Ноль в нулевой степени

Содержание

Сложение, умножение, степень

В математике используется несколько действий. Они следующие:

  • сложение;
  • вычитание;
  • умножение;
  • деление;
  • возведение в степень.

Сложение с нулем обычно вопросов не вызывает. Если к любому числу добавить 0, это значит, что к нему не прибавилось ничего. Слагаемое каким было, таким и осталось, сколько раз ноль ни прибавляй. То же самое будет, если отнять ноль.

Операция умножения гораздо менее очевидна. Не все понимают, почему при умножении на ноль получается ноль. Это объясняется особенностями операции умножения. Изначально ее определяли как число, прибавленное к самому себе определенное количество раз, что справедливо для натуральных чисел. Так, 5 х 3 = 15. Этот пример можно заменить следующим выражением: 5 + 5 + 5 = 15. То есть число 5 было взято 3 раза. Согласно этому правилу, умножение на 0 числа 5 дает нулевой результат, и 5 х 0 = 0.

Чтобы было нагляднее, можно привести следующий пример:

  • если мальчик съел 2 раза по 2 яблока, то окажется, что он позавтракал 4 яблоками;
  • если он съел 3 раза по 2 яблока, то в результате получится 6 яблок;
  • если же он съел 0 раз по 2 яблока, то ответ будет 0.

Иногда юные скептики выдвигают следующее возражение: допустим, у мальчика в руке 2 яблока. Если он не съел их, то яблоки не пропадут, они так и останутся в него в руке. Почему же тогда результат равен нулю? Действительно, яблоки из руки никуда не денутся. Но в примере учитываются лишь те из них, которые были съедены, проще говоря, оказались в желудке у мальчика. В последнем случае они туда не попали.

Правило умножения на ноль в математике действительно для любых чисел:

  • положительных;
  • отрицательных;
  • целых;
  • дробей;
  • разрядных;
  • рациональных;
  • иррациональных;
  • 0 можно умножать на 0.

В любом случае произведение будет нулевым. С нулем можно производить следующие действия:

  1. Если его разделить на любое ненулевое число, то в результате получится ноль. Правило действительно для положительных и отрицательных чисел.
  2. Любое число, не равное нулю, можно возвести в нулевую степень, в результате получится 1. Ноль в нулевую степень возводить нельзя, это бессмысленно.
  3. Нуль можно возвести в любую ненулевую степень, получится нуль. Пример: 02 = 0. Это выражение можно заменить следующим: 0 х 0 =0. Результат будет нулевым согласно правилам умножения.
  4. Корень из нуля равен нулю.

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Возведение в степень — это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.

Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи.

Начнем со сложения.

Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно — 16 бутылок.

Теперь умножение.

Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: . Математики — люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать». В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением. Согласись, считается легче и быстрее, чем.

Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения
. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками! Но…

Вот таблица умножения. Повторяй.

И другой, красивее:

Отрицательная и нулевая степень числа

Нулевой показатель

Возвести данное число в некоторую степень значит повторить его сомножителем столько раз, сколько единиц в показателе степени.

Согласно этому определению, выражение: a не имеет смысла. Но чтобы правило деления степеней одного и того же числа имело значение и в том случае, когда показатель делителя равен показателю делимого, введено определение:

a = 1

Нулевая степень любого числа будет равна единице.

Отрицательный показатель

Выражение a-m, само по себе не имеет смысла. Но чтобы правило деления степеней одного и того же числа имело значение и в том случае, когда показатель делителя больше показателя делимого, введено определение:

Пример 1. Если данное число состоит из 5 сотен, 7 десятков, 2 единиц и 9 сотых долей, то его можно изобразить так:

5 × 102 + 7 × 101 + 2 × 10 + 0 × 10-1 + 9 × 10-2 = 572,09

Пример 2. Если данное число состоит из a десятков, b единиц, c десятых и d тысячных долей, то его можно изобразить так:

a × 101 + b × 10 + c × 10-1 + d × 10-3

Действия над степенями с отрицательными показателями

При умножении степеней одного и того же числа показатели складываются.

