Что такое выпуклый четырехугольник и как определить сумму его углов

Расчет площади

Площадь, которую имеет любой выпуклый четырёхугольник, равна половине произведения длин диагоналей на синус угла между ними. Докажем это правило.

Здесь опять поможет теорема Вариньона (мы имеем “большой” параллелограмм, о котором сразу не было сказано). Проведем прямые, параллельные диагоналям, через вершины A, B, C, D исходного прямоугольника. Мы получим параллелограмм EFGH. Его площадь равна сумме площадей параллелограммов AFBO, BGCO, CHDO, DEAO. Но каждый из перечисленных делится своей диагональю на пару треугольников с равными площадями. С другой стороны, в силу параллельности диагоналей ADCD сторонам внешнего параллелограмма, мы можем применить формулу площади:

Средние линии четырехугольника

три средние линииСредними линиями несамопересекающегося четырехугольникаотмечены пунктирными линиями

Теорема Вариньона

являются параллелограммамипараллелограммами Вариньонабольшим параллелограммом Вариньона.

  • Центры всех трёх параллелограммов Вариньона лежат на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма).
  • Периметр большого параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника.
  • Площадь большого параллелограмма Вариньона  равна половине площади исходного четырёхугольника
  • Площадь исходного четырёхугольника равна произведению первой и второй средних линий четырёхугольника на синус угла между ними
  • Сумма квадратов трёх средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей

Содержание главы:

Существование четырехугольника

Периметр четырехугольника

Окружности, вписанные и описанные вокруг четырехугольника

Углы четырехугольника

Правильный четырехугольник (квадрат). Правильний чотирикутник (квадрат)

Ромб

Трапеция

Площадь трапеции

Высота трапеции

Трапеция (задачи про основания)

Диагонали трапеции

Прямоугольная трапеция

Равнобокая (равнобедренная) трапеция

Углы равнобокой (равнобедренной) трапеции

Высота равнобедренной трапеции

Равнобокая трапеция

Равнобокая трапеция (часть 2)

Трапеция, описанная вокруг окружности

Параллелограмм

Параллелограмм. Задачи про площадь и стороны

Параллелограмм (часть 2)

Площадь параллелограмма

Высота параллелограмма

Прямоугольник

Периметр прямоугольника

Периметр и площадь прямоугольника

Вписанная в треугольник окружностьОписание курса Существование четырехугольника   

Свойства длин сторон четырехугольника

Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других его сторон.

|a -b| ≤ c + d

|a -c| ≤ b + d

|a -d| ≤ b + c

|b -c| ≤ a + d

|b -d| ≤ a + b

|c -d| ≤ a + b

Важно

В любом четырёхугольнике сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны.

a ≤ b + c + d

b ≤ a + c + d

c ≤ a + b + d

d ≤ a + b + c

Важно. При решении задач в пределах школьной программы можно использовать строгое неравенство (

Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является «вырожденным», то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Соотношение сторон и диагоналей может быть выражено формулой

Свойства

Главные признаки:

  • сумма углов 360 градусов,
  • диагонали могут пересекаться в одной точке.

Если сумма углов равна 360, это следствие более общего случая – четырехугольника, не имеющего пересекающихся отрезков. Но для выпуклого обычно проводят отдельное и очень простое доказательство. Если внутри выпуклого четырехугольника провести диагональ, то она разобьет его на два треугольника. Как известно, сумма углов в треугольнике равна 180. Сложив все получившиеся углы, получаем величину 360.

Если взять средние точки всех сторон произвольного выпуклого четырехугольника и построить на них новый, то он окажется параллелограммом (Теорема Вариньона).

Доказательство на следующем фото. Выпуклый четырёхугольник ABCD имеет на каждой из сторон точку, делящую эту сторону пополам. Рассмотрим отрезок FG. Это средняя линия треугольника DAB, параллельная диагонали DB. Это следует из подобия треугольников DAB и FAG.

Аналогично проводятся рассуждения для треугольников DBC и EHC. Из чего следует параллельность DB и EH. Поскольку отрезки FG и EH параллельны диагонали DB, то и сами параллельны.

Аналогично доказывается, что отрезки FE и GH параллельны. Так как противолежащие стороны EFGH попарно параллельны, значит, это параллелограмм.

Если выпуклый четырёхугольник имеет свойство взаимной перпендикулярности своих диагоналей, то суммы квадратов его противоположных сторон у него равны. Это доказывается при помощи теоремы Пифагора, как показано на следующем чертеже:

Квадрат каждой из сторон выражается через сумму квадратов отрезков диагоналей, ограниченных вершинами и точкой пересечения. Для удобства мы обозначаем их малыми буквами латинского алфавита, совпадающими с названием вершин. Затем выписываем выражения для сумм квадратов противолежащих сторон:

В правой части каждого из выражений стоит одна и та же сумма слагаемых. Следовательно, равны и правые части между собой, что доказывает теорема.

Вписанные и описанные

Часто требуется проверить, не лежат ли вершины четырехугольника на окружности, или существует ли окружность, вписанная в 4-угольник. Центр описанной окружности находится в точке пересечения срединных перпендикуляров к сторонам, а центр вписанной – на пересечении биссектрис внутренних углов.

https://youtube.com/watch?v=YUgNB9nZ4DY

Если сумма противоположных углов составляет 180, то рядом с ними можно описать окружность, другими словами, существует окружность, на которой лежат все вершины четырехугольника. Его называют вписанным (подразумевается, что в окружность). Верно и обратное утверждение, то есть выраженное в теореме условие необходимое и достаточное.

Классификация треугольников

Выпуклые четырехугольники

Выпуклый четырехугольник — это четырехугольник, у которого все углы выпуклые (от 0° до 180°, не включая эти значения). Сумма всех углов выпуклого четырехугольника всегда равна 360°

Невыпуклые или вогнутые четырехугольники

Вогнутый четырехугольник — это четырехугольник, у которого один угол вогнутый (от 180° до 360°, не включая эти значения). Сумма всех углов вогнутого четырехугольника всегда равна 360°

Самопересекающиеся четырехугольники

Самопересекающийся четырехугольник — это четырехугольник, у которого противоположные стороны пересекаются.

Визуально самопересекающийся четырехугольник похож на два треугольника у которых стороны лежать на двух пересекающихся линиях, а точка пересечения это общая вершина для треугольников.