Нильс бор и рождение принципа дополнительности из духа противоречия

Содержание

  • Слайд 1

    Работу выполнила студентка института химии 2 курса 213 группы: Никитина Наталья

  • Слайд 2

    Постулаты Бора — основные допущения, сформулированные Нильсом Бором в 1913 году для объяснения закономерности линейчатого спектра атома водорода и водородоподобных ионов и квантового характера испускания и поглощения света. Бор исходил из планетарной модели атома Резерфорда

  • Слайд 3

    В атоме существуют стационарные квантовые состояния, не изменяющиеся с течением времени без внешнего воздействия на атом.В этих состояниях атом не излучает электромагнитных волн, хотя и движется с ускорением.Каждому стационарному состоянию атома соответствует определенная энергия атома.Стационарным состояниям соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны.

  • Слайд 4

    II ПОСТУЛАТ — ПОСТУЛАТ квантования МОМЕНТА ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА НА ОРБИТЕ

    В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные, квантовые значения момента импульса.
    Квантование-придание физическим величинам в микро мире дискретного набора значений.
    Правило квантования Бора позволяет вычислить радиусы стационарных орбит электрона в атоме водорода и определить значения энергий.
    me- масса электрона,
    υ – скорость электрона
    rn – радиус стационарной круговой орбиты

  • Слайд 5

    III постулат — правило частот:

    При переходе атома из одного стационарного состояния в другое излучается или поглощается 1 фотон.а) Атом излучает 1 фотон(который несет 1 квант энергии), когда электрон переходит из состояния с большей энергией (Е k) в состояние с меньшей энергией (Е n). 
    Энергия излученного фотона: Частота излучения:

    Здесь (Ek — En) — разность энергий стационарных состояний.При Ек > Eп происходит излучение фотона. 
    где k и n — номера стационарных состоянии, или главные квантовые числа.

  • Слайд 6

    б) Атом поглощает 1 фотон, когда переходит из стационарного состояния с меньшей энергией (E n) в стационарное состояние с большей энергией (E k).При Ек

  • Слайд 7

    Энергетические диаграммы

    Возбужденное состояние
    Е4>Е3>Е2>Е1

    Переход атома
    Энергетический уровень (стационарное состояние)
    Нормальное состояние атома
    Е1 — минимальная энергия

    Е1
    Е2
    Е3
    Е4
    Е,эВ

  • Слайд 8

    Свои постулаты Н. Бор применил для построения теории строения простейшего атома (атома водорода).Согласно этой теории Бор смог вычислить для атома водорода:- возможные радиусы орбит электрона и размеры атома- энергии стационарных состояний атома- частоты излучаемых и поглощаемых электромагнитных волн. 

  • Слайд 9

    Модель атома водорода по Бору

  • Слайд 10

  • Слайд 11

  • Слайд 12

    Демонстрация диаграммы энергетических уровней атома некоторых элементов

  • Слайд 13

    Распределение энергетических уровней при излучении (испускании) и поглощении атомом водорода электромагнитных волн:

    При (n = 1) — основное энергетическое состояние, ему соответствует радиус орбиты электрона r = 0,5 • 10 -11 м. При (n больше 1) — возбужденные состояния.При поглощении атомом кванта энергии (фотона) атом переходит в возбужденное состояние, при этом электрон переходит на более отдаленную орбиту и его связь с ядром слабеет.

  • Слайд 14

    Применение теории Бора и её экспериментальные обоснования

    Объясняет строение атома водорода и водородоподобных атомов
    Существование спектральных серий: Лаймана, Бальмара, Пашина, Брекета, и Пфунда
    Опыты Франка и Герца

  • Слайд 15

    Опыты Франка — Герца

    Рис. 1. Схема опыта Франка — Герца. В сосуде Л находятся пары ртути при давлении 1 мм. рт. ст. К — накаливаемый катод, С1 и С2 — ускоряющая и замедляющая сетки, А — анод. Ток регистрируется гальванометром Г.

