

Иммануил Кант в 1783 году писал: «То, что везде пространство (которое само не является границей другого пространства) имеет три измерения и что пространство в целом не может иметь больше измерений, основано на утверждении, что не более трех линий могут пересекаться справа. Это утверждение вообще невозможно показать из понятий, оно непосредственно опирается на интуицию и даже на чистую интуицию a priori, потому что оно аподиктически (очевидно) достоверно «.

«Пространство имеет четыре измерения» — это рассказ, опубликованный в 1846 году немецким философом и экспериментальным психологом Густавом Фехнером под псевдонимом «доктор Мизес». Главный герой сказки — тень, которая знает о других тенях и может общаться с ними, но оказывается в ловушке на двухмерной поверхности. Согласно Фехнеру, этот «человек-тень» воспринимал бы третье измерение как измерение времени. История очень похожа на « Аллегорию пещеры », представленную Платоном в « Республике» ( ок. 380 г. до н. Э.).

Саймон Ньюкомб написал статью для Бюллетеня Американского математического общества в 1898 году под названием «Философия гиперпространства». Линда Дэлримпл Хендерсон ввела термин «философия гиперпространства», используемый для описания письма, использующего высшие измерения для исследования метафизических тем, в своей диссертации 1983 года о четвертом измерении в искусстве начала двадцатого века. Примеры «философов гиперпространства» включают Чарльза Ховарда Хинтона , первого писателя в 1888 году, использовавшего слово «тессеракт»; и русский эзотерик П. Д. Успенский .

Существует ли жизнь в четвертом измерении?

То, как выглядели бы существа или жизнь в четырех измерениях, занимало ученых и других специалистов на протяжении десятилетий. В рассказе писателя Роберта Хайнлайна 1940 года «Дом который построил Тим» речь шла о постройке здания в форме Тессеракта. Писатель Клифф Пиковер представлял себе четырехмерных существ как «воздушные шары телесного цвета, постоянно меняющиеся в размерах. Эти существа будут казаться вам разрозненными кусками плоти, точно так же, как двумерный мир позволяет вам видеть только поперечные сечения и остатки мира трехмерного.»

Кадр из мультсериала «Футурама», 15 серия 7 сезона. Перед вами герои в 2D

Джон Нортон из Отдела истории и философии науки Питтсбургского университета считает, что можно прийти к пониманию природы четвертого измерения, задавая вопросы о том, что делает одно -, двух — и трехмерные объекты и явления такими, какие они есть, экстраполируя их в четвертое измерение. Существо, живущее в четвертом измерении, может обладать таким «стереовидением», описанным Нортоном, чтобы визуализировать четырехмерные образы, не будучи стесненным тремя измерениями.

Развёртки

Итак, житель четырёхмерного пространства может увидеть трёхмерный объект одновременно со всех сторон. Можем ли мы одновременно со всех сторон увидеть трёхмерный куб? Глазом — нет. Но люди придумали способ, как изобразить на плоском рисунке все грани трёхмерного куба одновременно. Такое изображение называется развёрткой.

Развёртка трёхмерного куба

Как образуется развёртка трёхмерного куба все наверно знают. Этот процесс показан на анимации.

Для наглядности края граней куба сделаны полупрозрачными.

Следует отметить, что мы способны воспринять эту двумерную картинку только благодаря воображению. Если рассмотреть фазы разворачивания с чисто двумерной точки зрения, то процесс будет казаться странным и совсем не наглядным.

Он выглядит, как постепенное появление сперва очертаний искажённых квадратов, а потом их расползание на свои места с одновременным принятием необходимой формы.

Если смотреть на разворачивающийся куб в направлении одной из его граней (с этой точки зрения куб выглядит как квадрат), то процесс образования развёртки ещё менее нагляден. Всё выглядит как выползание квадратов из начального квадрата (не развёрнутого куба).

Но не наглядна развёртка только для глаз. Как раз благодаря воображению из неё можно почерпнуть много информации.

Развёртка четырёхмерного куба

Сделать анимированный процесс разворачивания гиперкуба хоть сколько нибудь наглядным просто невозможно. Но этот процесс можно представить. (Для этого надо посмотреть на него глазами четырёхмерного существа.)

