Шесть задач, за решение которых заплатят миллион долларов

Необычный автосалон

Один автосалон купил подержанную машину за 450 тысяч и через неделю продал её за 525 тысяч. Директор салона решил, что такая модель пользуется спросом, так что он дал менеджерам задание — найти ещё одну подобную машину. Они нашли такую же за 550 тысяч, купили её, но директор повёл себя странно. Он снова поставил на неё ценник в 525 тысяч, и машина ушла за два дня. Помогите бухгалтерии понять, заработал в итоге салон или потерял часть денег?

У этой задачи три решения: интуитивное, пошаговое и бухгалтерское. Сравните подходы.

Многие решают эту задачу так:

  1. Было 450 тысяч.
  2. Купили машину и продали за 525 тысяч.
  3. После продажи заработали 75.
  4. Взяли в долг 25.
  5. Купили вторую машину и продали снова за 525.
  6. Изначально было 450, стало 525, значит, прибыль снова составила 75 тысяч, а общая — 150 тысяч.
  7. Отдаём 25 долга, получаем прибыль 125 тысяч.

Но это неправильно. Правильно — ниже.

Давайте разберём эту сделку по шагам, чтобы понять, сколько денег было у салона на каждом этапе.

В самом начале у них было 450 тысяч — запомним это. Эти деньги пошли на покупку первой машины, поэтому на втором шаге у салона стало 0 рублей, но появился автомобиль.

На третьем шаге его продали за 525 тысяч, которые и ушли в кассу. Пока прибыль салона равна: 525 − 450 = 75 тысяч.

Вторая машина стоила на 25 тысяч дороже, чем у них было — 550, поэтому салон взял в долг 25 тысяч и купил её (шаг номер четыре). Здесь прибыль салона исчезла и появился убыток в 25 тысяч.

Пятым шагом они продали вторую машину за 525 тысяч, положили деньги в кассу и стали разбираться с долгами. После того как они вернули сумму, которую были должны, у салона осталось 500 тысяч, а начинали они с суммы в 450 тысяч. Получается, что они заработали 500 − 450 = 50 тысяч.

Бухгалтеры работают так: считают все доходы и расходы, а потом находят сальдо — разницу между ними. Сделаем то же самое.

Доходы: 525 с первой продажи и столько же со второй. Получается 525 + 525 = 1050 тысяч.

Расходы: 450 за первую машину и 550 за вторую. Получается 450 + 550 = 1000 тысяч.

Сальдо: доходы минус расходы. Это 1050 − 1000 = 50 тысяч.

Шапка

Следующая трудная задача звучит следующим образом:

Торговец продает шапку за 10 рублей. У покупателя имеется только 25-рублевая бумажка.

Советуем почитать статью:Самые популярные карточные игры

Тогда торговец дает помощнику эти 25 рублей и велит разменять их у соседей. Помощник возвращается с бумажками по 5, 10 и 10 рублей.

Торговец вручает покупателю шапку, а также сдачу 15 рублей. Но позже приходит сосед и возмущается, что 25 рублей ‒ фальшивка.

Приходится торговцу достать из кассы деньги и отдать ему. На какую сумму в итоге был обманут торговец?

Как известно, граф не только был гениальным писателем, но и талантливым учителем, способным найти индивидуальный подход к любому ребенку. Решение задачи про шапку таково:

Торговец дал сдачу покупателю в размере 15 рублей из своих собственных денег и еще шапку стоимостью 10 рублей. Таким образом, он потерял 25 рублей. Соседа учитывать вообще нет смысла: фальшивые 25 рублей от него вернулись обратно.

Эту задачу придумал Лев Толстой для учеников церковной школы

Вопрос 1

$$ C = 5/9 (F-32) $$

Приведенное выше уравнение показывает, как температура $ F $, измеренная в градусах Фаренгейта, соотносится с температурой $ C $, измеренной в градусах Цельсия. Основываясь на уравнении, какое из следующих утверждений должно быть верным?

