Онлайн калькулятор для работы с комплексными числами

Показательная форма комплексного числа:

Символом $e^{i\varphi}$ обозначается комплексное число $\cos\varphi+i\sin\varphi.$ С помощью этого обозначения всякое комплексное число $z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ может быть представлено в показательной форме $$z=|z|e^{i\varphi}.$$

Примеры.

Представить в показательной форме следующие комплексные числа:

1.475. $\frac{7+24i}{5}.$

Решение. 

Приведем число $z=\frac{7+24i}{5}$ к алгебраическому виду:

$$z=x+iy=\frac{7+24i}{5}=\frac{7}{5}+\frac{24}{5}i.$$

$$|z|=\sqrt{\left(\frac{7}{5}\right)^2+\left(\frac{24}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{49+576}{25}}=\sqrt{\frac{625}{25}}=\sqrt{25}=5.$$

$$tg\varphi=\frac{y}{x}=\frac{\frac{24}{5}}{\frac{7}{5}}=\frac{24}{7}.$$ Поскольку число $z$ принадлежит первой четверти, то $\varphi=arctg\frac{24}{7}.$

Таким образом, $z=5e^{i arctg\frac{24}{7}}.$

Ответ: $z=5e^{i arctg\frac{24}{7}}.$

  {jumi}

1.479. $\sin\alpha-i\cos\alpha.$

Решение.

$$z=x+iy=\sin\alpha-i\cos\alpha\Rightarrow \,\,x=\sin\alpha,\,\,y=-cos\alpha.$$

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=1.$$

$$tg\varphi=\frac{y}{x}=\frac{-\cos\alpha}{\sin\alpha}=-ctg\alpha=tg(\alpha+\frac{\pi}{2})=tg(\alpha+\frac{3\pi}{2}).$$

Кроме этого должны выполняться условия

$$\cos\varphi=\frac{x}{|z|}=\sin\alpha;\qquad \sin\varphi=\frac{y}{|z|}=\cos\alpha.$$

Отсюда находим

$$\varphi=\alpha+\frac{3\pi}{2}.$$

Таким образом, $$z=\sin\alpha-i\cos\alpha=e^{i\left(\alpha+\frac{3\pi}{2}\right)}.$$

Ответ: $e^{i\left(\alpha+\frac{3\pi}{2}\right)}.$

1.482 (а). Данные числа $z_1$ и $z_2$ представить в показательной форме и выполнить указанные действия над ними:

$z_1z_2;$ $\frac{z^2_1}{z_2},$ если $z_1=2\sqrt 3-2i,$ $z_2=3-3\sqrt 3i.$

Решение.

Запишем числа $z_1$ и $z_2$ в показательной форме:

$$|z_1|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(2\sqrt 3)^2+(-2)^2}=\sqrt{16}=4.$$

$$tg\varphi=\frac{y}{x}=\frac{-2}{2\sqrt 3}=-\frac{1}{\sqrt 3}.$$

Поскольку число $z_1$ принадлежит четвертой четверти, то $\varphi_1=arctg{-\frac{1}{\sqrt 3}}=-\frac{\pi}{6}.$

Отсюда $$z_1=4e^{-i\frac{\pi}{6}}.$$

$$|z_2|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{3^2+(-3\sqrt 3)^2}=\sqrt{36}=6.$$

$$tg\varphi=\frac{y}{x}=\frac{-3\sqrt 3}{3}=-\sqrt 3.$$

Поскольку число $z_2$ принадлежит четвертой четверти, то $\varphi_2=arctg{\sqrt 3}=-\frac{\pi}{3}.$

Отсюда $$z_2=6e^{-i\frac{\pi}{3}}.$$

Далее находим $z_1z_2$ и $\frac{z^2_1}{z_2}:$

$$z_1z_2=4e^{-i\frac{\pi}{6}}6e^{-\frac{\pi}{3}}=24e^{i\left(\frac{-\pi}{6}-\frac{\pi}{3}\right)}=24e^{-i\frac{\pi}{2}}=$$

$$=24\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=24(0-1)=-24.$$ 

$$\frac{z^2_1}{z_2}=\frac{(4e^{-i\frac{\pi}{6}})^2}{6e^{-\frac{\pi}{3}}}=\frac{16}{6}e^{i\left(\frac{-2\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{8}{3}e^{i\cdot 0}=\frac{8}{3}.$$

Ответ: $-24, \frac{8}{3}.$

Домашнее задание.