    Рис. 2. Зависимость силы тока от величины ускоряющего потенциала I(V) в опыте Франка — Герца

  • Слайд 16

    Является половинчатой (были использованы законы классической механики и квантовые постулаты)
    Постулаты Бора являются следствием квантовой механики и электродинамики
    Правило квантования Бора применяется не всегда
    Электроны не имеют определенных орбит, как в теории Бора

  • Слайд 17

    Использованные источники:

    1. www.myshared.ru/slide/136618
    2. http://pptcloud.ru/shkola/fizika/library/prezentaciya-uroka-postulaty-bora-0
    3. http://class-fizika.narod.ru/at2.htm
    4. http://www.uchportal.ru/load/40-1-0-6937
    5. http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/chapter6/section/paragraph2/theory.html
    6. http://av-physics.narod.ru/atom/quantum-postulates.htm

Посмотреть все слайды

Атомная модель Бора

Нильс Бор решил рассмотреть детальнее планетарную модель атома Резерфорда. В 1912 году он работал в его лаборатории, занимавшись исследованиями. По возвращении домой в 1913 году, запустил публикации своей теории модели простейшего атома.

Использовал планетарную атомную модель, чтобы объяснить атомный спектр и размер атома водорода. Ему удалось привнести много пользы в развитие атомной физики и квантовой механики

Десятилетиями ученые пытались разобраться в характеристиках атомов. Им удалось выявить размеры и спектры, но физика не могла этого объяснить. Бор сумел разобраться в атомном спектре водорода.

Что выходит согласно модели строения атома Бора? Главная загвоздка заключалась в следующем. Согласно классической механике, электрон при вращении вокруг ядра обязан создавать ЭМ-лучи. Это привело бы к потере энергии и в итоге он рухнет в ядро. Такая атомная модель несет в себе катастрофу, полагая, что все атомы лишены устойчивости. Тем более, что орбита будет сокращаться, увеличивая скорость вращения. Но в конце 19-го века в экспериментах заметили, что атомы излучают свет на конкретных дискретных частотах.

Чтобы решить проблему, в 1913 году Нильс Бор предложил собственную модель атома. Она основывалась на том, что электроны выполняют лишь конкретные движения:

  • вращаются вокруг ядра.
  • могут лишь стабилизироваться на конкретных орбитах, но не излучать. Орбиты связывались с энергиями и именуются энергетическими уровнями. Здесь ускорение электрона не вызывает радиацию и потерю энергии.
  • электроны могут получить или расходовать энергию при переходе между орбитами: ΔE = E2 — E1 = hν (h – постоянная Планка, ν – частота излучения).

Стабилизация нестабильности

И вот в 1913 году датский ученый Нильс Бор, работавший в свое время у Резерфорда в Манчестере, предложил свое представление о строении атома. Стоит сказать, что именно Бор, работая в Кембридже, указал самому великому Томсону на ошибку в расчетах мэтра, но то ли его недостаточный английский, то ли молодость привели к тому, что работа с Томсоном у Бора так и не сложилась.

Нильс Бор (1885-1962) — датский физик-теоретик и общественный деятель, один из создателей современной физики. Лауреат Нобелевской премии по физике. Известен как создатель первой квантовой теории атома и активный участник разработки основ квантовой механики

Настало время создания модели, способной согласовать теорию и эксперимент. Бор показал, что несовпадение экспериментов Резерфорда с выводом возникло потому, что поведение микрочастиц нельзя описывать теми же законами, что и макроскопических тел. Он предположил, что величины, характеризующие микромир, должны квантоваться, то есть, как мы уже знаем, могут принимать только определенные дискретные значения. К сожалению, эти законы в начале XX столетия еще не были установлены наукой.

Объяснив дискретность (скачкообразность) энергетических состояний простых атомов, Бор в своей теории подошел к объяснению многих внутриатомных процессов с принципиально новых позиций, она стала первой полуквантовой теорией атома. Ее значение состоит в смелом предположении о существовании стационарных состояний и скачкообразных переходов между ними. Эти положения позднее были распространены и на другие микросистемы.