  1. Повышение температуры на 1 градус по Фаренгейту эквивалентно повышению температуры на 5/9 градусов Цельсия.
  2. Повышение температуры на 1 градус Цельсия эквивалентно повышению температуры на 1,8 градуса по Фаренгейту.
  3. Повышение температуры на 5/9 градусов по Фаренгейту эквивалентно повышению температуры на 1 градус Цельсия.

А) только яБ) только IIC) только IIID) только I и II

ОБЪЯСНЕНИЕ ОТВЕТА: Думайте об уравнении как об уравнении для линии

$$ y = mx + b $$

где в этом случае

$$ C = {5} / {9} (F − 32) $$

или же

$$ C = {5} / {9} F — {5} / {9} (32) $$

Вы можете видеть, что наклон графика составляет $ {5} / {9} $, что означает, что при увеличении на 1 градус по Фаренгейту увеличение составляет $ {5} / {9} $ на 1 градус Цельсия.

$$ C = {5} / {9} (F) $$

$$ C = {5} / {9} (1) = {5} / {9} $$

Следовательно, утверждение I верно. Это эквивалентно тому, что увеличение на 1 градус Цельсия равно увеличению на $ {9} / {5} $ градусов по Фаренгейту.

$$ C = {5} / {9} (F) $$

$$ 1 = {5} / {9} (F) $$

$$ (F) = {9} / {5} $$

Поскольку $ {9} / {5} $ = 1.8, утверждение II верно.

Единственный ответ, в котором истинны и утверждение I, и утверждение II: D, но если у вас есть время и вы хотите быть абсолютно внимательными, вы также можете проверить, верно ли утверждение III (повышение на $ {5} / {9} $ градусов по Фаренгейту равняется повышению температуры на 1 градус Цельсия). :

$$ C = {5} / {9} (F) $$

$$ C = {5} / {9} ({5} / {9}) $$

$$ C = {25} / {81} ( which is ≠ 1) $$

Увеличение на 5/9 градусов по Фаренгейту приводит к увеличению на {25} / {81} $, а не на 1 градус Цельсия, и поэтому утверждение III неверно.

Окончательный ответ — Д.

Проект

Согласно договору, проект, который разрабатывают три организации (А, В, С), может быть утвержден следующим образом: если сначала в утверждении будут участвуют А и В, то к процессу может присоединиться и С. А если утверждение происходит между В и С, то может присоединится А. Вопрос в следующем: возможна ли ситуация, когда участие принимали бы только А и В, без обязательного участия С, не нарушая при этом договор?

Это задача на внимательность. Если тщательнее вчитаться в условия задачи, то вы заметите слово «может», то есть третья организация может присоединиться, но не обязана это делать.

Главное быть внимательным

Мастерок.жж.рф

Хочу все знать

Mamihlapinatapai (иногда пишут mamihlapinatapei) — слово из языка племени Яган (Огненная Земля). Оно указано в Книге рекордов Гиннесса в качестве «наиболее сжатого слова» и считается одним из самых трудных для перевода слов.

Mamihlapinatapai означает «Взгляд между двумя людьми, в котором выражается желание каждого в том, что другой станет инициатором того, чего хотят оба, но ни один не хочет быть первым».

А вот какое самое длинное в мире слово?

Полное химическое название самого большого белка содержит 189 819 букв и считается самым длинным словом в любом языке.

Титин, также известный, как коннектин – это гигантский белок, состоящий из 244 индивидуально сложенных областей белка, соединенных неструктурированной последовательностью пептидов.

Кроме того, ген титина содержит самое большое количество экзонов – 363, обнаруженных в одном гене.

Титин играет важную роль в сокращении поперечно-полосатых мышечных тканей, но он больше всего известен своим техническим названием, которое считается самым длинным словом в любом языке мира.

Название «титин» заимствовано из греческого слова «titan» (гигантское божество, нечто большого размера). Химическое название начинается с метионил … и заканчивается …изолейцин.