При делении степеней одного и того же числа из показателя делимого вычитается показатель делителя.

Чтобы возвести в степень произведение, достаточно возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:

Чтобы возвести в степень дробь, достаточно возвести в эту степень отдельно оба члена дроби:

При возведении степени в другую степень показатели степеней перемножаются.

Дробный показатель

Если k не есть число кратное n, то выражение: не имеет смысла. Но чтобы правило извлечения корня из степени имело место при любом значении показателя степени, введено определение:

Благодаря введению нового символа, извлечение корня всегда может быть заменено возведением в степень.

Действия над степенями с дробными показателями

Действия над степенями с дробными показателями совершаются по тем же правилам, которые установлены для целых показателей.

При доказательстве этого положения, будем сначала предполагать, что члены дробей: и , служащих показателями степеней, положительны.

В частном случае n или q могут равняться единице.

При умножении степеней одного и того же числа дробные показатели складываются:

При делении степеней одного и того же числа с дробными показателями из показателя делимого вычитается показатель делителя:

Чтобы возвести степень в другую степень в случае дробных показателей, достаточно перемножить показатели степеней:

Чтобы извлечь корень из дробной степени, достаточно показатель степени разделить на показатель корня:

Правила действий применимы не только к положительным дробным показателям, но и к отрицательным.

Существует правило, что любое число, кроме нуля, возведенное в нулевую степень, будет равно единице:2 = 1; 1.5 = 1; 10 000 = 1Однако почему это так?Когда число возводится в степень с натуральным показателем, то имеется в виду, что оно умножается само на себя столько раз, каков показатель степени:43 = 4×4×4; 26 = 2×2×2×2×2 x 2Когда же показатель степени равен 1, то при возведении имеется всего лишь один множитель(если тут вообще можно говорить о множителях), и поэтому результат возведения равен основанию степени:181 = 18;(-3.4)^1 = -3.4Но как в таком случае быть с нулевым показателем? Что на что умножается?Попробуем пойти иным путем.

Почему число в степени 0 равно 1?

Известно, что если у двух степеней одинаковые основания, но разные показатели, то основание можно оставить тем же самым, а показатели либо сложить друг с другом(если степени перемножаются), либо вычесть показатель делителя из показателя делимого(если степени делятся):32×31 = 3^(2+1) = 33 = 3×3×3 = 2745 ÷ 43 = 4^(5−3) = 42 = 4×4 = 16А теперь рассмотрим такой пример:82 ÷ 82 = 8^(2−2) = 8 = ?Что если мы не будем пользоваться свойством степеней с одинаковым основанием и произведем вычисления по порядку их следования:82 ÷ 82 = 64 ÷ 64 = 1Вот мы и получили заветную единицу. Таким образом нулевой показатель степени как бы говорит о том, что число не умножается само на себя, а делится само на себя.И отсюда становится понятно, почему выражение 0 не имеет смысла. Ведь нельзя делить на 0.

Непрерывные показатели


Участок z = Иксу. Красные кривые (с z константа) дают разные пределы как (Икс, у) подходы (0, 0). Зеленые кривые (конечного постоянного наклона, у = топор) все дают предел 1.

Пределы, связанные с алгебраическими операциями, часто можно оценить, заменив подвыражения их пределами; если результирующее выражение не определяет исходный предел, выражение известно как неопределенная форма. Фактически, когда ж(т) и грамм(т) являются вещественными функциями, оба приближаются (в качестве т приближается к действительному числу или ±∞), с ж(т) > 0, функция ж(т)грамм(т) не нужно приближаться 1; в зависимости от ж и грамм, предел ж(т)грамм(т) может быть любым неотрицательным действительным числом или +∞, или это может расходиться. Например, функции ниже имеют вид ж(т)грамм(т) с ж(т), грамм(т) → 0 в качестве т → 0+ (а односторонний предел), но пределы другие:

Limт→+тт=1,{ Displaystyle lim _ {т к 0 ^ {+}} {т} ^ {т} = 1,}
Limт→+(е−1т2)т=,{ displaystyle lim _ {t to 0 ^ {+}} left (e ^ {- { frac {1} {t ^ {2}}}} right) ^ {t} = 0,}
Limт→+(е−1т2)−т=+∞,{ displaystyle lim _ {t to 0 ^ {+}} left (e ^ {- { frac {1} {t ^ {2}}}} right) ^ {- t} = + infty ,}
Limт→+(е−1т)ат=е−а.{ displaystyle lim _ {t to 0 ^ {+}} left (e ^ {- { frac {1} {t}}} right) ^ {at} = e ^ {- a}.}

Таким образом, функция двух переменных Иксу, хотя и непрерывно на множестве {(Икс, у) : Икс > 0}, к непрерывная функция на {(Икс, у) : Икс > 0} ∪ {(0, 0)}, независимо от того, как вы решите определить 0. Однако при определенных условиях, например, когда ж и грамм оба аналитические функции на нуле и ж положительна на открытом интервале (0, б) для некоторых положительных б, предел, приближающийся справа, всегда 1.

Таблица степеней от 1 до 10

1 1 = 1

1 2 = 1

1 3 = 1

1 4 = 1

1 5 = 1

1 6 = 1

1 7 = 1

1 8 = 1

1 9 = 1

1 10 = 1

2 1 = 2

2 2 = 4

2 3 = 8

2 4 = 16

2 5 = 32

2 6 = 64

2 7 = 128

2 8 = 256

2 9 = 512

2 10 = 1024

3 1 = 3

3 2 = 9

3 3 = 27

3 4 = 81

3 5 = 243

3 6 = 729

3 7 = 2187

3 8 = 6561

3 9 = 19683

3 10 = 59049

4 1 = 4

4 2 = 16

4 3 = 64

4 4 = 256

4 5 = 1024

4 6 = 4096

4 7 = 16384

4 8 = 65536

4 9 = 262144

4 10 = 1048576

5 1 = 5

5 2 = 25

5 3 = 125

5 4 = 625

5 5 = 3125

5 6 = 15625

5 7 = 78125

5 8 = 390625

5 9 = 1953125

5 10 = 9765625

6 1 = 6

6 2 = 36

6 3 = 216

6 4 = 1296

6 5 = 7776

6 6 = 46656

6 7 = 279936

6 8 = 1679616

6 9 = 10077696

6 10 = 60466176

7 1 = 7

7 2 = 49

7 3 = 343

7 4 = 2401

7 5 = 16807

7 6 = 117649

7 7 = 823543

7 8 = 5764801

7 9 = 40353607

7 10 = 282475249

8 1 = 8

8 2 = 64

8 3 = 512

8 4 = 4096

8 5 = 32768

8 6 = 262144

8 7 = 2097152

8 8 = 16777216

8 9 = 134217728

8 10 = 1073741824

9 1 = 9

9 2 = 81

9 3 = 729

9 4 = 6561

9 5 = 59049

9 6 = 531441

9 7 = 4782969

9 8 = 43046721

9 9 = 387420489

9 10 = 3486784401

10 1 = 10

10 2 = 100

10 3 = 1000

10 4 = 10000

10 5 = 100000

10 6 = 1000000

10 7 = 10000000

10 8 = 100000000

10 9 = 1000000000

10 10 = 10000000000

Раскрытие неопределённости 00[ | код]

Если даны две функции f(x){\displaystyle f(x)} и g(x){\displaystyle g(x)}, которые стремятся к нулю, то предел f(x)g(x){\displaystyle f(x)^{g(x)}} в общем случае, как показано выше, может быть любым. Таким образом, с этой точки зрения {\displaystyle 0^{0}} является неопределённостью. Для нахождения предела f(x)g(x){\displaystyle f(x)^{g(x)}} в этом случае пользуются методами раскрытия неопределённости, как правило сначала взяв логарифм от данного выражения: ln⁡(f(x)g(x))=g(x)ln⁡(f(x)){\displaystyle \ln \left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)\ln {\big (}f(x){\big )}}, а потом воспользовавшись правилом Лопиталя.