Развёртка выглядит так.

Здесь видны все восемь кубов, ограничивающих гиперкуб.

Одинаковыми цветами покрашены грани, которые должны совместиться при сворачивании. Серыми оставлены грани для которых парных не видно. После свёртки самая верхняя грань верхнего куба должна совместиться с нижней гранью нижнего куба. (Аналогично сворачивается развёртка трёхмерного куба.)

Обратите внимание, что после свёртки все грани восьми кубиков придут в соприкосновение, замкнув гиперкуб. И наконец, представляя процесс свёртывания, не забывайте, что при свёртывании происходит не наложение кубов, а оборачивание ими некой (гиперкубической) четырёхмерной области

Сальвадор Дали (1904-1989) много раз изображал распятие, а кресты фигурируют в очень многих его картинах. На картине «Распятие» (1954) используется развёртка гиперкуба.

Трехмерность изображения

Мир трехмерен. Его изображение двухмерно

Важной задачей живописи и, теперь, фотографии является передача трехмерности пространства. Некоторыми приемами владели уже римляне, потом они были забыты и начали возвращаться в классическую живопись с Ренессансом

Основной прием создания трехмерного пространства в живописи — перспектива. Железнодорожные рельсы, удаляясь от зрителя, визуально сужаются. В живописи рельсы можно физически сузить. В фотографии перспектива возникает автоматически: камера снимет рельсы такими же зауженными, как их видит глаз. Однако не допускайте почти смыкания: оно будет выглядеть уже не перспективой, а странной фигурой; между рельсами, сторонами улицы, берегами реки должен сохраняться заметный просвет.

Важно понимать, что линейная перспектива — наиболее примитивный, реалистичный способ передачи мира

Четырехмерное пространство

Тема многомерности пространства, в котором мы живем, давно уже привлекала внимание художников и искусствоведов. Многомерность, выход за привычные представления, открывает, казалось бы, новые и многообещающие возможности

Некоторые искусствоведы утверждали даже в начале века, что без учета многомерности пространства понять современное искусство нельзя. По этому поводу уместно сделать два замечания.

Вторым моментом, который хотелось бы отметить, является то, что значительно более сложное четырехмерное пространство, где четвертой координатой является не время (что себе легко представить), а тоже пространственная координата (что представить себе немыслимо), уже давно привлекло внимание художников. Более того, они даже разработали успешные методы его изображения

Речь идет об иконописцах в основном XV столетия » в это время передача четырехмерного пространства достигла наибольшего совершенства в русской иконописи. 

Прежде чем переходить к рассмотрению соответствующих икон, необходимо дать ряд пояснений геометрического характера, чтобы общие рассуждения о четырехмерном пространстве и возможных способах его изображения приобрели наглядность. Главная трудность в наглядном описании геометрии четырехмерного пространства связана с тем, что представить себе его нельзя. Это невозможно, поскольку требует от нас кроме естественных трех направлений (о них уже говорилось: направления вперед-назад, влево-вправо и вверх-вниз) представить себе движение в «четвертом» направлении, но такое, при котором в трех естественных направлениях движения не происходит. Иными словами, для нас, существ трехмерных, точка будет видна неподвижной, а на самом деле она будет двигаться в «четвертом» направлении. Единственный метод, который может здесь помочь,» это метод аналогий. Будем исходить из того, что наш привычный трехмерный мир «вложен» в четырехмерное пространство, что легко описать словами, но представить себе нельзя. Но зато ничего не стоит представить себе аналогичную, но элементарно простую ситуацию: двухмерный мир, «вложенный» в трехмерный. Хотя бы лист бумаги, находящийся в привычном для нас трехмерном пространстве. 