Полное название самого большого белка заняло бы очень много места в данном посте, но вы можете прочесть его тут.

Если же вы действительно хотите услышать, как звучит самое длинное слово в мире, то можете посмотреть видео, которое занимает почти 3,5 часа для полного произнесения этого названия.

Интересно, что полное химическое название титина вы даже не увидите в словарях, так как составители словарей считают названия химических соединений вербальной формулой, а не словом. Но как бы вы это не называли: слово, формула или целая история, оно крайне длинное.

Самое длинное слово в русском языке до сих пор не определено по ряду причин. Теоретически одним из таких слов может являться прилагательное тетрагидропиранилциклопентилтетрагидропи ридопиридиновые, состоящее из 55 букв. Но будет ли справедливым такой выбор победителя, ведь в аналитической, предположим, химии, наименования веществ могут строиться по определённой схеме и порою достигать прямо таки космических величин.

Также часто приводимым примером является построение слова методом добавления приставки пра-. Её количество может быть неограниченным, следовательно, букв в таком слове будет предостаточно.

А как Вам такая самая длинная аббревиатура? (56 символов)

Научно-исследовательская лаборатория операций по армированию бетона и железобетонных работ по сооружению сборно-монолитных и монолитных конструкций отдела технологии строительно-монтажного управления Академии строительства и архитектуры СССР. То есть можете себе представить, как сотрудники данной организации отвечали на вопрос о работе.

Теперь поговорим о самых-самых в своём роде.

Самое длинное междометие, включённое в словарь, — немного грубое физкульт-привет (14 букв).

Слово соответственно (14 букв) является одновременно самым длинным предлогом. Самая длинная частица исключительно на букву короче.

Но помимо длинных,малоизвестных и узкоспециализированных слов, встречаются и чемпионы в литературе, например, слово попреблагорассмотрительствующемуся, которое Николай Лесков употребил в рассказе «Заячий ремиз».Самое интересное, что доподлинного значения никто не знает,вполне вероятно,что автор его сам и придумал. Но, наверное, каждый может представить для себя его значение.

5.

5. Наиболее трудная головоломка кальку-доку
Этот вид судоку похож на сум-до-ку, но, во-первых, для вычисления значения клеток используются любые арифметические операции, а не только сложение, во-вторых, поле может быть квадратом любого размера (количество клеток не ограничено), и в-третьих, в отличие от судоку, здесь необязательно должны присутствовать подсказки от 1-го до 9-ти в каждом квадрате 3?3. Такие задачи разработал японский учитель математики Тетсуя Миямото.

Здесь вы можете попробовать разобраться с самой трудной кальку-доку, которая была опубликована на Calcudoku.org 2 апреля 2013-го года. Лишь 9,6% постоянных посетителей ресурса удалось её решить.

6. Самая сложная задача от «IBM»
Необходимо разработать систему хранения информации, которая кодировала бы 24 бита информации на восьми дисках по четыре бита каждый при условии, что:

1. Восемь 4-битных дисков объединены одной 32-битной системой, в которой любая функция от 24-х до 32-х бит может быть вычислена не более, чем пятью математическими операциями из множества {+, -, *, /, %, &, |, ~}.

2. После выхода из строя любых двух дисков из восьми, можно восстановить эти 24 бита информации.

На сайте компании «IBM» существует регулярная рубрика «Задумайтесь над этим!», в которой с 1998-го года публикуются любопытные логические задачи. Приведённая здесь задача — одна из самых сложных.