За основу Бор взял планетарную модель атома Резерфорда. Как вы помните, с точки зрения классической электродинамики электрон в модели Резерфорда, двигаясь вокруг ядра, должен был бы излучать непрерывно и очень быстро, потеряв энергию, упасть на ядро. Бор допустил, что электроны в атоме могут двигаться только по определенным орбитам, находясь на которых, они не излучают, а излучение или поглощение происходит только в момент перехода с одной орбиты на другую. Причем стационарными являются только те орбиты, при движении по которым момент количества движения электрона равен целому числу постоянных Планка.

Модель водородоподобного атома, предложенная Нильсом Бором: отрицательно заряженный электрон заключен в атомной оболочке, окружающей малое, положительно заряженное атомное ядро

Поделиться ссылкой

Что увидел Гейзенберг?

А в чем, кстати, состоял принцип неопределенности Гейзенберга? Вернемся к началу 1927 года и резюмируем в общих чертах. Итак, за полгода до дискуссии в холле отеля Вернер Гейзенберг опубликовал статью, в которой утверждалось, что невозможно проводить наблюдения на квантовом уровне, не нарушая наблюдаемый объект. Вся информация поступает к человеку посредством органов чувств, поэтому если исследователь собирается, например, наблюдать за электроном, ему сначала нужно найти способ сделать его доступным для зрения. Для взаимодействия с электроном ему понадобится фотон — световой пучок. Однако это взаимодействие нарушит наблюдаемый электрон. Иными словами, мы можем наблюдать какой-то объект, но при этом нам придется его изменить, чтобы за ним наблюдать. И здесь возникает парадокс: получается, ни один объект нельзя описать достоверно в один момент времени?  

Вернер Гейзенберг на лекции

Это понимание и вызвало буквально потрясение основ в физике, которое, как это часто бывает с научными потрясениями, имело далеко идущие философские последствия. Еще с Бэкона и Декарта исследователи исходили из предположения, что если они хотят полностью описать предмет, они смогут это сделать. Теперь внезапно они поняли, что это невозможно. Уверенность, которая поддерживала взаимодействие науки с природой, реальностью, вселенной как бы вы это ни называли — оказалась, ретроспективно, иллюзией. Что же физик измеряет, если он со своими приборами непоправимо вмешивается в измеряемое?

История

Старая квантовая теория была инициирована работой Макса Планка 1900 года по излучению и поглощению света и всерьез зародилась после работы Альберта Эйнштейна о теплоемкости твердых тел. Эйнштейн, а затем Дебай применили квантовые принципы к движению атомов, объяснив аномалию теплоемкости.

В 1913 году Нильс Бор определил принцип соответствия и использовать его , чтобы сформулировать модель из атома водорода , который объяснил линейный спектр . В следующие несколько лет Арнольд Зоммерфельд распространил квантовое правило на произвольные интегрируемые системы, используя принцип адиабатической инвариантности квантовых чисел, введенный Лоренцем и Эйнштейном. Зоммерфельд внес решающий вклад, квантовав z-компоненту углового момента , что в старые квантовые времена называлось пространственным квантованием (Richtungsquantelung). Это позволило орбитам электрона быть эллипсами вместо окружностей и ввело понятие квантового вырождения . Теория правильно объяснила бы эффект Зеемана , за исключением вопроса о спине электрона . Модель Зоммерфельда была намного ближе к современной квантово-механической картине, чем модель Бора.

На протяжении 1910-х и вплоть до 1920-х годов многие проблемы решались с использованием старой квантовой теории с неоднозначными результатами. Были изучены спектры молекулярного вращения и колебаний и обнаружен спин электрона, что привело к путанице с полуцелыми квантовыми числами. Макс Планк ввел нулевую энергию, а Арнольд Зоммерфельд полуклассически квантовал релятивистский атом водорода. Хендрик Крамерс объяснил эффект Старка . Бозе и Эйнштейн дали правильную квантовую статистику для фотонов.

Крамерс дал рецепт для вычисления вероятностей переходов между квантовыми состояниями в терминах фурье-компонентов движения, идеи, которые были расширены в сотрудничестве с Вернером Гейзенбергом до полуклассического матричного описания вероятностей атомных переходов. Гейзенберг переформулировал всю квантовую теорию в терминах версии этих матриц перехода, создав матричную механику .