Пусть теперь этот лист бумаги будет тем двухмерным «пространством», на котором живут некие «плоские» существа, могущие ползать по листу; плоские существа, ползающие по плоскому листу, » аналогия нас, трехмерных организмов, перемещающихся в трехмерном пространстве. Пусть этот лист будет безграничным, а по его обеим сторонам ползают эти самые плоские существа: одни с верхней стороны листа, другие » с нижней. Совершенно очевидно, что, сколько бы они ни ползали, верхние никогда не встретятся с нижними, хотя они могут быть бесконечно близки друг к другу » ведь их все равно будет разделять бесконечно тонкая толщина непроницаемого листа. Таким образом, каждую точку листа надо будет считать дважды » как принадлежащую верхней и как принадлежащую нижней стороне. Естественно, что на верхней стороне листа могут происходить одни, а на нижней » другие события, причем эти события не будут мешать друг другу, поскольку они сдвинуты относительно друг друга хотя и на бесконечно малую величину, но в «непостижимом» для плоских существ направлении » перпендикулярно поверхности листа. Эта «непостижимость» обусловлена для плоских существ тем, что последние никогда в своей жизни в таком направлении не перемещались и перемещаться не могут. 

Эти две стороны одного листа позволяют по аналогии представить себе одновременное существование в некотором месте, хотя бы в комнате, обычного и мистического пространства. В первом живут и действуют люди, а во втором, например, ангелы. И те, и другие существуют в своих трехмерных пространствах и действуют, не мешая друг другу, поскольку эти два пространства «сдвинуты» относительно друг друга хотя и на бесконечно малую величину, но в непостижимом для людей «четвертом» направлении (напомним сделанное выше предположение, что наше обычное пространство «вложено» в четырехмерное). И в этом случае каждую точку подобной условной комнаты надо будет считать дважды » как принадлежащую мистическому и одновременно обычному пространству. Здесь полная аналогия с плоским листом, вложенным» в трехмерное пространство. Ведь можно для полноты аналогии условиться, что верхняя сторона листа является мистической, а нижняя » обычной поверхностью.

Что такое гиперкуб? Построение тессеракта

Виды гиперкубов и их названия

1. Точка — нулевое измерение

2. Отрезок — одномерное пространство

3. Квадрат — двумерное пространство (2D)

4. Куб — трёхмерное пространство (3D)

5. Тессеракт — четырёхмерное пространство (4D)

6. Пентеракт — пятимерное пространство (5D)

7. Хексеракт — шестимерное пространство (6D)

8. Хептеракт — семимерное пространство (7D)

9. Октеракт — восьмимерное пространство (8D)

10. Энтенеракт — девятимерное пространство (9D)

11. Декеракт — десятимерное пространство (10D)

Гиперкуб – это обобщающее название куба в производном числе измерений. Всего измерений десять, плюс точка (нулевое измерение).

Соответственно, существует одиннадцать видов гиперкуба. Рассмотрим построение тессеракта – гиперкуба четвертого измерения:

Для начала построим точку А (рис. 1):

Рис. 1 Точка

После, соединим ее с точкой В. Получим вектор АВ (рис. 2):

Рис. 2 Вектор

Построим вектор, параллельный вектору АВ, и назовем его CD. Соединив начала и концы векторов, получим квадрат ABDC (рис. 3):

Рис. 3 Квадрат

Теперь построим еще один квадрат A1B1D1C1, который лежит в параллельной плоскости. Соединив точки подобным образом, получим куб (рис. 4):

Рис. 4 Куб

У нас есть куб. Представьте, что положение куба в трехмерном пространстве с течением времени изменилось. Зафиксируем его новое местоположение (рис 5.):

Рис. 5 Измененное положение куба в пространстве

А теперь, мы проводим вектора, которые соединяют местоположение точек в прошлом и в настоящем. Получаем тессеракт (рис. 6):

Рис. 6 Тессеракт (построение)

Подобным образом строятся остальные гиперкубы, конечно же учитывается смысл пространства, в котором гиперкуб находится.

Четырехмерные объекты и тени

Как пишет Sciencing.com, поскольку трехмерные существа отбрасывают тень на двумерную поверхность Куба, это привело исследователей к предположению о том, что четырехмерные объекты отбрасывают трехмерную тень. Вот почему можно наблюдать «тень» в трех пространственных измерениях, даже если непосредственно наблюдать четыре измерения нельзя.

Математик Генри Сегерман из университета штата Оклахома создал и описал свои собственные 4-мерные скульптуры. Точно так же, как трехмерный объект отбрасывает двумерную тень, Сегерман утверждал, что его скульптуры являются трехмерными тенями четвертого измерения. Хотя эти примеры теней не дают прямых способов наблюдения четвертого измерения, они являются хорошим индикатором того, как думать о четвертом измерении.

