Признак делимости на 3: примеры, доказательство

Запишите числа которые в сумме дают число 888888.

Задача: Данно число 888888.Какие 2(два) числа дают в сумме число 888888?Решение:

1) 90267 + 798621 = 888888

2) 388578 + 500310 = 888888

3) 18851 + 870037 = 888888

4) 391509 + 497379 = 888888

5) 307848 + 581040 = 888888

Какие 3(три) числа дают в сумме число 888888?Решение:

1) 123618 + 249214 + 516056 = 888888

2) 288016 + 130974 + 469898 = 888888

3) 196475 + 194317 + 498096 = 888888

4) 272914 + 235312 + 380662 = 888888

5) 294303 + 262070 + 332515 = 888888

Какие 4(четыре) числа дают в сумме число 888888?Решение:

1) 59415 + 217024 + 64399 + 548050 = 888888

2) 87413 + 139957 + 275238 + 386280 = 888888

3) 49371 + 119582 + 38479 + 681456 = 888888

4) 95124 + 211833 + 194106 + 387825 = 888888

5) 140385 + 55060 + 28594 + 664849 = 888888

Какие 5(пять) чисел дают в сумме число 888888?Решение:

1) 86530 + 41286 + 194070 + 114654 + 452348 = 888888

2) 82413 + 91115 + 261524 + 196019 + 257817 = 888888

3) 173149 + 74752 + 168729 + 223369 + 248889 = 888888

4) 44574 + 28757 + 40516 + 61203 + 713838 = 888888

5) 71882 + 174148 + 224640 + 132876 + 285342 = 888888

Признак делимости на 6, примеры

Формулировка признака делимости на 6 включает в себя признак делимости на 2 и на 3: если число оканчивается на цифры , 2, 4, 6, 8, а сумма цифр делится без остатка на 3, значит, такое число делится на 6; при отсутствии хотя бы одного условия заданное число на 6 не поделится. Иначе говоря, число будет делиться на 6, когда оно поделится на 2 и на 3.

Применение признака делимости на 6 работает в 2 этапа:

  • проверка делимости на 2, то есть число должно оканчиваться на 2 для явной делимости на 2, при отсутствии цифр , 2, 4, 6, 8 в конце числа деление на 6 невозможно;
  • проверка делимости на 3, причем проверка производится при помощи деления суммы цифр числа на 3 без остатка, что означает возможность делимости всего числа на 3; исходя из предыдущего пункта видно, что все число делится на 6, так как выполняются условия для деления на 3 и на 2.

Пример 1

Проверить, может ли число 8 813 делиться на 6?

Решение

Очевидно, что для ответа нужно обратить внимание на последнюю цифру числа. Так как 3 не делится на 2, отсюда следует, что одно условие не выполняется

Получаем, что заданное число на 6 не поделится.

Ответ: нет.

Пример 2

Узнать, возможно ли деление числа 934 на 6 без остатка.

Решение

Обращаем внимание на последнюю цифру заданного числа. Так как 4 удовлетворяет первому признаку, то есть делится на 2, то следует проверить на выполнимость второе условие

В данном случае сумма цифр должна поделиться на 6. Получаем, что из числа 934 полагается сумма 9+3+4=16. Так как 16 на 3 не делится, то отсюда делаем вывод, что заданное число на 6 не поделится.

Ответ: нет.

Пример 3

Проверить делимость на 6 числа −7 269 708.

Решение

Переходим к последней цифре числа. Так как ее значение равняется 8, то первое условие выполнимо, то есть 8 делится на 2. Переходим к проверке на выполнимость второго условия. Для этого складываем цифры заданного числа 7+2+6+9+7++8=39. Видно, что 39 делится на 3 без остатка. То есть получаем (393=13). Очевидно, что оба условия выполняются, значит, что заданно число разделится на 6 без остатка.

Ответ: да, делится.