В 1924 году Луи де Бройль представил волновую теорию материи, которая вскоре была расширена до полуклассического уравнения для волн материи Альбертом Эйнштейном. В 1926 году Эрвин Шредингер нашел полностью квантово-механическое волновое уравнение, которое воспроизводило все успехи старой квантовой теории без двусмысленностей и противоречий. Волновая механика Шредингера развивалась отдельно от матричной механики, пока Шредингер и другие не доказали, что эти два метода предсказывают одни и те же экспериментальные последствия. Позже в 1926 году Поль Дирак доказал, что оба метода могут быть получены из более общего метода, называемого теорией преобразований .

В 1950-х годах Джозеф Келлер обновил квантование Бора-Зоммерфельда, используя интерпретацию Эйнштейна 1917 года, теперь известную как метод Эйнштейна-Бриллюэна-Келлера . В 1971 году Мартин Гуцвиллер учел, что этот метод работает только для интегрируемых систем, и вывел полуклассический способ квантования хаотических систем из интегралов по путям .

черты

Ограничения атомной модели Бора

Атомная модель Зоммерфельда появляется, чтобы усовершенствовать недостатки атомной модели Бора. Предложения этой модели, в общих чертах, следующие:

— Электроны описывают круговые орбиты вокруг ядра, не излучая энергию.

— Не все орбиты были возможны. Разрешены только орбиты, у которых момент импульса электрона соответствует определенным характеристикам. Стоит отметить, что момент импульса частицы зависит от компендиума всех ее величин (скорости, массы и расстояния) относительно центра поворота.

— Энергия, выделяемая при спуске электрона с одной орбиты на другую, излучается в виде энергии света (фотона)..

Хотя атомная модель Бора прекрасно описала поведение атома водорода, его постулаты не могли быть воспроизведены для других типов элементов.

При анализе спектров, полученных от атомов элементов, отличных от водорода, было обнаружено, что электроны, находящиеся на одном и том же энергетическом уровне, могут содержать разные энергии.

Таким образом, каждая из основ модели была опровергнута с точки зрения классической физики. В следующем списке подробно изложены теории, противоречащие модели, согласно предыдущей нумерации:

— Согласно электромагнитным законам Максвелла, все заряды, подверженные определенному ускорению, излучают энергию в форме электромагнитного излучения..

— Учитывая положение классической физики, было немыслимо, чтобы электрон не мог свободно вращаться на любом расстоянии от ядра..

— К тому времени научное сообщество уже твердо убеждалось в волновой природе света, и идея представить себя как частицу не рассматривалась до тех пор..

Вклад Зоммерфельда

Арнольд Зоммерфельд пришел к выводу, что разность энергий между электронами — даже если они находились на одном и том же энергетическом уровне — была обусловлена ​​наличием энергетических подуровней внутри каждого уровня.

Зоммерфельд полагался на закон Кулона, утверждая, что если на электрон действует сила, обратно пропорциональная квадрату расстояния, описанный путь должен быть эллиптическим, а не строго круговым.

Кроме того, он основывался на теории относительности Эйнштейна, чтобы по-разному относиться к электронам и оценивать их поведение на основе скоростей, достигнутых этими фундаментальными частицами..

Квантово-механическая модель строения атома

В основу КММ положена квантовая теория атома, согласно которой электрон обладает как свойствами частицы, так и свойствами волны. Другими словами, о местоположении электрона в определенной точке можно судить не точно, а с определенной долей вероятности.

Согласно , электроны в процессе своего движения в атоме формируют электронное облако — модель состояния электрона в атоме.

Вращающийся вокруг ядра электрон, движется в определенной области пространства, являющейся наиболее энергетически выгодной — такая область называется орбиталью.