Однако, при определённых условиях этот предел будет всегда равен единице. А именно: если функции f{\displaystyle f} и g{\displaystyle g} являются аналитическими в точке {\displaystyle 0} (то есть в некоторой окрестности точки {\displaystyle 0} совпадают со своим рядом Тейлора), и f()=g()={\displaystyle f(0)=g(0)=0}, а f(x)>{\displaystyle f(x)>0} в окрестности (,δ){\displaystyle (0,\delta )}, то предел f(x)g(x){\displaystyle f(x)^{g(x)}} при x{\displaystyle x} стремящемся к нулю справа равен 1.

Например, таким образом можно сразу убедиться, что

limx→+xx=1,{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1,}
limx→+(sin⁡x)tg⁡x=1,{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}(\sin x)^{\operatorname {tg} x}=1,}
limx→+(ex+1−x)x=1.{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\left(e^{x+1}-x\right)^{x}=1.}

При этом надо не забывать, что если хотя бы одна из функций не разлагается в ряд Тейлора в точке 0, то предел может быть любым, или его может не существовать. Например,

limx→+xaln⁡x=ea,{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{a/\ln x}=e^{a},}
limx→+(e−1x)x=e−1.{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\left(e^{-1/x}\right)^{x}=e^{-1}.}

Лечение на компьютерах

Стандарт IEEE с плавающей запятой

В IEEE 754-2008 Стандарт с плавающей запятой используется при разработке большинства библиотек с плавающей запятой. Он рекомендует ряд операций для вычисления мощности:

  • пау лечит 0 в качестве 1. Если степень является точным целым числом, результат будет таким же, как и для пух, в противном случае результат такой же, как для Powr (кроме некоторых исключительных случаев).
  • пух лечит 0 в качестве 1. Мощность должна быть точным целым числом. Значение определяется для отрицательных оснований; например., пух (-3,5) является −243.
  • Powr лечит 0 в качестве NaN (Не-число — не определено). Значение также NaN для таких случаев, как Powr (-3,2) где база меньше нуля. Значение Powr (Икс,у) определяется еу бревно(Икс).

В пау вариант вдохновлен пау функция от C99, в основном для совместимости. Это полезно в основном для языков с одной степенной функцией. В пух и Powr варианты были введены из-за противоречивого использования степенных функций и различных точек зрения (как указано выше).

Языки программирования

Стандарты C и C ++ не определяют результат 0 (может произойти ошибка домена), но с C99, если нормативный приложение F поддерживается, результат требуется 1 потому что есть важные приложения, для которых это значение более полезно, чем NaN (например, с ). В Ява стандарт то .NET Framework метод , и Python также лечить 0 в качестве 1. Некоторые языки документируют, что их операция возведения в степень соответствует функция от Математическая библиотека C; это случай с Lua и Perlс оператор (где прямо указано, что результат зависит от платформы).

Математическое и научное программное обеспечение

APL[нужна цитата], р, Stata[нужна цитата], SageMath[нужна цитата], Matlab[нужна цитата], Магма[нужна цитата], ЗАЗОР[нужна цитата], Единственное число[нужна цитата], PARI / GP, и GNU Octave[нужна цитата] оценивать Икс к 1. Mathematica и Macsyma[нужна цитата] упрощать Икс к 1 даже если на Икс; однако, если вводится напрямую, это рассматривается как ошибка или неопределенность. SageMath[нужна цитата] не упрощает 0Икс. Клен[нужна цитата], Mathematica и PARI / GP далее различать целочисленные значения и значения с плавающей запятой: если показатель степени равен нулю целочисленного типа, они возвращают 1 типа основания; возведение в степень с показателем с плавающей запятой, равным нулю, рассматривается как неопределенное, неопределенное или ошибочное.

Соглашение 00 = 1: аргументация сторонников[править | править код]

Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что {\displaystyle 0^{0}} равно 1. В пользу подобного варианта приводятся несколько доводов. Например, разложение в ряд экспоненты:

ex=1+∑n=1∞xnn!{\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}

можно записать короче, если принять =1{\displaystyle 0^{0}=1}:

ex=∑n=∞xnn!{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}

(рассматриваемое соглашение используется при x=, n={\displaystyle x=0,\ n=0}).