Чтобы проверить делимость на 6, можно выполнить непосредственно деление на число 6 без проверки признаков делимости на него.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Делители от 11 и выше

Чтобы получилось деление на 11, необходимо сложить четные по счету номера, а затем нечетные, затем произвести вычитание. Если в процессе вычислений получился ноль или одиннадцать, то остатка не будет.

Онлайн-задание с ответом: 7535, 74019 и 50486.

Нечетные в первом случае 7 и 3, четные 5 и 5. Считаем:

  • 7+3=10,
  • 5+5=10,
  • 10−10=0.

Четные во втором примере 4 и 1, нечетные — 7, 0, 9. Вычисление:

  • 7+0+9=16.
  • 4+1=5.
  • 16−5=11.

В третьем примере нечетные 5, 4, 6, четные 0 и 8. Решаем:

  • 5+4+6=15.
  • 0+8=8.
  • 15−8=7.

Ответ: в первом и втором примере десятых, сотых, тысячных и так далее не останется, а в третьем — останется.

Чтобы разделить на двузначный делитель 12, нужно произвести общие вычисления, характерные для делителей 3 и 4 одновременно. К примеру, 900 и 3432. Сначала следует разложить на слагаемые 9+0+0=9, значит, можно поделить на 3. В конце стоит два нуля — можно делить на 4. Проверка: 900:12=75. Первая часть задания решена, теперь делаем вторую: 3+4+3+2=12, 12:3=4. Таким образом проверяется кратность трем. Теперь четырем: в конце стоит 32, что указывает на кратность 4, значит, остатка не будет. Таким образом, оба примера кратны 12.

Дробь, кратная 13, разрешится без остатка, если последнюю цифру умножить на 4, после чего сложить число и последнюю цифру. Если полученная сумма кратна 13 или равно 0, то деление получится.

Например, 6942:

  • 2*4=8.
  • 694+8=702.
  • 702:13=54.

Еще пример — 754:

  • 4*4=16.
  • 75+16=91.
  • 91:13=7.

Другие случаи делимости на 3

Целые числа могут быть заданы как значение некоторого выражения, которое содержит переменную, при определенном значении этой переменной. Так, при некотором натуральном n значение выражения  4n+3n-1 является натуральным числом. В этом случае непосредственное деление на 3 не может дать нам ответ на вопрос, делится ли число на 3. Применение признака делимости на также может быть затруднено. Рассмотрим примеры таких задач и разберем методы их решения.

Для решения таких задач может быть применено несколько подходов. Суть одного из них заключается в следующем:

  • представляем исходное выражение как произведение нескольких множителей;
  • выясняем, может ли хотя бы один из множителей делиться на 3;
  • на основе свойства делимости делаем вывод о том, что все произведение делится на 3.

В ходе решения часто приходится прибегать к использованию формулы бинома Ньютона.

Пример 4

Делится ли значение выражения 4n+3n-1 на 3 при любом натуральном n?

Решение

Запишем равенство 4n+3n-4=(3+1)n+3n-4. Применим формулу бинома Ньютона бинома Ньютона:

4n+3n-4=(3+1)n+3n-4==(Cn·3n+Cn1·3n-1·1+…++Cnn-2·32·1n-2+Cnn-1·3·1n-1+Cnn·1n)++3n-4==3n+Cn1·3n-1·1+…+Cnn-2·32+n·3+1++3n-4==3n+Cn1·3n-1·1+…+Cnn-2·32+6n-3

Теперь вынесем 3 за скобки:3·3n-1+Cn1·3n-2+…+Cnn-2·3+2n-1. Полученное произведение содержит множитель 3, а значение выражения в скобках при натуральных n представляет собой натуральное число. Это позволяет нам утверждать, что полученное произведение и исходное выражение 4n+3n-1 делится на 3.

Ответ: Да.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Также мы можем применить метод математической индукции.

Пример 5

Докажите с использованием метода математической индукции, что при любом натуральномn значение выраженияn·n2+5 делится на 3.

Решение

Найдем значение выражения n·n2+5 при n=1: 1·12+5=6. 6 делится на 3.