Энергетическое состояние электрона в атоме описывают квантовыми числами n, l, ml, ms:

Квантовое число Символ Описание Значения
Главное n Энергетический уровень орбитали (размер электронного облака) Положительные целые числа: 1, 2, 3…
Орбитальное l Энергетический подуровень орбитали (форма электронного облака) Целые числа от 0 до n-1
Магнитное ml Ориентация электронного облака в пространстве Целые числа от -l до +l
Спиновое ms Спин электрона (способ движения электрона вокруг своей оси) +½ и -½

Главное квантовое число n

Описывает:

  • среднее расстояние от орбитали до ядра;
  • энергетическое состояние электрона в атоме.

Чем больше значение n, тем выше энергия электрона и больше размер электронного облака. Если в атоме несколько электронов с одинаковым n, то они образуют электронные облака одинакового размера — электронные оболочки.

Орбитальное квантовое число l (азимутальное)

Описывает форму орбитали, которая зависит от n.

Орбитальное число l может принимать целочисленные значения в диапазоне от 0 до n-1. Например, при n=2: l=0 l=1

Значение l определяет форму орбитали, а n — ее размер

Орбитали, имеющие одинаковое n, но разные l называют энергетическими подуровнями и обозначают буквами латинского алфавита:

l Энергетический подуровень
0
1
2
3
4
s
p
d
f
g

Состояние электрона в атоме для различных главных и орбитальных квантовых чисел принято записывать следующим образом: 2s; 3p; 3d…

Магнитное квантовое число m

Описывает ориентацию орбиталей в пространстве.

Может принимать целочисленные значения в диапазоне от -l до +l (включая 0). Например:

Для l=0 возможно только одно значение: m=0. Это значит, что s-орбиталь имеет только одну пространственную ориентацию.

Для l=1: m=-1;0;+1 — p-орбиталь имеет три пространственные ориентации.

Для l=2: m=-2;-1;0;+1;+2 — d-орбиталь имеет пять пространственных ориентаций.

Спиновое квантовое число ms

Описывает направление вращения электрона в магнитном поле — по часовой стрелке или против. На каждой орбитали может находиться только два электрона: один со спином +½ другой -½.

Квантовые числа для первых трех энергетических уровней:

n l Орбиталь m ms
1 1s +½ -½
2 2s +½ -½
2 1 2p -1
0
+1
+½ -½
+½ -½
+½ -½
3 3s +½ -½
3 1 3p -1
0
+1
+½ -½
+½ -½
+½ -½
3 2 3d -2
-1
0
+1
+2
+½ -½
+½ -½
+½ -½
+½ -½
+½ -½

На первом уровне (n=1) есть только s-орбиталь, на которой может находиться только 2 электрона со спинами +1/2 и -1/2. Это справедливо для s-орбитали любого уровня: 1s; 2s; 3s…

На втором энергетическом уровне (n=2) есть уже две орбитали s; p. На третьем (n=3) — три орбитали: s, p, d. и т.д. С каждым новым энергетическим уровнем добавляется новая орбиталь.

Для 2p-орбитали существует три пространственных ориентации (формы облака), на каждой из которых может находиться по два электрона. Т.е. на втором энергетическом может находиться не более 6 p-электронов.

Для 3d — максимум 10 d-электронов и пять форм облаков.

Главные энергетические уровни отличаются энергией. Чем выше уровень — тем выше энергия. С другой стороны, различные орбитали одного и того же уровня также обладают разной энергией:

Энергия электронов на орбитали 2p выше, чем на 2s

Энергия электронов на орбитали 3p выше, чем на 3s

Энергия электронов на орбитали 3d выше, чем на 3s

Энергия электронов на орбитали 3d выше, чем на 3p

Что же касается электронов «внутри орбиталей», то их энергии одинаковы (так у всех десяти электронов 3d-орбитали энергии одинаковы).