Следующие комплексные числа представить в тригонометрической форме и изобразить точками на комплексной плоскости:

1.436. $1-i\sqrt 3.$

Ответ: $2\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right).$

1.437. $-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}.$

Ответ: $\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}.$

1.440. $\sin\frac{\pi}{3}+i\cos\frac{\pi}{3}.$

Ответ: $\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}.$

Представить в показательной форме следующие комплексные числа:

1.476. $5-12i.$

Ответ: $13e^{-i arctg\left(-\frac{12}{5}\right)}.$

1.477. $-3-4i.$

Ответ:  $5e^{i arctg\left(\frac{4}{3}+\pi\right)}.$

1.479.$\sin\alpha-i\cos\alpha.$

Ответ:  $e^{i \left(\alpha+\frac{3\pi}{2}\right)}.$

1.480. $\sin\alpha+i(1-\cos\alpha).$

Ответ:  $2\sin\frac{\pi}{2}e^{i \frac{\alpha}{2}}.$

1.482 (б). Данные числа $z_1$ и $z_2$ представить в показательной форме и выполнить указанные действия над ними:

$z^2_1\overline z_2;$ $\frac{\overline z_2}{z_1},$ если $z_1=-\sqrt 3+i\sqrt 2,$ $z_2=\sqrt 8-\sqrt 8.$

Ответ:  $16e^{i\frac{7\pi}{4}}; 2e^{-i\frac{\pi}{2}}.$

Извлечение корня.

Рассмотрим уравнение
$$
z^n=a,\label{ref22}
$$
где \(a\neq 0\) — комплексное число, \(n\) — натуральное число.

Если \(z=re^{i\varphi}, \ a=\rho e^{i\theta}\), то уравнение \eqref{ref22} примет вид
$$
r^n e^{in\varphi}=\rho e^{i\theta},\nonumber
$$
откуда
$$
r^n=\rho,\quad n\varphi=\theta+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},\nonumber
$$
и поэтому
$$
r=\sqrt{\rho},\qquad \varphi_k=\frac{1}{n}(\theta+2k\pi),\quad k\in \mathbb{Z},\label{ref23}
$$
то есть числа
$$
z_k=\sqrt{\rho}e^{i\varphi_k}\label{ref24}
$$
являются корнями уравнения \eqref{ref22} и других корней это уравнение не имеет.

Заметим, что числа \(z_0,\ z_1,\ …,\ z_{n-1}\) различны, так как их аргументы \(\displaystyle\varphi_0=\frac{\theta}{n},\ \varphi_1=\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi}{n},\ …,\ \varphi_{n-1}=\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi(n-1)}{n}\) различны и отличаются друг от друга меньше, чем на \(2\pi\). Далее, \(z_n = z_0\), так как \(|z_n| = |z_0|=\displaystyle\sqrt{\rho}\) и \(\varphi_n=\varphi_0+2\pi\). Аналогично, \(z_{n+1} = z_1,\ z_{-1} = z_{n-1}\) и т. д.

Итак, при \(a\neq 0\) уравнение \eqref{ref22} имеет ровно \(n\) различных корней, определяемых формулами \eqref{ref23} и \eqref{ref24}, где \(k=0,1,…,n-1\).

На комплексной плоскости точки \(z_k\ (k=\overline{0,n-1})\) располагаются в вершинах правильного \(n\)-угольника, вписанного в окружность радиуса \(\displaystyle \sqrt{\rho}\) с центром в точке 0.

Пример 5.

Найти все корни уравнения \(z^4 = 1 + i\).