Фигуры математика Генри Сегермана выглядят так

Математики часто приводят аналогию с муравьем, идущим по листу бумаги, описывая границы восприятия относительно измерений. Муравей, идущий по поверхности бумаги, может воспринимать только два измерения, но это не значит, что третьего измерения не существует. Это просто означает, что муравей может непосредственно видеть только два измерения и выводить третье измерение через рассуждения об этих двух измерениях. Точно так же люди могут размышлять о природе четвертого измерения, не воспринимая его непосредственно.

Четырехмерный куб Тессеракт – это один из примеров того, как трехмерный мир, описываемый x, y и z, может расширяться в четвертый. Математики, физики и другие ученые могут представлять векторы в четвертом измерении, используя четырехмерный вектор, который включает в себя другие переменные, такие как w. Геометрия объектов в четвертом измерении более сложна, так как включает в себя 4-многогранники, которые являются четырехмерными фигурами. Эти объекты показывают разницу между 3D и 4D изображениями.

Примечания [ править ]

  1. . encyclopediaofmath.org . Проверено 12 августа 2020 .
  2. . Британская энциклопедия . Проверено 12 августа 2020 .
  3. Хьюз-Халлетт, Дебора; Маккаллум, Уильям Дж .; Глисон, Эндрю М. (2013). Исчисление: одно и многомерное (6 изд.). Джон Вили. ISBN 978-0470-88861-2.
  4. ^ , стр. 34–5
  5. , стр. 41-2
  6. , стр. 133
  7. , стр. 131
  8. WS Massey (1983). «Перекрестные произведения векторов в многомерных евклидовых пространствах». Американский математический ежемесячник . 90 (10): 697–701. DOI . JSTOR . Если требуется только три основных свойства перекрестного произведения … оказывается, что перекрестное произведение векторов существует только в 3-мерном и 7-мерном евклидовом пространстве.
  9. Arfken, стр. 43.
  10. MR Spiegel; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ . Очерки Шаума (2-е изд.). США: Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-161545-7.
  11. Рольфсен, Дейл (1976). Узлы и ссылки . Беркли, Калифорния: опубликовать или погибнуть. ISBN 0-914098-16-0.
  12. Альбрехт Беутелспачер & Ute Розенбаум (1998) Проективная геометрия , страница 72, Cambridge University Press ISBN 0-521-48277-1 

Можно ли представить четырёхмерное пространство и гиперкуб?

Этот вопрос сродни вопросу: «можно ли представить Тайную Вечерю, посмотрев на одноимённую картину (1495-1498) Леонардо да Винчи (1452-1519)?»

С одной стороны, вы конечно не представите то, что видел Иисус (он сидит лицом к зрителю), тем более вы не почувствуете запаха сада за окном и вкуса еды на столе, не услышите пения птиц… Вы не получите полного представления о происходившем в тот вечер, но нельзя сказать, что вы не узнаете ничего нового и что картина не представляет никакого интереса.

Аналогичная ситуация и с вопросом о гиперкубе. Полностью представить его нельзя, но можно приблизиться к пониманию, каков он.

На пороге многомерности

«Представить себе четырёх- или пятимерное пространство сложно, но гипотетически в математике уже давно рассуждают и о стомерных пространствах. Учёные теоретически предсказали пространства, содержащие бесконечное количество измерений. Например, мы исследуем государства, и каждое из них обладает своей территорией, количеством городов и сёл, населением, валовым внутренним продуктом и прочими индексами. С математической точки зрения все эти цифры для каждого государства можно представить в виде одной точки в пространстве очень высокой размерности», — рассказал Стремоухов.

Также по теме

Космическая рябь: Нобелевскую премию по физике присудили за изучение гравитационных волн

Нобелевский комитет присудил премию по физике трём американским учёным, чья работа помогла обнаружить гравитационные волны,…

О существовании новых измерений говорится не только в общей теории относительности. Так, в теории суперструн рассматривается 10 пространственных независимых направлений.