Теперь предположим, что значение выражения n·n2+5 при  n=k делится на 3. Фактически, нам придется работать с выражением k·k2+5 , которое, как мы ожидаем, будет делиться на 3.

Учитывая, что k·k2+5 делится на 3, покажем, что значение выражения n·n2+5 при n=k+1 делится на 3, то есть, покажем, что k+1·k+12+5 делится на 3.

Выполним преобразования:

k+1·k+12+5==(k+1)·(k2+2k+6)==k·(k2+2k+6)+k2+2k+6==k·(k2+5+2k+1)+k2+2k+6==k·(k2+5)+k·2k+1+k2+2k+6==k·(k2+5)+3k2+3k+6==k·(k2+5)+3·k2+k+2

Выражение k·(k2+5) делится на 3 и выражение 3·k2+k+2 делится на 3, поэтому их сумма делится на 3.

Так мы доказали, что значение выражения n·(n2+5) делится на 3 при любом натуральном n.

Теперь разберем подход к доказательству делимости на 3, которых основан на следующем алгоритме действий:

  • показываем, что значение данного выражения с переменной n при n=3·m, n=3·m+1 и n=3·m+2, где m – произвольное целое число, делится на 3;
  • делаем вывод о том, что выражение будет делиться на 3 при любом целом n.

Для того, чтобы не отвлекать внимание от второстепенных деталей, применим данный алгоритм к решению предыдущего примера. Пример 6

Пример 6

Покажите, что n·(n2+5)  делится на 3 при любом натуральном n.

Решение

Предположим, что n=3·m. Тогда: n·n2+5=3m·3m2+5=3m·9m2+5 . Произведение, которое мы получили, содержит множитель 3, следовательно само произведение делится на 3.

Предположим, что n=3·m+1. Тогда:

n·n2+5=3m·3m2+5=(3m+1)·9m2+6m+6==3m+1·3·(2m2+2m+2)

Произведение, которое мы получили, делится на 3.

Предположим, что n=3·m+2. Тогда:

n·n2+5=3m+1·3m+22+5=3m+2·9m2+12m+9==3m+2·3·3m2+4m+3

Это произведение также делится на 3.

Ответ: Так мы доказали, что выражение n·n2+5 делится на при любом натуральном n.

Пример 7

Делится ли на 3 значение выражения 103n+102n+1  при некотором натуральном n.

Решение

Предположим что n=1. Получаем:

103n+102n+1=103+102+1=1000+100+1=1104

Если посчитать сумму цифр полученного числа, то получим 3. Это позволяет нам утверждать, что полученное число делится на 3.

Предположим, что n=2. Получаем:

103n+102n+1=106+104+1=1000 000+10000+1=1010001

Если посчитать сумму цифр этого числа, то мы снова получаем три. Это позволяет нам утверждать, что полученное число делится на 3.

Так мы можем сделать вывод, что при любом натуральном n мы будем получать числа, которые делятся на 3. Это значит, что 103n+102n+1 при любом натуральном n делится на 3.

Ответ: Да

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Понятие делимости и ее основные свойства

Напомним суть операции деления. Она является обратной для операции умножения. Пусть есть три числа, a, b и c, причем для них справедливо соотношение

a = bc

В таком случае говорят, что a является произведением b и c. Тогда результатом деления числа a на b называют число с.

Надо понимать, что если мы делим друг на друга целые числа , то в результате может получится как целое, так и дробное число:

15:5 = 3

15:10 = 1,5

Если в результате деления числа а на b получилось целое число с, то говорят, что а делится на b.

Так, число 30 делится на 6, потому что при делении 30 на 6 получается целое число 5:

30:6 = 5

Иногда в математике используют выражение «делится нацело». Оно означает тоже самое, что и просто слово «делится». Например, 81 делится нацело на 3:

81:3 = 27

Порою в математике используют чуть более сложное определение делимости:

Видно, что оно похоже на определение операции деления. Его удобно использовать при доказательстве некоторых свойств делимости.