Если 0 относить к натуральным числам, то возведение в натуральную степень можно определить так:

an=1⋅a⋅a⋅…⋅a⏟n,{\displaystyle a^{n}=1\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n},}

и тогда возведение любого числа (в том числе нуля) в нулевую степень будет давать 1.

Другое обоснование соглашения =1{\displaystyle 0^{0}=1} опирается на «Теорию множеств» Бурбаки: число различных отображений n-элементного множества в m-элементное равно mn,{\displaystyle m^{n},} при m=n={\displaystyle m=n=0} получаем отображение пустого множества в пустое, а оно единственно. Разумеется, это нельзя считать доказательством (соглашения не нуждаются в доказательствах), тем более что в самой теории множеств соглашение =1{\displaystyle 0^{0}=1} не используется.

В любом случае соглашение =1{\displaystyle 0^{0}=1} чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке. Пример для аналитических вычислений: выражение (a−1t)t,{\displaystyle (a^{-1/t})^{t},} где a{\displaystyle a} — произвольное положительное вещественное число. При t→{\displaystyle t\to 0} мы получаем неопределённость типа ,{\displaystyle 0^{0},} и, если не отличать предельную форму {\displaystyle 0^{0}} (где каждый из нулей обозначает стремление к нулю) и значение {\displaystyle 0^{0}} (где каждый из нулей и есть ноль), можно ошибочно посчитать, что предел равен 1. На самом деле данное выражение тождественно равно a−1.{\displaystyle a^{-1}.} Это означает, что бесконечно малая в бесконечно малой степени может в пределе дать любое значение, не обязательно единицу. Аналогичные ошибки могут быть сделаны, если использовать соглашение в алгебраических преобразованиях.

Степень с натуральным показателем, квадрат числа, куб числа

Для начала дадим определение степени числа с натуральным показателем. Забегая вперед, скажем, что определение степени числа a с натуральным показателем n дается для действительного числа a, которое будем называть основанием степени, и натурального числа n, которое будем называть показателем степени. Также отметим, что степень с натуральным показателем определяется через произведение, так что для понимания нижеизложенного материала нужно иметь представление об умножении чисел.

Определение.

Степень числа a с натуральным показателем n – это выражение вида an, значение которого равно произведению n множителей, каждый из которых равен a, то есть, .В частности, степенью числа a с показателем 1 называется само число a, то есть, a1=a.

Из данного определения понятно, что с помощью степени с натуральным показателем можно кратко записывать произведения нескольких одинаковых множителей. Например, 8·8·8·8 можно записать как степень 84. Это аналогично тому, как с помощью произведения записывается сумма одинаковых слагаемых, к примеру, 8+8+8+8=8·4 (смотрите статью общее представление об умножении натуральных чисел).

Сразу стоит сказать о правилах чтения степеней. Универсальный способ чтения записи an таков: «a в степени n». В некоторых случаях также допустимы такие варианты: «a в n-ой степени» и «n-ая степень числа a». Для примера возьмем степень 812, это «восемь в степени двенадцать», или «восемь в двенадцатой степени», или «двенадцатая степень восьми».

Вторая степень числа, а также третья степень числа имеют свои названия. Вторую степень числа называют квадратом числа, например, 72 читается как «семь в квадрате» или «квадрат числа семь». Третья степень числа называется кубом числа, к примеру, 53 можно прочитать как «пять в кубе» или сказать «куб числа 5».

Пришло время привести примеры степеней с натуральными показателями. Начнем со степени 57, здесь 5 – основание степени, а 7 – показатель степени. Приведем еще пример: десятичная дробь 4,32 является основанием, а натуральное число 9 – показателем степени (4,32)9.