Физики из Института Макса Планка считают, что другие измерения могут скрываться в гравитационных волнах — космических возмущениях пространства-времени.

Эксперты полагают, что другие измерения могут влиять на гравитационные волны двумя способами: менять обычные гравитационные волны и вызывать «лишние волны» на частотах выше 1000 Гц. Однако наблюдать «лишние волны» пока невозможно, поскольку существующие наземные детекторы недостаточно чувствительны к столь высоким частотам.

Тем не менее, эффект «лишних волн» можно обнаружить там, где обычные гравитационные волны сжимают и растягивают пространство-время. Для этой цели в следующем цикле исследований, запланированных на осень 2018 года, учёные задействуют несколько детекторов гравитационных волн Virgo и Ligo. Есть вероятность, что теорию существования других измерений подтвердят или опровергнут уже в следующем году.

В линейной алгебре [ править ]

Другой способ рассмотрения трехмерного пространства — это линейная алгебра , где идея независимости имеет решающее значение. Пространство имеет три измерения, потому что длина коробки не зависит от ее ширины или ширины. На техническом языке линейной алгебры пространство трехмерно, потому что каждая точка в пространстве может быть описана линейной комбинацией трех независимых векторов .

Точечное произведение, угол и длина править

Вектор можно представить в виде стрелки. Величина вектора — это его длина, а его направление — это направление стрелки. Вектор в 3 может быть представлен упорядоченной тройкой действительных чисел. Эти числа называются компонентами вектора.

Скалярное произведение двух векторов A = [ A 1 , A 2 , A 3 и B = [ B 1 , B 2 , B 3 определяется как:

A⋅B=A1B1+A2B2+A3B3.{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}.}

Величина вектора A обозначается || А || . Скалярное произведение вектора A = [ A 1 , A 2 , A 3 с самим собой равно

A⋅A=‖A‖2=A12+A22+A32,{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2},}

который дает

‖A‖=A⋅A=A12+A22+A32,{\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}}},}

формула евклидовой длины вектора.

Без ссылки на компоненты векторов скалярное произведение двух ненулевых евклидовых векторов A и B дается формулой

A⋅B=‖A‖‖B‖cos⁡θ,{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}

где θ представляет собой угол между A и B .

Перекрестный продукт править

Векторное произведение или векторное произведение представляет собой бинарную операцию на двух векторов в трехмерном пространстве и обозначается символом ×. Векторное произведение a × b векторов a и b — это вектор, перпендикулярный обоим и, следовательно, нормальный к плоскости, содержащей их. Он имеет множество приложений в математике, физике и технике .

Пространство и произведение образуют алгебру над полем , которая не является ни коммутативной, ни ассоциативной , но является алгеброй Ли с перекрестным произведением, являющимся скобкой Ли.

В n измерениях можно взять произведение n — 1 векторов, чтобы получить вектор, перпендикулярный им всем. Но если продукт ограничен нетривиальными бинарными произведениями с векторными результатами, он существует только в трех и семи измерениях .

Кросс-произведение относительно правой системы координат

Развёртки

Итак, житель четырёхмерного пространства может увидеть трёхмерный объект одновременно со всех сторон. Можем ли мы одновременно со всех сторон увидеть трёхмерный куб? Глазом — нет. Но люди придумали способ, как изобразить на плоском рисунке все грани трёхмерного куба одновременно. Такое изображение называется развёрткой.

Развёртка трёхмерного куба

Как образуется развёртка трёхмерного куба все наверно знают. Этот процесс показан на анимации.

Для наглядности края граней куба сделаны полупрозрачными.

Следует отметить, что мы способны воспринять эту двумерную картинку только благодаря воображению. Если рассмотреть фазы разворачивания с чисто двумерной точки зрения, то процесс будет казаться странным и совсем не наглядным.

Он выглядит, как постепенное появление сперва очертаний искажённых квадратов, а потом их расползание на свои места с одновременным принятием необходимой формы.

Если смотреть на разворачивающийся куб в направлении одной из его граней (с этой точки зрения куб выглядит как квадрат), то процесс образования развёртки ещё менее нагляден. Всё выглядит как выползание квадратов из начального квадрата (не развёрнутого куба).

Но не наглядна развёртка только для глаз.