Элементарная физика

Содержание

Векторные потоки

Закон Гаусса включает в себя величину, называемую потоком (также известным как интегральный поток или полный поток) электрического, гравитационного или магнитного поля из воображаемой двумерной поверхности, когда эта поверхность является непосредственной границей трехмерного объема. Рассматриваемая двумерная поверхность должна рассматриваться как «нарисованная в пространстве», то есть это чисто математическая конструкция, которую не следует путать с любой материальной поверхностью, которая может быть частью физической ситуации.

Например, вы можете представить трехмерную часть пространства в форме шара, и рассматриваемая поверхность будет его граничной поверхностью, которая является сферой.

Грубо говоря, теорема Гаусса гласит, что при произвольной такой двумерной поверхности, если суммировать нормальные компоненты поля по всей поверхности, результат, пропорциональный суммарному заряду, приложенному поверхностью, то есть заряду, присутствующему в части пространства, границей которой является поверхность.

Математический аспект

Закон Гаусса имеет математическое сходство с рядом законов в других областях физики, таких, как теории магнетизма и гравитации. Фактически, любой закон обратных квадратов можно сформулировать аналогично закону Гаусса. Например, он сам по существу эквивалентен закону Кулона обратного квадрата.

Закон может быть выражен математически с использованием векторного исчисления в интегральной форме и дифференциальной форме; оба эквивалентны, так как они связаны теоремой расходимости, также называемой теоремой Гаусса. Каждая из этих форм, в свою очередь, также может быть выражена двумя способами: в терминах зависимости между электрическим полем E и полным электрическим зарядом или в терминах поля электрического смещения D и свободного электрического заряда.

Напряженность равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра.

В качестве первого примера применения теоремы Гаусса
для расчета электростатических
полей рассмотрим подробно решение задачи о напряженности
электростатического поля, созданного равномерно заряженным по объему бесконечно-длинным
цилиндром радиуса R.
На единицу длины цилиндра приходится заряд t (см. формулу (2.8)).

Решение:

а) Поскольку геометрия
тела обладает цилиндрической симметрией, задачу удобно решать в цилиндрической
системе координат (r,j,z). Однако, чтобы не возникало путаницы с обозначениями,
первую цилиндрическую координату обозначим r,
чтобы отличать ее от объемной плотности заряда r.

б) В силу симметрии
распределения заряда по объему цилиндра, а также его бесконечной длины можно
сделать вывод о том, что в любой точке пространства напряженность электрического
поля направлена перпендикулярно оси цилиндра, и её модуль зависит только от
расстояния до этой оси:

в) В качестве поверхности интегрирования S выберем цилиндр радиуса r
произвольной высоты h (рис.5.4). Это обусловлено тем, что в каждой точке боковой
поверхности данного цилиндра
Er(r)=const (при r=const), а поток вектора
через верхнее
и нижнее донышки цилиндра равен 0. Последнее же связано с тем, что в каждой точке этих донышек
и, следовательно,
). В соответствии
с (5.7) и (5.8) имеем:


,

откуда


,

что представляет собой частный случай формулы (5.8).

Здесь Q — заряд, попавший внутрь поверхности интегрирования.

г) Найдём напряжённость поля внутри и вне цилиндра.

rh


,

При рассмотрении внешней области внутрь поверхности интегрирования попадает Q=th.
Следовательно

д) Таким образом, напряженность
поля данного цилиндра в каждой точке пространства определяется выражением:

    (5.9)

Рассмотрим теперь пример расчёта полей, создаваемых заряженными телами, обладающими
декартовой и сферической симметрией, соответственно.

Примеры и визуализация

Электрическое поле является векторным полем, величина и направление которого определено в каждой точке пространства. Другим примером векторного поля, которое легче визуализировать, является скорость воды в потоке вектора напряженности через замкнутую поверхность. Это величина того, что поле представляет, проходя через область. Общий поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме зависит от напряженности поля, размера площади поверхности, через которую он проходит, и от того, как область ориентирована относительно поля. Вы можете думать о нем как о количестве чего-то, пересекающего поверхность.

Поверхность представляет собой двумерную (реальную или воображаемую) границу, может быть открытой или закрытой. Открытая поверхность может быть областью двери, областью листа бумаги, областью чаши и т. д. Закрытой поверхностью может быть поверхность из сферы или куба и т. д. Как нам убедительно доказывает теорема Остроградского-Гаусса, поток вектора напряженности измеряется в единый момент времени. Поток — это общее количество чего-либо, пересекающего поверхность, но это не что-то на единицу площади и т. д.