Обратите внимание, что в последнем примере основание степени 4,32 записано в скобках: чтобы избежать разночтений мы будем брать в скобки все основания степени, которые отличны от натуральных чисел. В качестве примера приведем следующие степени с натуральными показателями , их основания не являются натуральными числами, поэтому они записаны в скобках

Ну и для полной ясности в этом моменте покажем разницу, заключенную в записях вида (−2)3 и −23. Выражение (−2)3 – это степень отрицательного числа −2 с натуральным показателем 3, а выражение −23 (его можно записать как −(23)) соответствует числу, противоположному значению степени 23.

Заметим, что встречается обозначение степени числа a с показателем n вида a^n. При этом, если n – многозначное натуральное число, то показатель степени берется в скобки. Например, 4^9 – это другая запись степени 49. А вот еще примеры записи степеней при помощи символа «^»: 14^(21), (−2,1)^(155). В дальнейшем мы преимущественно будем пользоваться обозначением степени вида an.

Данное выше определение позволяет находить значение степени с натуральным показателем. Для этого нужно вычислить произведение n одинаковых множителей, равных a. Эта тема заслуживает детального рассмотрения в отдельной статье – смотрите возведение в степень с натуральным показателем.

Одной из задач, обратной возведению в степень с натуральным показателем, является задача нахождения основания степени по известному значению степени и известному показателю. Эта задача приводит к понятию корня из числа.

Также стоит изучить свойства степени с натуральным показателем, которые вытекают из данного определения степени и свойств умножения.

Возведение в степень отрицательного числа

Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым
числом — положительным, отрицательным или нулём.

Запомните!

При возведении в степень положительного числа
получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться
как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или
нечётным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.

Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень,
то получается отрицательное число. Так как произведение
нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число.
Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

Запомните!

Отрицательное число, возведённое в
чётную степень, есть число
положительное.

Отрицательное число, возведённое в
нечётную степень, — число
отрицательное.

Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть: при любом .

Обратите внимание!

При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи
и
это разные выражения. Результаты возведения
в степень данных выражений будут разные.

Вычислить означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.

В то время как найти «» означает, что пример нужно решать в 2 действия:

  1. Возвести в четвёртую степень положительное число .
  2. Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить
    действие вычитание).

Пример. Вычислить:

Раскрытие неопределенностей

Действиями, связанными с делением на 0, занимается один из разделов высшей математики — математический анализ. В нем используется такое понятие, как бесконечность (бесконечно большая величина). Одно из ее определений — это предел, к которому стремится выражение а/Х при Х, стремящемся к нулю. Здесь а — любое ненулевое действительное число. Если в этом выражении уменьшать значение X, то результат будет увеличиваться, пока, в конце концов, не подойдет к бесконечности. С этой величиной можно делать различные математические действия:

  • прибавлять любые числа;
  • вычитать числа, не равные бесконечности;
  • умножать на значения, не равные 0 и бесконечности;
  • возводить в степень, не равную 0.

В результате получится бесконечность. Следующие выражения дают в результате полную неопределенность:

  • бесконечность минус бесконечность;
  • бесконечность умножить на 0;
  • бесконечность разделить на бесконечность;
  • ноль разделить на ноль;
  • ноль умножить на бесконечность;
  • ноль в нулевой степени;
  • бесконечность в степени ноль;
  • единица в степени бесконечность.

Над нулем можно проделывать все арифметические операции. Единственное ограничение — он не может быть делителем для любого действительного числа. Результатом деления ненулевого числа на ноль в высшей математике считается бесконечность, а деление нуля на ноль дает неопределенность. В арифметике подобные действия считаются невозможными и бессмысленными.

Порядок действий в примерах со степенями

Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

Запомните!

В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют
вовзведение в степень, затем умножение и деление, а в
конце сложение и вычитание.

Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках,
а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Пример. Вычислить:

Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться
таблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.

Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором
«Возведение в степень онлайн».