Понятие делимости определено только для целых чисел. Например, при делении 12,5 на 2,5 получается целое число:

12,5:2,5 = 5

однако никто не говорит, что 12,5 делится на 2,5.

Если число а делится на b, то b называют делителем числа a, а также говорят, что а – кратно b, или а является кратным b.

Рассмотрим несколько примеров:

  • так как 72:8 = 9, то 72 делится на 8, 72 кратно 8, и 8 – это делитель числа 72;
  • так как 132:11 = 12, то 132 делится на 11, 132 является кратным 11, и 11 является делителем 132.

Очевидно, что у каждого числа есть бесконечное количество кратных ему чисел. Так, числу 7 кратны числа 7, 14, 21, 28 и т.д.Ряд можно продолжать бесконечно, просто умножая 7 на каждое следующее натуральное число:

7•1 = 7

7•2 = 14

7•3 = 21

7•4 = 28

А вот количество делителей ограничено. Так, число 15 делится только на 1, 3, 5, 15, а также на –1, –3, –5 и –15. Есть одно исключение – ноль делится на любое целое число (кроме нуля), а потому имеет бесконечное число делителей. Стоит уточнить, что часто под делителями натурального числа понимают только другие натуральные числа, то есть отрицательные делители не учитывают.

Теперь рассмотрим некоторые свойства делимости чисел (для удобства будем пронумеровывать правила, чтобы было легче ссылаться на них).

Действительно, при делении целого числа на себя получается единица:

а:а = 1

Ноль является исключением, поскольку деление на ноль не допускается в алгебре.

При делении на единицу число не меняется:

а:1 = а

поэтому, если а – целое, то после деления на единицу оно останется целым.

Приведем пример. 128 делится на 16:

128:16 = 8

В свою очередь 16 делится на 4:

16:4 = 4

Значит, и 128 делится на 4:

128:4 = 32

Теперь докажем это свойство более строго. Если а делится на b, а b делится нацело на c, то, по определению делимости, должны существовать такие целые m и k, для которых выполняются равенства:

а = bm

b = kc

Подставим второе равенство в первое

а = bm = kcm = kmc

Так как произведение целых чисел k и m само является целым, то, опять-таки по определению делимости, а делится нас.

Тоже самое доказательство поясним на конкретных числах.

Пусть 210 делится нацело на 30, а 30 делится на 6. Тогда требуется доказать, что 210 делится на 6 (не выполняя самого деления). 210 можно представить в виде

210 = 30•7

в свою очередь 30 можно записать как

30 = 6•5

Теперь подставим вторую запись в первую:

150 = 30•7 = (6•5)•7 = 6•(5•7)

Так как числа 5 и 7 целые, то целым является и их произведение, следовательно, 150 делится на 6.

Описанные свойства являются основными для делимости. На их основе можно доказать много других утверждений. Например, если а делится на b, то верно и то, что аn делится на bn, где n– произвольное натуральное число. Например, 24 делится на 12, поэтому 242 делится на 122:

242:122 = 576:144 = 4

Докажем строго это свойство. По определению можно записать равенство

а = сb

Возведем правую и левую часть равенства в степень n:

аn = (сb)n = cnbn

Так как с – целое, то и сn будет целым, поэтому аn делится на bn.

Общие сведения

Операция деления одного числа на другое является довольно сложной, поскольку она классифицируется на два направления в зависимости от частного:

  1. Целочисленное.
  2. Дробное.

В первом случае частное, или результат операции деления, является целым числом, т. е. получается без остатка. Об этом говорят, что деление выполнено нацело. Очень часто подбор делителя осуществляется при сокращении дробных выражений по свойству обыкновенной дроби.

Однако не всегда можно поделить одну величину на другую нацело. В этом случае частное представляется в виде дробного тождества.