Максимальное количество линий поля перехватывается, когда единичный вектор, нормальный к поверхности, n, параллелен полю E, в то время, как никакие линии поля не проходят через поверхность, когда n перпендикулярно полю. Число линий поля, проходящих через область A, прямо пропорционально A * cosθ, где θ — угол между направлением поля и единичным вектором n, перпендикулярным поверхности. Это приводит к определению электрического потока.

ΔΦE — электрический поток через некоторую небольшую область ΔA, нормаль которой составляет угол θ с направлением электрического поля. Е — это величина поля. Единица СИ потока — Нм2 / с. Это и есть ответ на вопрос, в чем измеряется поток вектора напряженности.

Поток напряженности электрического поля

Предварительно введем новую физическую величину — поток напряженности электрического поля. Напряженность поля характеризует электрическое поле в точке пространства. Поток напряженности зависит не от значения напряженности поля в данной точке, а от распределения поля по поверхности той или иной площади. Именно для этой величины формулируется теорема Гаусса.

Выделим в поле элемент площадью ΔS. Он должен быть настолько малым, чтобы напряженность электрического поля во всех его точках можно было считать одинаковой. Проведем нормаль к элементу. Направление этой нормали выбирается произвольно (рис. 1.36). Угол между векторами и обозначим через α. Тогда по определению потоком напряженности электрического поля называется произведение площади ΔS поверхности на проекцию напряженности электрического поля на нормаль к элементу:

ΔN = EnΔS = Е • ΔS cos α. (1.11.1)

Поток может быть положительным или отрицательным в зависимости от значения угла α.

Наглядно поток напряженности поля можно интерпретировать как величину, пропорциональную числу силовых линий, пронизывающих этот элемент. Линии, пронизывающие элемент ΔS, пронизывают также элемент ΔS, представляющий собой проекцию ΔS на плоскость, перпендикулярную вектору (см. рис. 1.37). Поток напряженности можно записать в форме:

ΔN = Е cos α • ΔS = EΔS, (1.11.2)

так как ΔS = ΔS cos α.

Если поле неоднородно и поверхность произвольна, то поток определяется так. Всю поверхность надо разбить на малые элементы площадью ΔSi, вычислить потоки напряженности через каждый из этих элементов, а потом просуммировать потоки через все элементы (рис. 1.38):

Так же определяется поток через замкнутую поверхность. За положительную нормаль к любому элементу замкнутой поверхности принимается внешняя нормаль, т. е. нормаль, направленная не внутрь поверхности, а наружу.

Связи

Связь между векторными полями в физике и их источниками, например, между гравитационным полем и массами, между электрическим полем и электрическими зарядами, а также между магнитным полем и магнитными диполями можно выразить удивительно простым и элегантным образом, известным как закон Гаусса. С практической точки зрения закон Гаусса часто полезен при определении полного электрического или гравитационного поля, возникающего из распределений зарядов или масс, которые имеют достаточную симметрию.

В этих ситуациях часто проще использовать закон Гаусса, чем складывать все вклады в общее поле, приходящиеся на каждую отдельную часть заряда или распределения массы.

Свободный заряд

Электрический заряд, который возникает в простейших ситуациях из учебника, будет классифицироваться как «свободный заряд», например, заряд, который переносится статическим электричеством или заряд на пластине конденсатора. Напротив, «связанный заряд» возникает только в контексте диэлектрических (поляризуемых) материалов. (Все материалы в некоторой степени поляризуемы.) Когда такие материалы помещаются во внешнее электрическое поле, электроны остаются связанными со своими соответствующими атомами, но смещают микроскопическое расстояние в ответ на поле, так что они больше на одной стороне атома, чем на другой. Все эти микроскопические смещения в сумме дают макроскопическое распределение чистого заряда, что составляет «связанный заряд».

Хотя микроскопически весь заряд в основном одинаков, часто существуют практические причины желать рассматривать связанный заряд иначе, чем свободный заряд. Результатом является то, что более фундаментальный закон Гаусса в терминах E (выше) иногда приводится в эквивалентной форме ниже, то есть в терминах D и только свободного заряда.

Отличия

Строго говоря, закон Гаусса не может быть выведен из одного закона Кулона, поскольку закон Кулона дает электрическое поле только за счет отдельного точечного заряда. Однако закон Гаусса может быть доказан из закона Кулона, если, кроме того, предполагается, что электрическое поле подчиняется принципу суперпозиции. Принцип суперпозиции гласит, что результирующее поле является векторной суммой полей, генерируемых каждой частицей (или интегралом, если заряды равномерно распределены в пространстве).