\(\triangle\) Корни \(z_k\ (k = \overline{0,3})\) этого уравнения определяются формулами \eqref{ref23} и \eqref{ref24}, где \(\displaystyle \rho=|1 + i| =\sqrt{2},\ \theta=\frac{\pi}{4}\), то есть
$$
z_k=\sqrt{2}e^{i\varphi_k},\nonumber
$$
где
$$
\varphi_k=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{2},\quad k=0,1,2,3.\nonumber
$$

Рис. 31.6

Точки \(z_k\) располагаются в вершинах квадрата (рис. 31.6). \(\blacktriangle\)

Основные действия с комплексными числами

Основными операциями, определёнными для комплексных чисел, являются сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:

  • сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  • вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i
  • умножение: (a + bi) · (c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac — bd) + (bc + ad)i
  • деление:
    a + bi
    c + di
    =
    (a + bi)(c — di)
    c2 + d2
    =
    (ac + bd)
    c2 + d2
    +
    (bc — ad)
    c2 + d2
    i

Примеры

Найти сумму чисел и :
Найдём отдельно суммы действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5.5 = 10.5, im = 7 — 2 = 5.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 10.5 + 5i
Полученное число и будет ответом: + =

Найти разность чисел и :
Найдём отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 12 + 1i
Полученное число и будет ответом: — =

Найти произведение чисел и :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = 2·5 — 3·(-7) = 31, im = 3·5 + 2·(-7) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 31 + 1i
Полученное число и будет ответом: * =

Найти отношение чисел и :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = (75·3 — 50·4) / 25 = 1, im = (-50·3 — 75·4) / 25 = -18.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 1 — 18i
Полученное число и будет ответом: / =

Формы представления комплексных чисел

Комплексные числа принято представлять в одной из трёх следующих форм: алгебраической, тригонометрической и показательной.

  • Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, запись числа в виде суммы действительной и мнимой частей: , где x — действительная часть, а y — мнимая часть
  • Тригонометричкая форма — запись вида , где r — модуль комплексного числа (r = |z|), а φ — аргумент этого числа (φ = arg(z))
  • Показательная форма — запись вида , где r — модуль комплексного числа (r = |z|), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg(z))

Пример:

Переведите число 1+i в тригонометрическую и показательную формы:

Решение:

  • Найдём радиус (модуль) комплексного числа r: r = √(12 + 12) = √2
  • Найдём аргумент числа: φ = arctan(
    1
    1
    ) =
    π
    4
    = 45°
  • Запишем результат в тригонометрической форме:
  • Запишем результат в показательной форме:

Мир математики

Достойный внимания сайт, предоставляющий после полученного ответа подробные пояснения. Работать с ним также очень легко:

вводите условия в соответствующие поля;

  • выбираете нужное действие;
  • после нажатия на выбранную операцию будет начато вычисление и выдан результат.

Здесь вы найдете при необходимости подробную инструкцию для работы, так что точно не запутаетесь. Доступны разные варианты вычислительных сервисов, к примеру, матричный, инженерный и прочие.

Полезный контент:

  • Формат heic, чем открыть, что это такое?
  • Перевод с английского на русский с транскрипцией — лучшие онлайн сервисы
  • Видеодрайвер перестал отвечать и был восстановлен — что за ошибка?
  • Запись видео с экрана компьютера — какие программы в этом помогут?
  • Караоке онлайн петь бесплатно с баллами — какие сервисы в этом помогут

Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Комплексная плоскость.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число \(z=x+iy\) изображается точкой плоскости с координатами \((x,y)\), и эта точка обозначается той же буквой \(z\).

Такое соответствие между множеством \(\mathbb{C}\) и точками плоскости является взаимно однозначным: каждому числу \(z\in\mathbb{C}\) соответствует одна точка плоскости с координатами \((x,y)\), и наоборот, каждой точке плоскости с координатами \((x,y)\) соответствует одно комплексное число \(z=x+iy\). Поэтому слова “комплексное число” и “точка плоскости” часто употребляются как синонимы.