Самые длинные слова в русском языке

  • «Тетрагидропиранилциклопентилтетрагидропиридопиридиновые» (55 букв, химич. вещество)
  • «Гидразинокарбонилметилбромфенилдигидробенздиазепин» (50 букв, транквилизатор Гидазепам)
  • «Кокамидопропилпропиленгликольдимонийхлоридфосфат» (48 букв, химическое вещество)
  • «метоксихлордиэтиламинометилбутиламиноакридин» (44 буквы, химическое вещество, другое название — акрихин)
  • «четырёхсотпятидесятисемимиллиметровое» (37 букв, ствол орудия)
  • «превысокомногорассмотрительствующий» (35 букв самое длинное русское слово зарегистрированное в «Книге рекордов Гиннесса» издания 2003 года)
  • «рентгеноэлектрокардиографического» (33 буквы)
  • «тифлосурдоолигофренопедагогика» (30 букв, педагогический термин)
  • «фиброэзофагогастродуоденоскопия» (31 буква, медицинская диагностическая процедура)
  • «водогрязеторфопарафинолечение» (29 букв)
  • «автоэлектростеклоподъемники» (27 букв)

Самая длинная лексема — геологический термин «уплощенно-пинакоидально-ромбоэдрический» (37 букв и 2 дефиса, зафиксирована в «Книге рекордов Гиннесса»).

Вопрос 6

В треугольнике $ ABC $ мера $ ∠B $ равна 90 °, $ BC = 16 $ и $ AC $ = 20. Треугольник $ DEF $ похож на треугольник $ ABC $, где вершины $ D $, $ E $ и $ F $ соответствуют вершинам $ A $, $ B $ и $ C $ соответственно, а также каждой стороне треугольника $. DEF $ составляет $ 1/3 $ длины соответствующей стороны треугольника $ ABC $. Какое значение имеет $ sinF $?

ОБЪЯСНЕНИЕ ОТВЕТА: Треугольник ABC — это прямоугольный треугольник с прямым углом в B. Следовательно, $ ov {AC} $ — гипотенуза прямоугольного треугольника ABC, а $ ov {AB} $ и $ ov {BC} $ — катеты треугольника. прямоугольный треугольник ABC. Согласно теореме Пифагора,

$$ AB = √ {20 ^ 2-16 ^ 2} = √ {400-256} = √ {144} = 12 $$

Поскольку треугольник DEF подобен треугольнику ABC, с вершиной F, соответствующей вершине C, мера $ angle ∠ {F} $ равна мере $ angle ∠ {C} $. Следовательно, $ sin F = sin C $. От длин сторон треугольника ABC,

$$ sinF = { Against side} / { hypotenuse} = {AB} / {AC} = {12} / {20} = {3} / {5} $$

Следовательно, $ sinF = {3} / {5} $.

Окончательный ответ: {3} / {5} $ или 0,6.

6.

7. Самая трудная головоломка какуро
Головоломки какуро сочетают в себе элементы судоку, логики, кроссвордов и основных математических операций. Цель состоит в том, чтобы заполнить клетки цифрами от одного до девяти, причём сумма цифр в каждом горизонтальном и вертикальном блоке должна сойтись с указанным числом, а цифры внутри одного блока не должны повторяться. Для горизонтальных блоков нужная сумма записывается непосредственно слева, а для вертикальных блоков — сверху.

Этот пример одной из сложнейших задач какуро взят с популярного ресурса, посвящённого головоломкам Conceptispuzzles.com.

Программисты и часы

— Доброе утро. Который сейчас час?

— Сложи 1/4 времени, прошедшего с полуночи до сейчас, с 1/2 от сейчас до полуночи.

— Спасибо, я понял.

— Не сомневался.

Вопрос: который час?

На самом деле это очень простая задача, если помнить, что в сутках 24 часа.

Пусть от полуночи до сейчас прошло Х времени. Тогда от сейчас до полуночи осталось 24 – Х времени.

С другой стороны, если мы сложим четверть времени от полуночи до сейчас и половину времени от сейчас до полуночи, то как раз получим Х — время, которое сейчас:

(¼ × Х) + (½ × (24 − Х)) = Х

Раскрываем скобки:

Х/4 + 12 − Х/2 = Х

Перенесём все Х в одну сторону, а 12 — в другую:

Х − Х/4 + Х/2 = 12

Х + Х/4 = 12

5Х/4 = 12

5Х = 48

Х = 9,6

Получается, что с полуночи прошло 9,6 часа, или 9 часов 36 минут.