См. далее: Электронная структура атомов

Модель

Постулаты Бора

Согласно атомной модели Резерфорда 1911 года, атом состоит из положительно заряженного, очень маленького и тяжелого атомного ядра, окруженного множеством электронов. Бор подхватил эту идею. Он исследовал периодическое орбитальное движение одиночного электрона, поскольку оно вытекает из формул классической механики, когда сила между ядром и электронами возникает из-за электростатического притяжения . Чтобы адаптировать эту модель к наблюдаемым свойствам атома водорода, он расширил ее, включив в нее три постулата:

  1. Электрону доступны не все классически возможные орбиты, а только некоторые избранные. На этих орбитах он не генерирует электромагнитное излучение, но сохраняет свою энергию. Это стационарные состояния атома.
  2. Электрон может перескакивать из одного стационарного состояния в другое. Этот процесс, известный как квантовый скачок, выходит за рамки классической механики и электродинамики. Во время квантового скачка между стационарными состояниями с разными энергиями, уровнями энергии излучается или поглощается электромагнитное излучение . Частота  излучения не определяется орбитальной частотой электрона, а исключительно за счет разности энергии между  двумя состояниями в соответствии с формулой обнаружена с помощью Макса Планка для теплового излученияж{\ displaystyle f}ΔЭ.{\ displaystyle \ Delta E}жзнак равноΔЭ.ЧАС.{\ displaystyle f = \ Delta E / h.}
  3. Частота генерируемого или поглощенного излучения приближается к орбитальной частоте электрона, если электрон движется очень медленно в начальном состоянии и переходит в наиболее близкое по энергии состояние.

В первых двух постулатах Бор формулирует, что законы классической механики и электродинамики применимы только в ограниченной степени на атомном уровне. В отличие от классической механики, здесь нет непрерывного перехода между двумя состояниями, а есть квантовый скачок. В подробных расчетах он реализует первый постулат таким образом, что для некоторых круговых орбит он предполагает, что, в прямом противоречии с теорией электродинамики, электроны не теряют никакой энергии в виде электромагнитного излучения во время вращения. Второй постулат также противоречит электродинамике, поскольку в ее модели частота испускаемого излучения не должна согласовываться с орбитальной частотой частицы, генерирующей волну. В результате (и с помощью еще одного, но абсурдного и неверного дополнительного предположения) ему удается вывести совершенно новые формулы для связи между движением электрона (с параметрами орбитального радиуса, энергии, орбитальной частоты) и испускаемого излучения ( параметр частота), который похож на формулу Ридберга .

Чтобы выбрать правильную из этих все еще слишком общих формул, в своем третьем постулате он впервые использует принцип соответствия между классической и квантовой физикой, который он обнаружил (но только позже назвал) : несмотря на резкие контрасты, как указано в первых двух постулатах должен быть плавный переход от знакомой и проверенной классической физики к новой квантовой физике. Таким образом (после некоторых расчетов) из третьего постулата следует, что стабильные электронные орбиты характеризуются орбитальным угловым моментом электрона, являющимся целым кратным приведенному кванту Планка :
Л.{\ displaystyle L}ℏзнак равноЧАС2π{\ displaystyle \ hbar = {\ tfrac {h} {2 \ pi}}}

Л.знак равнопℏ(пзнак равно1,2,…){\ Displaystyle L = п \ hbar \ quad (п = 1,2, \ dotsc)}

Это тоже иногда называют третьим постулатом Бора, поскольку он позволяет строго вывести формулы атомной модели Бора без использования принципа соответствия или упомянутого ложного дополнительного предположения (см. ниже ). Сам Бор позже называл своими постулатами только первые два предположения.

Математическая формулировка

Хотя атомная модель Бора игнорирует реальность, она явно превосходит предыдущие атомные модели. Это позволяет сравнивать ряд численных результатов с экспериментальными результатами, прежде всего с положением линий в спектре водорода. В отличие от более современных атомных моделей, математика, необходимая для этого, может быть выполнена с использованием формул и простых преобразований уравнений:

Атомная модель Бора рассматривает электрон как точечную частицу массы, которая притягивается противоположным электрическим зарядом ядра. Используя эту кулоновскую силу в качестве центростремительной силы ,
м{\ displaystyle m} е{\ displaystyle e}

е24-йπε1р2знак равномv2р,{\ displaystyle {\ frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {1} {r ^ {2}}} = {\ frac {mv ^ {2}} {р}},}

электрон может двигаться по круговой траектории с подходящими комбинациями радиуса и скорости .
р{\ displaystyle r}v{\ displaystyle v}

Если указанное выше уравнение умножить на, получится теорема вириала.р{\ displaystyle r}

-Э.пОтзнак равно2Э.kяп,{\ displaystyle -E _ {\ mathrm {pot}} = 2E _ {\ mathrm {kin}},}

см. Кулоновский потенциал и кинетическая энергия .