Дробные величины

Дробное выражение может записываться в десятичной, обыкновенной и смешанной формах. Обыкновенное дробное выражение — незаконченная операция деления, поскольку в нем существуют только два компонента, а именно:

  1. Делимое (значение, делящееся на некоторую величину и представляющее какое-либо целое значение или его часть).
  2. Делитель (величина, показывающая количество равных частей, на которые требуется разделить искомый элемент-делимое).

Записывается обыкновенная дробь следующим образом: m/n, а читается так: «эм энных» (2/5 — две пятых). Элемент «m» еще называют числителем, а «n» — знаменателем. Разделяются эти два компонента при помощи косой черты. Последняя обозначает символ операции деления кроме стандартного двоеточия «:».

Следует отметить, что десятичное дробное тождество является частным, или результатом деления числителя на знаменатель. Далее необходимо подробно рассмотреть для общего развития преобразование неправильного дробного тождества в смешанное число.

Смешанное число

Смешанная форма представления состоит из целой части и правильной обыкновенной дроби. Записывается следующим образом: R[P/S], где R — целая часть, P — числитель и S — знаменатель. Следует отметить, что смешанное число всегда получается из неправильной дроби. У последней числитель всегда больше знаменателя.

Специалисты предлагают простую методику преобразования дробного выражения неправильного типа в смешанную форму. Она выглядит следующим образом:

  1. Записать выражение: m/n, где m>n.
  2. Выделить целую часть: m/n=P.
  3. Произвести расчет нового числителя m’ по формуле: m’=m-P*n.
  4. Результат: Р[m’/n].

Далее требуется разобрать применение методики на практике. Реализация алгоритма имеет такой вид:

  1. Искомая неправильная дробь: 63/11.
  2. Целая часть: 5.
  3. Новый числитель: m’=63−5*11=8.
  4. Результат: 5[8/11].

Обратный алгоритм преобразования числа смешанной формы в неправильную обыкновенную дробь осуществляется в такой последовательности:

  1. Пишется величина: Р[m’/n].
  2. Рассчитывается новое значение числителя для неправильной дроби: m=nP+m’.
  3. Записывается результат: m/n.

Для проверки работоспособности методики нужно рассмотреть пример. Реализация алгоритма выглядит таким образом:

  1. Записать величину: 5[8/11].
  2. Числитель: m=11*5+8=63.
  3. Смешанное число: 63/11.

Однако перед тем как перейти к критериям делимости, необходимо разобрать следующие термины: разрядная сетка и цифра.

Структура числа

Число состоит из разрядной сетки, т. е. позиции, в состав которой входят определенные компоненты — цифры (математические символы для построения числовых выражений). Каждая из них стоит на некотором месте. От последнего зависит величина числа. Для примера нужно разобрать величину «45681». Ее необходимо расписать по элементам-разрядам:

  1. Единицы: 1.
  2. Десятки: 8.
  3. Сотни: 6.
  4. Тысячи: 5.
  5. Десятитысячи: 4.

Все пять пунктов являются разрядной сеткой, элементы которой имеют определенное числовое значение. Из последних и складывается величина, т. е. 1*1+10*8+100*6+1000*5+10000*4=45681. Числа бывают четными и нечетными. Четное — величина, заканчивающаяся на одну из цифр {0;2;4;6;8}. Все остальные значения считаются нечетными.

Кроме того, любая величина может быть простой и составной. Первую невозможно разделить на какое-либо число, кроме единицы и самого себя. Для примера можно рассмотреть «7».

Деление с остатком

Сейчас мы знаем, что при делении чисел может получиться дробный ответ:

75:10 = 7,5

Однако в младшей школе, когда дробные числа ещё не были изучены, использовалось деление с остатком:

75:10 = 7 (остаток 5)

Остаток должен быть меньше, чем делитель. Если вычесть из делимого остаток, то получится число, кратное делителю:

75 – 5 = 70

70:10 = 7

Если же остаток получился равным нулю, то имеет место деление без остатка.