Ответ: на часах 9:36.

Вопрос 8

Закон Литтла может применяться к любой части магазина, например к определенному отделу или кассовым линиям. Владелец магазина определяет, что в рабочее время примерно 84 покупателя в час совершают покупку, и каждый из этих покупателей проводит в очереди в кассе в среднем 5 минут. Сколько в среднем покупателей в любое время в рабочее время ожидают в очереди у кассы, чтобы совершить покупку в магазине Good Deals Store?

ОБЪЯСНЕНИЕ ОТВЕТА: Поскольку в вопросе говорится, что закон Литтла может применяться к любой отдельной части магазина (например, только к кассе), то среднее количество покупателей, $ N $, в очереди в любой момент времени составляет $ N = rT. $, где $ r $ — количество покупателей, выходящих на очередь оформления заказа в минуту, а $ T $ — среднее количество минут, которое каждый покупатель проводит в очереди.

Поскольку 84 покупателя в час совершают покупку, 84 покупателя в час входят в кассу. Однако это необходимо преобразовать в количество покупателей в минуту (для использования с $ T = 5 $). Поскольку в часе 60 минут, тариф составляет $ {84 shoppers per hour} / {60 minutes} = 1,4 $ покупателя в минуту. Используя данную формулу при $ r = 1,4 $ и $ T = 5 $, получаем

$$ N = rt = (1.4) (5) = 7 $$

Таким образом, среднее количество покупателей, $ N $, в очереди на кассу в любое время в рабочее время равно 7.

Окончательный ответ — 7.

Логические задачи для детей

Задача

Черепаха пришла в гости к своей подруге, которая живёт на 14 этаже. Лифт оказался сломан – придётся подниматься пешком. Черепаха начала свой путь после полудня. Полчетвёртого уже – черепаха на четвёртом этаже. Полпятого уже – черепаха на пятом этаже. Полвосьмого уже – черепаха на восьмом этаже. Когда же она доберётся до 14 этажа?

(Полвторого ночи)

***

Лена, Аня и Женя помогали бабушке в саду. Бабушка захотела сделать детям подарки. «Куплю-ка я куклы обеим девочкам», – подумала бабушка. Неужели она ошиблась и неправильно сосчитала детей?

(Бабушка не ошиблась, девочек было действительно двое: Лена и Аня, а мальчику Жене бабушка купила гоночную машинку)

***

В пенале у Аси лежат 4 простых карандаша и 2 цветных. Какое минимальное количество предметов нужно взять, чтобы в руке точно оказался простой карандаш?

(3 предмета)

***

На часах было 11:45, когда начался мультфильм. Он длился 50 минут. Точно в середине просмотра пришла мама и позвала обедать. Какое время показывали часы в этот момент?

(12:10)

***

Четыре девочки ели конфеты. Аня съела больше, чем Юля. Ира – больше, чем Света, но меньше, чем Юля. Расставь имена девочек в порядке возрастания количества съеденных конфет.

(Света, Ира, Юля, Аня)

***

У сороконожки 90 ножек. Она купила 13 пар сапожек. Но при этом 16 ног остались босыми. Сколько пар старых сапожек было на сороконожке до покупки новых сапожек?

(24)

***

Петя и Коля живут в одном многоэтажном доме. Квартира Коли на 12 этажей выше, чем Пети. Вечером Петя поднимался по лестнице к Коле. Когда он прошёл половину пути, то оказался на 8 этаже. На каких этажах квартиры мальчиков?

(П-2, К-14)

***

Из 64 маленьких кубиков составили большой куб. Синей краской покрасили пять граней большого куба. Назови количество маленьких кубиков с тремя синими гранями.

(4 – по углам)

***

На пароме помещается или 6 грузовиков, или 10 легковушек. В четверг паром, полностью загруженный, 5 раз пересек реку и переправил 42 машины. Сколько было среди них грузовиков?