Обратите внимание, что поскольку закон Кулона применяется только к стационарным зарядам, нет никаких оснований ожидать, что закон Гаусса будет действовать для движущихся зарядов, основываясь только на этом выводе. Фактически, закон Гаусса на самом деле действует для движущихся зарядов, и в этом отношении закон Гаусса является более общим, чем закон Кулона

Строго говоря, закон Кулона не может быть выведен из одного закона Гаусса, поскольку закон Гаусса не дает никакой информации относительно скручивания E (см. «Разложение Гельмгольца и закон Фарадея«). Тем не менее, закон Кулона может быть доказан из закона Гаусса, если предположить, что электрическое поле от точечного заряда сферически симметрично (это предположение, как и сам закон Кулона, точно верно, если заряд является стационарным, и приблизительно верно, если заряд находится в движении).

Интегрирование

Если электрическое поле известно повсеместно, закон Гаусса позволяет найти распределение электрического заряда: заряд в любой данной области может быть выведен путем интегрирования электрического поля, чтобы найти поток вектора напряженности электрического поля.

Обратная задача (когда распределение электрического заряда известно и электрическое поле должно быть вычислено) гораздо сложнее. Общий поток вектора напряженности электрического поля через данную поверхность дает мало информации об электрическом поле и может входить и выходить из поверхности в произвольно сложных схемах.

Исключением является наличие некоторой симметрии в задаче, которая требует, чтобы электрическое поле проходило через поверхность равномерным образом. Если общий поток вектора напряженности электрического поля известен, само поле может быть выведено в каждой точке. Общие примеры симметрий, которые поддаются закону Гаусса, включают цилиндрическую симметрию, плоскую симметрию и сферическую симметрию.

Примеры и визуализация

Электрическое поле является векторным полем, величина и направление которого определено в каждой точке пространства. Другим примером векторного поля, которое легче визуализировать, является скорость воды в потоке вектора напряженности через замкнутую поверхность. Это величина того, что поле представляет, проходя через область. Общий поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме зависит от напряженности поля, размера площади поверхности, через которую он проходит, и от того, как область ориентирована относительно поля. Вы можете думать о нем как о количестве чего-то, пересекающего поверхность.

Поверхность представляет собой двумерную (реальную или воображаемую) границу, может быть открытой или закрытой. Открытая поверхность может быть областью двери, областью листа бумаги, областью чаши и т. д. Закрытой поверхностью может быть поверхность из сферы или куба и т. д. Как нам убедительно доказывает теорема Остроградского-Гаусса, поток вектора напряженности измеряется в единый момент времени. Поток — это общее количество чего-либо, пересекающего поверхность, но это не что-то на единицу площади и т. д.

Максимальное количество линий поля перехватывается, когда единичный вектор, нормальный к поверхности, n, параллелен полю E, в то время, как никакие линии поля не проходят через поверхность, когда n перпендикулярно полю. Число линий поля, проходящих через область A, прямо пропорционально A * cosθ, где θ — угол между направлением поля и единичным вектором n, перпендикулярным поверхности. Это приводит к определению электрического потока.

ΔΦE — электрический поток через некоторую небольшую область ΔA, нормаль которой составляет угол θ с направлением электрического поля. Е — это величина поля. Единица СИ потока — Нм2 / с. Это и есть ответ на вопрос, в чем измеряется поток вектора напряженности.

Теорема Ирншоу(1839 г.).

Утверждение о неустойчивости статической системы зарядов называется теоремой
.

Lex: Совокупность неподвижных частиц,
взаимодействующих между собой с силой, обратно пропорциональной квадрату
расстояния не может образовывать устойчивой равновесной системы.

Действительно, пусть имеется заряд, для определенности положительный. Окружим
его произвольной замкнутой поверхностью. Чтобы он находился в устойчивом равновесии,
необходимо, чтобы поле, образованное всеми остальными зарядами, было направлено
к той точке, в которой он первоначально находился. Тогда при отклонении его
от положения равновесия, на него будет действовать возвращающая сила. Но в этом
случае поток напряженности через эту замкнутую поверхность должен быть отрицательным,
т.к. напряженность противоположно направлена внешней нормали. Однако, по теореме
, поток поля, созданного зарядами
вне поверхности, должен быть равен 0. Иначе говоря, нет “пустой” области, где
все поле направлено внутрь или наружу. С энергетической точки зрения неустойчивость
связана с отсутствием минимума потенциальной энергии.