Сформулируем строгое определение для операции «деление с остатком»:

Число 75 можно представить как

75 = 7•10 + 5

поэтому результатом деления 75 на 10 будет

75:10 = 7 (остаток 5)

Условие 0 ⩽d<b в этом определении означает, что остаток должен быть меньше делителя, но при этом является неотрицательным числом. Без этого уточнения можно было бы получить несколько разных ответов, подходящих под определение:

75= 7•10 + 5

75 = 6•10 + 15

75 = 5•10 + 25

Заметим, что по определению делителем может быть и отрицательное число, в то время как делителем и остатком неотрицательны. Например:

– 34:9 = – 4 (остаток 2)

так как

– 34 = 9•(– 4) + 2

Из определения напрямую не следует, что операцию деления с остатком можно выполнить всегда. Вдруг необходимые числа c и d просто не найдутся? Или найдется сразу несколько пар чисел с и d, удовлетворяющих определению? К счастью, существует теорема о делении с остатком:

Мы не станем доказывать эту теорему. Однако у нее есть интересное следствие. Очевидно, что при делении любого числа на делитель k мы получим остаток, который меньше k. За счет этого можно разбить множество всех целых чисел на подмножества (классы), которые отличаются величиной этого остатка. Поясним на примере. Есть множество четных и нечетных чисел. Первые при делении на 2 дают в остатке ноль, а вторые – остаток, равный единице. Поэтому любое четное число можно записать как

2n

а нечетное число можно представить, как

2n + 1

где n – какое-то целое число.

При этом любое целое число будет либо четным, либо нечетным.

Аналогично любое число при делении на 3 даст остаток либо 0, либо 1, либо 2. В первом случае число можно записать как

3n

во втором случае в виде

3n + 1

а в третьем – в виде

3n + 2

Аналогично, если рассматривать делимость чисел на 5, любое целое число может относиться к одному из пяти классов деления с остатком:

5n, 5n + 1, 5n + 2, 5n + 3, 5n + 4.

Для чего это делать? Оказывается, подобное представление может использоваться в некоторых задачах.

Пример. Какие остатки могут получиться при делении квадрата целого числа на 4?

Решение. Любое целое число можно представить в одном из следующих видов:

4n, 4n + 1, 4n + 2, 4n + 3

Рассмотрим, какой остаток получится при делении квадрата каждого их этих выражений на 4:

(4n)2 = 16n2 = 4•4n2 + 0 (остаток от деления на 4 равен 0)

(4n + 1)2 = 16n2 + 8n + 1 = 4(4n + 2n) + 1 (остаток равен 1)

(4n + 2)2 = 16n2 + 16n + 4 = 4(4n2 + 4n + 1) + 0 (остаток 0)

(4n + 3)2 = 16n2 + 24n + 9 = 4(4n2 + 6n + 2) + 1 (остаток 1)

Получается, что при делении квадрата любого числа на 4 получается либо остаток, равный 1, либо нулевой остаток (то есть имеет место деление нацело).

Ответ: 0 и 1.

Признак делимости на 15

Для того чтобы выяснить возможность деления числа на пятнадцать, необходимо составить собственный критерий. Он составляется по следующему алгоритму:

  1. Записывается искомое число-делимое.
  2. Делитель необходимо разложить на множители.
  3. Воспользоваться признаками деления для простых однозначных делителей.
  4. Доказать делимость или неделимость нацело искомого числа.
  5. Записать результат.

Далее требуется сформулировать правило делимости на 15. Оно гласит следующее: величина делится на пятнадцать без остатка только в том случае, когда заканчивается на пятерку, а также сумму ее цифр возможно поделить на тройку. Если разложить 15 на множители, то можно сделать вывод, что значение эквивалентно произведению пятерки и тройки.

Для примера можно разобрать следующую операцию: доказать, что величина «345» делится на 15 без остатка. Для этого требуется воспользоваться такой методикой:

  1. Записать величину: 345.
  2. Разложить делитель: 15=3*5.
  3. На 5: делится, поскольку величина заканчивается на пятерку.
  4. На 3: 3+4+5=12 — делится на три без остатка.
  5. Результат: 345 возможно поделить на пятнадцать без остатка, поскольку число делится на 5 и 3.