(12)

***

Речь пойдёт про единицы времени. Что можно узнать, данным произведением 60 х 60 х 24 х 7?

(Количество секунд в неделю)

***

Брату и сестре 2 года назад вместе было 15 лет. Сейчас сестре 13 лет. Сколько должно пройти лет, чтобы брату исполнилось 9 лет?

(3 года)

***

В гости к Игорю пришли друзья. Сколько их было, если каждый из них сложил из даты своего рождения число и номер месяца и получил 35? Причём даты рождения у всех гостей разные.

Несуществующие слова

Знатоки русского языка правильно выговаривают слова, следят за грамотностью речи. Но многие не отказываются пошутить на тему труднопроизносимых слов, придумывают новые сложные слова. Одна из распространенных шуток — слово, которое имеет шесть букв «Ы». Это слово «вылысыпыдысты». Кстати, оно уже не лидер по содержанию «Ы». Лидером стало его производное «вылысыпыдыстычкы».

Среди искусственных слов можно отметить и «автомотовелофототелерадиомонтёр», «грёзоблаженствующий», «монстрствовать». Они пока имеют статус шутки, но кто знает — может быть, в скором будущем такие слова широко войдут в словарный запас человека.

Определение сложных точек

Часто понять то, что нужно улучшить, просто, однако, бывают ситуации, когда человек не может разобраться в данном вопросе. Чтобы лучше сориентироваться и увидеть очевидное, вам потребуется:

Максимально приложить усилия, чтобы выполнить задачу наилучшим образом. Не переживайте, если вас настигнет неудача, так как подобное явление бывает часто во многих начинаниях. В решении данного вопроса вам поможет список, где вы сможете указать, что сделали хорошо и плохо. Если вы не можете решить проблему, значит вам надо ознакомиться со списком и понять, где именно вы совершили ошибку.
Не пренебрегайте упражнениями в той области, которую вы начали изучать

Обратите внимание на то, что вам дается очень сложно.
Обратитесь за помощью к специалисту, который поможет вам разобраться с тем, в чем следует потренироваться.
Не стоит тратить время на простые задачи, лучше выбирайте сложные и старайтесь максимально их облегчить. Не бойтесь мыслить от простого к сложному и наоборот.

Интегрирование сложных дробей

Потихоньку подбираемся к экватору урока и начинаем рассматривать интегралы от дробей. Опять же, не все они суперсложные, просто по тем или иным причинам примеры были немного «не в тему» в других статьях.

Продолжаем тему корней

Пример 9

Найти неопределенный интеграл

В знаменателе под корнем находится квадратный трехчлен плюс за пределами корня «довесок» в виде «икса». Интеграл такого вида решается с помощью стандартной замены.

Решаем:

Замена тут проста:

Смотрим на жизнь после замены:

(1) После подстановки приводим к общему знаменателю слагаемые под корнем.
(2) Выносим  из-под корня.
(3) Числитель и знаменатель сокращаем на . Заодно под корнем я переставил слагаемые в удобном порядке. При определенном опыте шаги (1), (2)  можно пропускать, выполняя прокомментированные действия устно.
(4) Полученный интеграл, как вы помните из урока Интегрирование некоторых дробей, решается методом выделения полного квадрата. Выделяем полный квадрат.
(5) Интегрированием получаем заурядный «длинный» логарифм.
(6) Проводим обратную замену. Если изначально , то обратно: .
(7) Заключительное действие направлено на прическу результата: под корнем снова приводим слагаемые к общему знаменателю и выносим из-под корня .

Пример 10

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения. Здесь к одинокому «иксу» добавлена константа, и замена почти такая же:
Единственное, что нужно дополнительно сделать – выразить «икс» из проводимой замены:

Полное решение и ответ в конце урока.