Если заряды не могут иметь неустойчивого равновесия,
то нельзя представлять вещество построенным из статических точечных зарядов
(электронов и протонов). Первая модель атома

представляла собой «положительный
пудинг с отрицательными изюминками», то есть неустойчивая система.

показал, что в атоме есть маленькое положительное ядро,
но такая система тоже неустойчива.

Резерфорд и
предложили движение электронов по орбитам. Но так как они в этом случае движутся с центростремительным
ускорением, то должны излучать, терять энергию и упасть на ядро. Опять неустойчивость!

Сейчас стабильность атома объясняют с помощью квантовой
механики. Электрон «размазан» в пространстве на расстоянии, диктуемом принципом
неопределенности. И такая система устойчива!

Выходит, что вновь вернулись к идее Томсона, только
теперь есть «отрицательный» шар, а внутри «положительная косточка» — ядро. Неисповедимы
пути науки!

Радиус R

Представьте себе сферу радиуса R с равномерно распределенным внутри зарядом. Симметрия распределения заряда требует сферически-симметричного электрического поля. Поле должно быть направлено радиально внутрь к центру или наружу от центра сферы. Если у нас сферически-симметричное распределение заряда, то, независимо от того, как мы ориентируем нашу систему координат, распределение всегда выглядит одинаково. Поэтому поле должно также выглядеть одинаково, независимо от того, как мы ориентируем нашу систему координат. Поле, которое не радиальное, будет выглядеть иначе, если мы повернем нашу систему координат, т. е. если мы посмотрим на нее под другим углом.

Поэтому для сферического симметричного распределения заряда величина E может зависеть только от радиальной координаты r и заряда Q. Чтобы определить E как функцию от r, мы используем закон Гаусса. Нарисуем сферическую гауссову поверхность радиуса r с центром в центре сферического распределения заряда. Радиус r поверхности может быть больше или меньше радиуса R распределения.

Закон Гаусса — одно из двух утверждений, описывающих электрические и магнитные потоки. Закон Гаусса об электричестве гласит, что электрический поток через любую замкнутую поверхность пропорционален суммарному электрическому заряду, приложенному поверхностью. Закон подразумевает, что существуют изолированные электрические заряды, и что подобно зарядам, они отталкиваются друг от друга, а в отличие от зарядов, притягиваются.

Закон Гаусса о магнетизме гласит, что магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю; этот закон согласуется с наблюдением, что изолированные магнитные полюсы (монополи) не существуют.

Уравнение, включающее поле D

Бесплатная, обязательная и полная оплата

Электрический заряд, который возникает в простейших учебниках, можно классифицировать как «бесплатный заряд» — например, заряд, который передается в статическом электричестве , или заряд на пластине конденсатора . Напротив, «связанный заряд» возникает только в контексте диэлектрических (поляризуемых) материалов. (Все материалы в какой-то степени поляризуемы.) Когда такие материалы помещаются во внешнее электрическое поле, электроны остаются связанными со своими соответствующими атомами, но смещаются на микроскопическое расстояние в ответ на поле, так что они больше находятся на одной стороне атома, чем другой. Все эти микроскопические смещения складываются в макроскопическое распределение чистого заряда, и это составляет «связанный заряд».

Хотя микроскопически все заряды в основном одинаковы, часто существуют практические причины для того, чтобы рассматривать связанный заряд иначе, чем бесплатный. В результате более фундаментальный закон Гаусса в терминах E (см. Выше) иногда приводится в эквивалентную форму ниже, которая выражается только в терминах D и бесплатного заряда.

Интегральная форма

Эта формулировка закона Гаусса устанавливает форму полного заряда:

ΦDзнак равноQжрее{\ Displaystyle \ Phi _ {D} = Q _ {\ mathrm {бесплатно}}}

где Φ D является D -поля потока через поверхность S , которая окружает объемную V и Q свободная является свободным заряд , содержащимся в V . Поток Φ D определяется аналогично потоку Φ E электрического поля E через S :

ΦDзнак равно{\ displaystyle \ Phi _ {D} =}S{\ displaystyle {\ scriptstyle _ {S}}} D⋅dА{\ Displaystyle \ mathbf {D} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A}}

Дифференциальная форма

Дифференциальная форма закона Гаусса, включающая только бесплатную оплату, гласит:

∇⋅Dзнак равноρжрее{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho _ {\ mathrm {free}}}

где ∇ · D — дивергенция поля электрического смещения, а ρ free — плотность свободного электрического заряда.