Для каждого элемента можно составить свои критерии. Например, для «12» искомая величина должна делиться на тройку и четверку без остатка.

Основные признаки делимости

Приведем основные признаки делимости чисел:

  • Признак делимости числа на «2»
    Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8)Пример: Число 1256 кратно 2, поскольку оно заканчивается на 6. А число 49603 не делится нацело на 2, поскольку оно заканчивается на 3.
  • Признак делимости числа на «3»
    Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3Пример: Число 4761 делится на 3 нацело, поскольку сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. А число 143 не кратно 3, поскольку сумма его цифр равна 8 и она не делится на 3.
  • Признак делимости числа на «4»
    Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4Пример: Число 2344 кратно 4, поскольку 44 / 4 = 11. А число 3951 не делится нацело на 4, поскольку 51 на 4 не делится.
  • Признак делимости числа на «5»
    Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5Пример: Число 5830 делится нацело на 5, поскольку оно заканчивается на 0. А число 4921 не делится на 5 нацело, поскольку оно заканчивается на 1.
  • Признак делимости числа на «6»
    Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3Пример: Число 3504 кратно 6, поскольку оно заканчивается на 4 (признак делимости на 2) и сумма цифр числа равна 12 и она делится на 3 (признак делимости на 3). А число 5432 на 6 нацело не делится, хотя число заканчивается на 2 (соблюдается признак делимости на 2), однако сумма цифр равна 14 и она не делится на 3 нацело.
  • Признак делимости числа на «8»
    Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8Пример: Число 93112 делится нацело на 8, поскольку число 112 / 8 = 14. А число 9212 не кратно 8, поскольку 212 не делится на 8.
  • Признак делимости числа на «9»
    Число делится нацело на 9, если сумма его цифр делится на 9Пример: Число 2916 кратно 9, поскольку сумма цифр равна 18 и она делится на 9. А число 831 не делится на 9 нацело, поскольку сумма цифр числа равна 12 и она не делится на 9.
  • Признак делимости числа на «10»
    Число делится нацело на 10, если оно заканчивается на 0Пример: Число 39590 делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается на 0. А число 5964 не делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается не на 0.
  • Признак делимости числа на «11»
    Число делится нацело на 11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр, стоящих на четных местах или суммы должны отличаться на 11Пример: Число 3762 делится нацело на 11, поскольку 3 + 6 = 7 + 2 = 9. А число 2374 на 11 не делится, поскольку 2 + 7 = 9, а 3 + 4 = 7.
  • Признак делимости числа на «25»
    Число делится нацело на 25, если оно заканчивается на 00, 25, 50 или 75Пример: Число 4950 кратно 25, поскольку оно заканчивается на 50. А 4935 не делится на 25, поскольку заканчивается на 35.

Принцип Дирихле

Иногда при решении задач, связанных с делимостью чисел, помогает использование принципа Дирихле. Звучит он так:

Формулировка довольно сложная, поэтому для простоты часто используют пример с голубями и клетками:

Посмотрите на рисунок, где изображены 10 голубей и 9 клеток:

Действительно, здесь не получится распределить птиц по клеткам так, чтобы в каждом была не более чем одна птица. Однако на этом принцип Дирихле не исчерпывается. Что можно сказать о случае, когда животных меньше, чем клеток? Ясно, что одна из них останется пустой.

На рисунке показан случай, когда есть 7 голубей и 9 клеток:

Пусть есть поле, разбитое на 4 квадрата. На нем размещено 9 кругов:

Ясно, что в одной из клеток будет более 1 кружочка. Но более того, в одном из них обязательно окажется более 2 кругов! Действительно, даже если в каждом квадрате находилось бы ровно 2 фигуры, то тогда их общее количество равнялось бы 4•2 = 8, а их 9. Но также ясно, что хотя бы в одном квадрате будет менее 3 кругов.