Иногда в таком интеграле под корнем может находиться квадратный двучлен, это не меняет способ решения, оно будет даже еще проще. Почувствуйте разницу:

Пример 11

Найти неопределенный интеграл

Пример 12

Найти неопределенный интеграл

Краткие решения и ответы в конце урока. Следует отметить, что Пример 11 является в точности биномиальным интегралом, метод решения которого рассматривался на уроке Интегралы от иррациональных функций.

Интеграл от неразложимого многочлена 2-й степени в степени

(многочлен в знаменателе)

Более редкий, но, тем не менее, встречающий в практических примерах вид интеграла.

Пример 13

Найти неопределенный интеграл

В знаменателе подынтегральной функции находится неразложимый на множители квадратный двучлен. Подчеркиваю, что неразложимость на множители является существенной особенностью. Если многочлен раскладывается на множители, то всё намного понятнее, например: – и далее применяется стандартный метод неопределенных коэффициентов.

Но вернёмся к примеру со счастливым номером 13 (честное слово, не подгадал). Этот интеграл тоже из разряда тех, с которыми можно изрядно промучиться, если не знаешь, как решать.

Решение начинается с искусственного преобразования:

Как почленно разделить числитель на знаменатель, думаю, уже все понимают.

Полученный интеграл берётся по частям:


Готово.

Для интеграла вида  ( – натуральное число) выведена рекуррентная формула понижения степени:, где  – интеграл степенью ниже.

Убедимся в справедливости данной формулы для прорешанного интеграла .
В данном случае: , , используем формулу:

Как видите, ответы совпадают.

Пример 14

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения дважды последовательно использована вышеупомянутая формула.

Если под степенью находится неразложимый на множители квадратный трехчлен, то решение сводится к двучлену путем выделения полного квадрата, например:

Далее следует «безболезненная» линейная замена  и получается знакомый интеграл .

Что делать, если дополнительно в числителе есть многочлен? В этом случае используется метод неопределенных коэффициентов, и подынтегральная функция раскладывается в сумму дробей. Но в моей практике такого примера не встречалось ни разу, поэтому я пропустил данный случай в статье Интегралы от дробно-рациональной функции, пропущу и сейчас. Если такой интеграл все-таки встретится, смотрите учебник – там всё просто. Не считаю целесообразным включать материал (даже несложный), вероятность встречи с которым стремится к нулю.

Монти Холл и три шкатулки

Перед вами стоят три одинаковых закрытых шкатулки, в одной из них лежит много денег, а две других — пустые. Можно выбрать любую шкатулку, но сразу открывать нельзя. Затем ведущий игры берёт одну из оставшихся шкатулок, открывает и показывает, что она пустая.

Теперь у вас есть выбор: оставить себе ту шкатулку, которую вы выбрали с самого начала, или поменять её на оставшуюся неоткрытую. Как лучше поступить?

Отбросим в сторону эмоции, интуицию и прочую эзотерику и начнём решать эту задачу как программисты — дадим нашим шкатулкам имена:

  • Выбранная — шкатулка, которую мы выбрали с самого начала;
  • Пустая — ту, которую открыли после нашего выбора и показали, что она пустая;
  • Неизвестная — одна из двух невыбранных нами шкатулок, которая осталась закрытой, и на которую можно поменять нашу.

Изначально вероятность того, что вы выбрали сразу шкатулку с деньгами — 33%, потому что в самом начале у каждой шкатулки одинаковые шансы. Но теперь всё зависит от того, случайно ли ведущий открыл Пустую шкатулку, или знал заранее, что в ней ничего нет. Именно от этого будет зависеть, как нужно поступить.

Если пустую шкатулку открыли случайно

Допустим, ведущий игры не знал ничего о содержании шкатулки. То есть, открывая одну из невыбранных, он мог открыть и шкатулку с деньгами.

Раз этого не произошло и никто действительно заранее не знал, в какой из шкатулок деньги, то у них теперь равные шансы на победу: вместо ⅓ они стали равны ½. У обеих шкатулок теперь одинаковая вероятность оказаться с деньгами, поэтому менять шкатулки смысла нет: математически это никак не увеличит ваши шансы. Всё, что будет дальше, уже эзотерика.