Если его снова умножить на, дополнительно постулируемое квантование углового момента может быть использовано для исключения:
мр2{\ displaystyle mr ^ {2}}Л.знак равномvрзнак равнопℏ{\ Displaystyle L = mvr = п \ бар}v{\ displaystyle v}

е24-йπεмрзнак равноп2ℏ2{\ displaystyle {\ frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} mr = n ^ {2} \ hbar ^ {2}}

Это дает радиус орбиты в состоянии с главным квантовым числом равным
п{\ displaystyle n}

рпзнак равноп24-йπεℏ2ме2.{\ displaystyle r_ {n} = n ^ {2} {\ frac {4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ hbar ^ {2}} {me ^ {2}}}.}

Наименьший радиус составляет около 52,9  пм и известен как классический или Бора атомным радиусом .
р1{\ displaystyle r_ {1}}

Следующее относится к общей энергии:

Э.пзнак равноЭ.пОт+Э.kяпзнак равно12Э.пОтзнак равно-12е24-йπε1рзнак равно-(е24-йπε)2м2ℏ21п2знак равно-1п2Э.Р.{\ displaystyle E_ {n} = E _ {\ mathrm {pot}} + E _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {1} {2}} E _ {\ mathrm {pot}} = — { \ frac {1} {2}} {\ frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {1} {r}} = — \ left ({\ frac { e ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ right) ^ {2} {\ frac {m} {2 \ hbar ^ {2}}} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = — {\ frac {1} {n ^ {2}}} E _ {\ mathrm {R}}}

с ридберговской энергией .
Э.Р.знак равно(е24-йπε)2м2ℏ2≈13-е,ШестойэВ{\ displaystyle E _ {\ mathrm {R}} = \ left ({\ frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ right) ^ {2} {\ frac {m } {2 \ hbar ^ {2}}} \ приблизительно 13 {,} 6 \, {\ text {eV}}}

Для разницы энергий между состояниями и получается
п1{\ displaystyle n_ {1}}п2{\ displaystyle n_ {2}}

ΔЭ.знак равноЭ.п2-Э.п1знак равно(1п12-1п22)Э.Р..{\ displaystyle \ Delta E = E_ {n_ {2}} — E_ {n_ {1}} = \ left ({\ frac {1} {n_ {1} ^ {2}}} — {\ frac {1}) {n_ {2} ^ {2}}} \ right) E _ {\ mathrm {R}}.}

Это (за исключением поправки на совместное движение ядра) в точности формула Ридберга для спектра водорода, которую Йоханнес Ридберг уже прочитал из наблюдаемых линейчатых спектров в 1888 году — без знания атомной модели и без интерпретации. ридберговской энергии как совокупности констант природы.
,05%{\ displaystyle 0 {,} 05 \%}Э.Р.{\ displaystyle E _ {\ mathrm {R}}}

Если вы отпустите формулу Ридберга в сторону бесконечности, вы получите энергию ионизации для ионизации из состояния .
п2{\ displaystyle n_ {2}}п1{\ displaystyle n_ {1}}

Формула Зоммерфельда — Дирака

Движение электрона вокруг атомного ядра в рамках классической механики можно рассматривать как «линейный осциллятор», который характеризуется «адиабатичным инвариантом», представляющим собой площадь эллипса (в обобщённых координатах):

∮p⋅dq=Wν=J{\displaystyle \oint \mathbf {p} \cdot \,\mathbf {dq} ={\frac {W}{\nu }}=J}