Здесь мы приходим к связи между принципом Дирихле и делением с остатком. Если поделить 9 на 4, то получим 2 и в остатке 1:

9:4 = 2 (остаток 1)

2 – это неполное частное. Получается, что отношение 9/4 находится как бы между числами 2 и 3:

2< 9/4 < 3

или же

2< 9/4 < 2 + 1

В одной из клеток окажется не менее 3 кругов, но также в одной из клеток будет не более 2 кругов. Такая логика позволяет сформулировать обобщение принципа Дирихле:

Под «объектами» подразумеваются кролики или «птицы», которые сидят в клетках, а под классами – эти самые клетки. Рассмотрим для примера задачу на принцип Дирихле. Пусть в классе находится 38 учеников. Найдется ли такой месяц, во время которого день рождения будет сразу у 4 или более учеников? Очевидно, что найдется, ведь в году 12 месяцев. Поделим число учеников на количество месяцев в году:

38:12 = 3 (остаток 2)

Ученики – это объекты, которые условно распределены по классам – месяцам своего рождения. По принципу Дирихле, существует такой месяц, в котором день рождения отмечают не менее 3 + 1 = 4 ученика.

Ещё одно замечание. Под объектами могут подразумеваться не только отдельные элементы множества, но и какие-то классы элементов множества. Посмотрим ещё раз на рисунок с кружочками:

Здесь 9 кругов окрашены в 5 различных цветов. Согласно принципу Дирихле можно утверждать не только то, что в одной из клеток окажется минимум 3 круга, но и то, что найдется клетка, где будут находиться фигуры хотя бы 2 разных цветов.

Рассмотрим одну особо сложную задачу, у которой, однако, довольно простое решение. Возьмем все натуральные числа от 1 до 10000. Можно ли сформировать множество, состоящее из 5001 числа, чтобы ни одно число в этом множестве не делилось на другое число из этого множества? Попробуйте найти ответ на этот вопрос самостоятельно. Если это не получилось, то читайте решение:

Среди чисел от 1 до 10000 находится ровно 5000 нечетных и 5000 четных чисел. Любое четное число можно представить как произведение нечетного числа и какой-то степени двойки. Для этого надо делить четное число на 2 до тех пор, пока не получится нечетное, например:

54 = 2•27 = 21•27

60 = 2•30 = 2•2•15 = 22•15

144 = 2•72 = 2•2•36 = 2•2•2•18 = 2•2•2•2•9 = 24•9

64 = 2•32 = 2•2•16 = 2•2•2•8 = 2•2•2•2•4 = 2•2•2•2•2•2 = 26•1

Если же число нечетное, то его можно записать как произведение нечетного числа и двойки в нулевой степени:

33 = 1•33 = 2•33

Получается, что любое натуральное число z можно представить в виде

z = 2n•k

где n – неотрицательное целое число, а k – нечетное число, которое, очевидно, не больше самого z.

Представим в таком виде все числа от 1 до 10000. При этом в качестве нечетного числа k мы сможем использовать только те 5000 нечетных чисел, которые не больше 10000. Теперь выберем 5001 число. В силу принципа Дирихле ясно, что хотя бы у двух из них число k будет совпадать. Но если у двух чисел это число k совпадает, то одно из них обязательно делится на другое!

Действительно, пусть одно число представимо как 2n•k,а второе как 2m•k, причем n>m. Тогда получаем

то есть при делении 2n•k на 2m•k получается целое число – какая-то степень двойки. Например, число 144 представимо как

144 = 24•9

а число 36 как

36 = 22•9

поэтому 144 делится на 36:

Так как число k может принимать только 5000 значений (именно столько нечетных чисел находится между 1 и 10000), а нам надо сформировать множество из 5001 числа, то по принципу Дирихле мы в любом случае выберем два числа с одинаковым k. Одно из них будет делиться нацело на другое, поэтому сформировать требуемое множество не удастся.