Связи

Связь между векторными полями в физике и их источниками, например, между гравитационным полем и массами, между электрическим полем и электрическими зарядами, а также между магнитным полем и магнитными диполями можно выразить удивительно простым и элегантным образом, известным как закон Гаусса. С практической точки зрения закон Гаусса часто полезен при определении полного электрического или гравитационного поля, возникающего из распределений зарядов или масс, которые имеют достаточную симметрию.

В этих ситуациях часто проще использовать закон Гаусса, чем складывать все вклады в общее поле, приходящиеся на каждую отдельную часть заряда или распределения массы.

Задачи на теорему Гаусса с решением

Если вам нужно сначала освежить теоретические знания, читайте подробную теорию по теореме Гаусса в нашем справочнике. Ну а перед решением задач не забудьте повторить памятку и на всякий случай держите под рукой полезные формулы.

Кстати, при решении задач на теорему Гаусса придется довольно часто брать интегралы. Хотите научиться делать это по-быстрому? У нас уже есть отдельная статья и видео на эту тему.

Задача на теорему Гаусса №1: напряженность поля плоскости

Условие

Определите напряженность поля бесконечной заряженной плоскости. Поверхностная плотность заряда сигма.

Решение

Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены в обе стороны от неё. Выберем в качестве гауссовой поверхности цилиндр с основанием, параллельным плоскости:

По теореме Гаусса:

Поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь боковую поверхность цилиндра и потокам сквозь оба его основания. Поток сквозь боковую поверхность равен нулю, так как линии напряженности параллельны ей:

Согласно теореме Гаусса:

Отсюда:

Ответ: см. выше.

Задача на теорему Гаусса №2: напряженность поля двух пластин

Условие

Электрическое поле создано двумя параллельными заряженными тонкими пластинами с поверхностными плотностями заряда + сигма  и -2 сигма. Площадь каждой пластины S, расстояние между пластинами d можно считать значительно меньшим их продольных размеров. Какова напряженность электрического поля, созданного этими пластинами?

Решение

Для электрического поля действует принцип суперпозиции: результирующее поле равно векторной сумме отдельных полей каждой пластины. Из предыдущей задачи мы знаем формулу, по которой вычисляется напряженность поля тонкой заряженной пластины, запишем для каждой из них:

Векторы напряженности между пластинами совпадают по направлению, результирующая напряженность равна:

Справа и слева от пластин, во внешней области, векторы направлены в разные стороны:

Для наглядности приведем рисунок:

Ответ: см. выше.

Задача на теорему Гаусса №3: напряженность электрического поля бесконечной нити

Условие

Определить напряженность электрического поля, создаваемую бесконечной тонкой нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью заряда лямбда.

Решение

Напряженность будем искать при помощи теоремы Гаусса. Наша задача – определить зависимость напряженности от расстояния от нити. В качестве поверхности выберем цилиндр с боковыми стенками, параллельными нити. Будем учитывать только поток вектора напряженности через боковую поверхность, так как поток через основания цилиндра равен нулю:

Заряд нити внутри рассматриваемой поверхности равен заряду отрезка нити длиной l:

По теореме Гаусса:

Отсюда:

Ответ: см. выше.

Задача с применением теоремы Гаусса №4

Условие

Электрическое поле создано бесконечной заряженной прямой линией с равномерно распределённым зарядом (τ = 10 нКл/м). Определить кинетическую энергию Т2 электрона в точке 2, если в точке 1 его кинетическая энергия Т1 = 200 эВ. Расстояние точки 2 от линии равно а = 0,5 см, точки 1 – b=1,5 см.

Решение

Ранее рассмотренные задачи были примерами вычисления полей с помощью теоремы Гаусса. Теперь рассмотрим задачу, которая решается сиспользованием этой информации. Из предыдущей задачи возьмем выражение для напряженности поля заряженной нити:

Разность потенциалов поля в двух точках будет равна:

При прохождении этой разницы потенциалов электрон приобретёт кинетическую энергию:

Конечная энергия частицы будет равна:

Получим:

Ответ: 397.6 эВ.