Итого. Если Пустую шкатулку открыли случайно и никто не знал заранее, что она пустая, то верная стратегия будет такой: оставить себе Выбранную шкатулку.

Пустую шкатулку выбрали специально

Теперь рассмотрим ситуацию: ведущий знал, что открытая шкатулка окажется пустой. Он изначально знал, где лежат деньги, и специально выбрал пустую шкатулку, чтобы её открыть.
Это совсем другая ситуация, хотя может показаться, что она такая же, как и в первом случае. На самом деле нет. Там у нас появлялась новая информация, потому что никто не знал, где лежат деньги. Новая информация заставила пересчитать шансы.

В этом случае новой информации нет, потому что шкатулка с деньгами известна заранее. А раз новой информации нет, то у Выбранной шкатулки, шансы на победу как были ⅓, так и остались. А теперь начинается магия теории вероятности: шансы на победу у Неизвестной шкатулки выросли вдвое!

Дело тут вот в чём. Раз изначально у всех шкатулок шансы были равны, то для каждой шкатулки они составляли ⅓. Когда нам умышленно открыли Пустую шкатулку, то вероятность Выбранной шкатулки не поменялась (так как новой информации нет), а вероятность Неизвестной шкатулки выросла вдвое:

⅓, которая была изначально + ⅓, которая перешла от Пустой шкатулки к Неизвестной = ⅔.

Нет новой информации — шансы не пересчитываются, а перераспределяются между теми шкатулками, содержимое которых заранее известно. Раз открывающий шкатулки знает, где деньги, значит, шансы перераспределяются между ними. А у вашей шкатулки как был шанс на победу ⅓, так и остался.

Итого. Если Пустую шкатулку открыли специально, правильная стратегия будет такой: поменять Выбранную шкатулку на Неизвестную. Это повысит ваши шансы на победу в 2 раза.

Вопрос 11

Зерновой бункер состоит из двух правых круглых конусов и правого круглого цилиндра с внутренними размерами, представленными на рисунке выше. Что из нижеперечисленного ближе всего к объему зернохранилища в кубических футах?

А) 261,8Б) 785,4В) 916,3Г) 1047,2

ОБЪЯСНЕНИЕ ОТВЕТА: Объем силоса для зерна можно определить, сложив объемы всех твердых частиц, из которых он состоит (цилиндр и два конуса). Бункер состоит из цилиндра (с высотой 10 футов и радиусом основания 5 футов) и двух конусов (каждый с высотой 5 футов и радиусом основания 5 футов). Формулы, приведенные в начале раздела SAT Math:

Объем конуса

$$ V = {1} / {3} πr ^ 2h $$

Объем цилиндра

$$ V = πr ^ 2h $$

может использоваться для определения общего объема силоса. Поскольку два конуса имеют одинаковые размеры, общий объем силоса в кубических футах определяется выражением

$$ V_ {silo} = π (5 ^ 2) (10) + (2) ({1} / {3}) π (5 ^ 2) (5) = ({4} / {3}) (250 ) π $$

что примерно равно 1047,2 кубических футов.

Окончательный ответ — Д.

7.

8. Одна из задач Мартина Гарднера
Американский математик Мартин Гарднер — автор множества самых разнообразных задач и головоломок. Одна из самых интересных его работ — вычисление числа, для которого понадобится наименьшее количество шагов, чтобы свести его к одной цифре посредством перемножения цифр этого числа. Например, для числа 77 потребуется четыре таких шага: 77 — 49 — 36 — 18 — 8. Количество шагов Гарднер называет «числом стойкости».

Наименьшее из чисел с числом стойкости, равным одному, — 10, для числа стойкости 2 это будет 25, самое маленькое число со стойкостью 3 — 39, если число стойкости равно 4, наименьшим числом для него будет 77. Каково наименьшее число с числом стойкости 5?