История

Как ценность

В 1752 году Эйлер в Introductio in analysin infinitorum написал, что a = 1, и прямо упомянул, что 0 = 1 . Аннотация, приписываемая Маскерони в издании 1787 года книги Эйлера Institutiones Calculi Differentialis, предлагает «обоснование»

знак равно(а-а)п-пзнак равно(а-а)п(а-а)пзнак равно1{\ displaystyle 0 ^ {0} = (aa) ^ {nn} = {\ frac {(aa) ^ {n}} {(aa) ^ {n}}} = 1}

Либри0 = 1

Как ограничивающая форма

Эйлер, устанавливая 0 = 1 , упомянул, что, следовательно, значения функции 0 x совершают «огромный скачок» от ∞ для x <0 до 1 при x = 0 и до при x > 0 . В 1814 году Пфафф использовал аргумент теоремы сжатия, чтобы доказать, что x x → 1 при x → 0 + .

С другой стороны, в 1821 году Коши объяснил, почему предел x y, когда положительные числа x и y приближаются к , будучи ограниченным каким-то фиксированным соотношением, можно было заставить принять любое значение между и ∞ , выбрав соотношение соответствующим образом. Он сделал вывод , что предел полного двух переменных функция х у без заданного ограничения является «неопределенным». С этим оправданием он перечислил 0 вместе с такими выражениями, какв .

По-видимому, не зная о работе Коши, Мёбиус в 1834 году, основываясь на аргументе Пфаффа, неверно утверждал, что f ( x ) g ( x ) → 1 всякий раз, когда f ( x ), g ( x ) → 0, когда x приближается к числу c (предположительно, f равно предполагается положительным вдали от c ). Мебиус свел к случаю c = 0 , но затем сделал ошибку, предположив, что каждое из f и g может быть выражено в форме Px n для некоторой непрерывной функции P, не обращающейся в нуль в 0, и некоторого неотрицательного целого числа n , что верно для аналитических функции, но не в целом. Анонимный комментатор указал на необоснованный шаг; затем другой комментатор, подписавший свое имя просто как «S», представил явные контрпримеры ( e −1 / x ) xe −1 и ( e −1 / x ) 2 xe −2 как x → 0 + и выразил ситуации, написав, что « 0 может иметь много разных значений».

Текущая ситуация

  • Некоторые авторы определяют 0 как 1, потому что это упрощает многие утверждения теорем. Согласно Бенсон (1999), «Выбор ли определить 0 основан на удобстве, а не на правильность. Если мы воздерживаемся от определения 0 , то некоторые утверждения становятся излишне неуклюжим. … Консенсус использовать определение 0 = 1 , хотя есть учебники, которые воздерживаются от определения 0 ». Кнут (1992) утверждает , что более сильно 0 « должен быть 1 »; он проводит различие между значением 0 , которое должно быть равно 1 , и предельной формой 0 (сокращение для предела f ( t ) g ( t ), где f ( t ), g ( t ) → 0 ), что является неопределенной формой: «И Коши, и Либри были правы, но Либри и его защитники не понимали, почему правда на их стороне».
  • Другие авторы оставляют 0 неопределенным, потому что 0 — неопределенная форма: f ( t ), g ( t ) → 0 не влечет f ( t ) g ( t ) → 1 .

Похоже, что нет авторов, присваивающих 0 конкретное значение, кроме 1.

Вывод

Если мы находимся в рамках алгебры, простых арифметических вычислений, теории множеств, комбинаторики, находим суммы рядов, то без проблем можем считать это равным единице, и это во многих случаях будет даже упрощать наши вычисления.

Но в общем случае, особенно в рамках математического анализа, при вычислении пределов, говорят, что значение 0 в степени 0 – не определено. Его не существует, вот и все. И вообще, это только одна из многих неопределенностей, возникающих в матане, которая разрешается по-своему в каждом конкретном случае.

Так что чему равняется 0 в степени 0 зависит от контекста. Во многих случаях можно считать это единицей, но нужно помнить, что не во всех! И в разных языках программирования, разных калькуляторах тоже может быть по-разному. Где-то один, где-то не определено. В любом случае, практического применения у этого выражения нет, поэтому математики особо от него не страдают, хоть и иногда спорят, считать 0 в степени 0 равным единице, или нет. Но это не мешает быть ему таким интересным.