Задача на теорему Гаусса №5: поток электрического поля

Условие

Два точечных заряда q и –q расположены на расстоянии 2l друг от друга. Найти поток вектора напряженности через круг радиуса R. Плоскость круга проходит через его середину и перпендикулярна отрезку прямой, соединяющей заряды.

Решение

Рассмотрим элементарный поток результирующего электрического поля через бесконечно малую кольцевую зону круга: 

В записи потока учтено, что вектор напряженности перпендикулярен поверхности круга. Выразим напряженность электрического поля через «ро», используя подобие треугольников, показанных на рисунке:

Вычисление потока сводится к взятию интеграла:

Ответ: см. выше.

Примеры применения теоремы Гаусса можно найти не только в электростатике, но и в других областях физики.

Напряженность равномерно заряженного шара.

Пусть имеется однородно заряженный шар (рис.5.12).
Задача снова центрально симметричная, т.е.
(Er,0,0). Вне шара все аналогично сфере. Применение
интегральной формы теоремы Гаусса для внешней области вполне стандартно. Покажем,
что этот же результат может быть получен и с помощью дифференциальной формы
этой же теоремы (5.6). В нашем случае это уравнение с учетом выражения для
дивергенции в сферической системе координат имеет вид


,
где

Разделяя переменные, получим


.

Константу считаем равной 0, чтобы не было расходимости при r=0.
В итоге получаем формулу (5.14) и график на рис.5.13.

     (5.13)

Теорема Гаусса в дифференциальной форме

Дифференциальная теорема Гаусса. Теорема Гаусса была написана в интегральной форме. Интегральная форма обеспечивала связь между потоком вектора E через поверхность s (который ограничивает определенный объем) и алгебраической суммой зарядов в этом объеме.

Интегральная форма не отвечает на вопрос о том, как источник D-линии в определенной точке поля связан с плотностью свободного заряда в той же точке поля. Ответ на этот вопрос дает

Чтобы достичь этого, разделите обе части уравнения (13-16) на одно и то же скалярное количественное деление на объем V в замкнутой поверхности s: $ D ds _ ^> Qceo6-y ~ Последняя формула — произвольный объем V количество Установите громкость на ноль. lim v-> o V v-> o V

Объем стремится к нулю, поэтому D ds также стремится к нулю, но соотношение между двумя небольшими величинами D ds и V конечно *. Предел отношения потока векторной величины D через замкнутую поверхность, которая ограничивает определенный объем к объему V, называется дивергенцией вектора D (div £>).

Во многих случаях вместо термина «дивергенция» используйте эквивалентный термин «дивергенция» или «векторный источник». Правая часть последнего уравнения представляет собой объемную плотность свободного заряда, выраженную как pgvob>.

Следовательно, дифференциальная теорема Гаусса может быть записана как divD = pceoe, (13.20) a) Диаграмма, то есть источник линии D в конкретной точке поля

Если плотность объемного заряда в точке положительна (pfer ^> 0), линия вектора D получается из бесконечно малого объема, окружающего эту точку поля (источник положительный, рис. 404, а).

Конкретная точка в поле p (если eo6 <0, линия вектора D ‘входит в бесконечно малый объем, где находится эта точка, и если она находится в любой точке поля, Sv = 0 и поле В этой точке нет источника или приемника для строки D, то есть строка вектора D не начинается и не заканчивается в этой точке. *

Том 3 или область, как правило, равны нулю в части 3 курса ОО. Иногда необходимо многократно использовать определенное значение: стремление к нулю не следует понимать буквально: объем или область, на которую только дискретность вещества, о котором мы говорим, пока не влияет

Если среда уменьшения линейной размерности однородна и изотропна, то ее e является константой, поэтому вместо (13.20) мы можем записать следующее выражение: div e £ = pf, otf ediv £ = Pfe0 ( Т, Таким образом, divE = P £££ (13.21) e

Это вторая форма описания теоремы Гаусса в дифференциальной форме, которая справедлива только для однородных и изотропных сред. Для простой среды e является функцией координат, e не может быть объявлено как знак расхождения, и дифференциальное выражение (13.17 ‘) записывается в виде: div E = eo (13.21’).

Таким образом, вектор D В отличие от источника, источник вектора E является не только свободным, но и связанным с ним зарядом, и div E открывается по-разному в разных системах координат.

Решение задач по электротехнике тоэ

Теорема Гаусса в интегральной форме. Вывод выражения для div E в декартовой системе координат.
Применение теоремы Гаусса для определения напряженности и потенциала в поле точечного заряда. Использование оператора набла для записи операции взятия дивергенции.