где p,q{\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} } — обобщённый импульс и координаты электрона, W{\displaystyle W} — энергия, ν{\displaystyle \nu } — частота.
А квантовый постулат утверждает, что площадь замкнутой кривой в фазовой pq{\displaystyle pq} — плоскости за один период движения, равна целому числу, умноженному на постоянную Планка h{\displaystyle h} (Дебай, 1913 г.).
С точки зрения рассмотрения постоянной тонкой структуры наиболее интересным является движение релятивистского электрона в поле ядра атома, когда его масса зависит от скорости движения. В этом случае мы имеем два квантовых условия:

J1=nh {\displaystyle J_{1}=nh\ }, J2=kh {\displaystyle J_{2}=kh\ },

где n{\displaystyle n} определяет главную полуось эллиптической орбиты электрона (a{\displaystyle a}), а k{\displaystyle k} — его фокальный параметр q{\displaystyle q}:

a=an2 {\displaystyle a=a_{0}n^{2}\ }, q=ak2 {\displaystyle q=a_{0}k^{2}\ }.

В этом случае Зоммерфельд получил выражение для энергии в виде

E=−RyZ2n2+ϵ(n,k){\displaystyle E=-{\frac {RyZ^{2}}{n^{2}}}+\epsilon (n,k)}.

где Ry{\displaystyle Ry} — постоянная Ридберга, а Z{\displaystyle Z} — порядковый номер атома (для водорода Z=1{\displaystyle Z=1}).

Дополнительный член ϵ(n,k){\displaystyle \epsilon (n,k)} отражает более тонкие детали расщепления спектральных термов водородоподобных атомов, а их число определяется квантовым числом k{\displaystyle k}. Таким образом сами спектральные линии представляют собой системы более тонких линий, которые соответствуют переходам между уровнями высшего состояния (n=n1,k=1,2,…,n1{\displaystyle n=n_{1},k=1,2,…,n_{1}}) и низшего состояния (n=n2,k=1,2,…,n2{\displaystyle n=n_{2},k=1,2,…,n_{2}}). Это и есть т. н. тонкая структура спектральных линий. Зоммерфельд разработал теорию тонкой структуры для водородоподобных атомов (H{\displaystyle H}, He+{\displaystyle He^{+}} , Li2+{\displaystyle Li^{2+}}), а Фаулер с Пашеном на примере спектра однократно ионизированного гелия He+{\displaystyle He^{+}} установили полное соответствие теории с экспериментом.

Зоммерфельд (1916 г.) еще задолго до возникновения квантовой механики Шредингера получил феноменологичную формулу для водородных термов в виде:

E+E=E(1+α2Z2(nr+nϕ2−α2Z2)2)−12{\displaystyle E+E_{0}=E_{0}\left(1+{\frac {\alpha ^{2}Z^{2}}{\left(n_{r}+{\sqrt {n_{\phi }^{2}-\alpha ^{2}Z^{2}}}\right)^{2}}}\right)^{-1/2}},

где α{\displaystyle \alpha } — постоянная тонкой структуры, Z{\displaystyle Z} — порядковый номер атома, E=mc2{\displaystyle E_{0}=mc^{2}} — энергия покоя, nr{\displaystyle n_{r}} — радиальное квантовое число, а nϕ{\displaystyle n_{\phi }} — азимутальное квантовое число. Позднее эту формулу получил Дирак, используя релятивистское уравнения Шрёдингера. Поэтому сейчас эта формула и носит имя Зоммерфельда — Дирака.

Появление тонкой структуры термов связано с прецессией электронов вокруг ядра атома. Поэтому появление тонкой структуры можно обнаружить по резонансному эффекту в области ультракоротких электромагнитных волн. В случае Z=1{\displaystyle Z=1} (атом водорода) величина расщепления близка к

Eh≈Rα2n2{\displaystyle E/h\approx R\alpha ^{2}/n^{2}}

Поскольку длина электромагнитной волны равна

λ=cν=chE=cn2Rα2≈,17cm{\displaystyle \lambda =c/\nu =ch/E=cn^{2}/R\alpha ^{2}\approx 0,17cm}

Поэтому для n=2{\displaystyle n=2} это будет почти 1 см.