При этом действительные числа, то есть числа вида \(x+0\cdot i\), изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые числа, то есть числа вида \(iy = 0 + iy\) — точками оси ординат. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью, а ось ординат — мнимой осью. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют комплексной плоскостью.

Рис. 31.1

На рис. 31.1 изображены точки \(z,\ -z,\ \overline{z},\ -\overline{z}\). Отметим, что точки \(z\) и \(-z\) симметричны относительно точки \(O\), а точки \(z\) и \(\overline{z}\) симметричны относительно действительной оси.

Геометрический смысл модуля комплексного числа.

Комплексное число \(z=x+iy\) можно изображать вектором с началом в точке \(O\) и концом в точке \(z\). Этот вектор будем обозначать той же буквой \(z\). Из рис. 31.1 или из формулы \eqref{ref4} видно, что длина вектора \(z\) равна \(|z|\) и справедливы неравенства \(|x|\leq |z|,\ |y|\leq |z|\), то есть
$$
|Re\ z|\leq |z|,\quad |Im\ z|\leq |z|.\nonumber
$$

Рис. 31.2Рис. 31.3

С помощью векторной интерпретации наглядно иллюстрируются сумма и разность комплексных чисел. Число \(z_1+z_2\) изображается вектором, построенным по правилу сложения векторов \(z_1\) и \(z_2\), а вектор \(z_1-z_2\) можно построить как сумму векторов \(z_1\) и \(-z_2\). Из рис. 31.2 видно, что расстояние между точками \(z_1\) и \(z_2\) равно длине вектора \(z_1-z_2\), то есть равно \(|z_1-z_2|\). Это же утверждение следует из равенства
$$
|z_1-z_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.\nonumber
$$
Итак, \(|z_1-z_2|\) — расстояние между точками \(z_1\) и \(z_2\).

Пример 2.

Дать геометрическое описание множества всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:

  1. \(|z-z_0| = R,\ R > 0\);
  2. \(1 < |z-1| < 2\);
  3. \(|z-i| = |z + i|\).
  1. \(\triangle\) Условию \(z-z_0=R\), где \(R > 0\), \(z_0\) — заданное комплексное число, удовлетворяют все точки, расстояние от которых до точки \(z_0\) равно \(R\), то есть точки, лежащие на окружности радиуса \(R\) с центром в точке \(z_0\).
  2. Условию \(|z-1| < 2\) удовлетворяют все точки, лежащие внутри круга радиуса 2 с центром в точке \(z = 1\), а условию \(|z-1| > 1\) — точки, лежащие вне круга радиуса 1 с центром в точке \(z = 1\).
    Оба эти условия выполняются для точек, лежащих между окружностями  \(|z-1| = 1\) и  \(|z-1| = 2\) (рис. 31.3).
  3. Условию \(|z-i| = |z + i|\) удовлетворяют те и только те точки, которые равноудалены от точек \(i\) и \(-i\), то есть все точки действительной оси. \(\blacktriangle\)

Покажем, что для любых комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\) справедливы неравенства
$$
||z_1|-|z_2||\leq |z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|.\label{ref10}
$$

\(\circ\) Рассмотрим треугольник с вершинами \(0,\ z_1\) и \(z_1+z_2\) (рис. 31.2). Длины его сторон равны \(|z_1|,\ |z_2|\) и \(|z_1+z_2|\). Поэтому неравенства \eqref{ref10} выражают известные из геометрии свойства длин сторон треугольника. \(\bullet\)

Понятие комплексного числа

Прежде чем, мы перейдем к рассмотрению комплексных чисел, дам важный совет: не пытайтесь представить комплексное число «в жизни» – это всё равно, что пытаться представить четвертое измерение в нашем трехмерном пространстве.

Если хотите, комплексное число – это двумерное число. Оно имеет вид , где  и  – действительные числа,  – так называемая мнимая единица. Число  называется действительной частью () комплексного числа , число  называется мнимой частью () комплексного числа .

 – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами:  или переставить мнимую единицу:  – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке: 

Чтобы всё было понятнее, сразу приведу геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:
Как упоминалось выше, буквой  принято обозначать множество действительных чисел. Множество же комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой . Поэтому на чертеже следует поставить букву , обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Комплексная плоскость состоит из двух осей: – действительная ось – мнимая ось

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат (см. Графики и свойства элементарных функций). По осям нужно задать масштаб, отмечаем:

ноль;

единицу по действительной оси;

мнимую единицу  по мнимой оси.

Не нужно проставлять все значения: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… и .

Да чего тут мелочиться, рассмотрим чисел десять.

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:, , , , , , ,

По какому принципу отмечены числа на комплексной плоскости, думаю, очевидно – комплексные числа отмечают точно так же, как мы отмечали точки еще в 5-6 классе на уроках геометрии.
Рассмотрим следующие комплексные числа: , , . Вы скажете, да это же обыкновенные действительные числа! И будете почти правы. Действительные числа – это частный случай комплексных чисел. Действительная ось  обозначает в точности множество действительных чисел , то есть на оси сидят все наши «обычные» числа. Более строго утверждение можно сформулировать так: Множество действительных чисел  является подмножеством множества комплексных чисел .

Числа , ,  – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.

Числа , ,  – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .

В числах , , ,  и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не  чертят, потому что они сливаются с осями.

Комплекснозначные функции действительного переменного.

Если каждому значению \(t\in \) поставлено в соответствие комплексное число \(z=z(t)\), то говорят, что на отрезке \(\) задана комплекснозначная функция действительного переменного.

Пусть \(\operatorname{Re}z(t) = x(t),\ \operatorname{Im}z(t) = y(t)\), тогда \(z(t) = x(t)+iy(t)\). Функцию \(z(t)\) можно рассматривать как вектор-функцию \(z(t)=(x(t),y(t))\). Определения предела, непрерывности, производной для комплекснозначной функции аналогичны соответствующим определениям для вектор-функции.

Например, производная функции \(z(t) = x(t) + iy(t)\) определяется формулой
$$
z'(t) = x'(t) + iy'(t).\label{ref25}
$$
Следовательно, производная \(z'(t)\) существует, если существуют производные \(x'(t)\) и \(y'(t)\).

Применяя формулу \eqref{ref25} к функции \(e^{it}=\cos t+i\sin t\), получаем \((e^{it})’=-\sin t+i\cos t=i^2\sin t + i\cos t = i(\cos t + i\sin t)\), то есть
$$
(e^{it})’=i e^{it}.\label{ref26}
$$

Таким образом, формула для производной комплексной функции \(e^{it}\) имеет такой же вид, как и для функции \(e^{\alpha t}\), где \(\alpha\in\mathbb{R}\).

Определим теперь показательную функцию \(\displaystyle e^{(\alpha+i\beta)t}\), где \(\alpha,\beta\) — заданные действительные числа, \(t\) — действительное переменное. Функция \(f(t) = e^t\), где \(t\in\mathbb{R}\), удовлетворяет условию
$$
f(t_1)f(t_2) = f(t_1+t_2).\label{ref27}
$$

Аналогично функция \(e^{i\beta t}\), где \(\beta\in\mathbb{R}\), обладает свойством \eqref{ref27} в силу первого из равенств \eqref{ref18}.

Поэтому функцию    \(e^{(\alpha+i\beta)t}\) естественно определить так, чтобы для нее выполнялось условие \eqref{ref27}, то есть
$$
e^{(\alpha+i\beta)t}=e^{\alpha t}e^{i\beta t}.\nonumber
$$

Используя формулу \eqref{ref15}, отсюда находим
$$
e^{(\alpha+i\beta)t} = e^{\alpha t} (\cos \beta t+i\sin\beta t).\label{ref28}
$$
Применяя к функции \(e^{\lambda t}\), где \(\lambda=\alpha+i\beta\), правило дифференцирования \eqref{ref25}, легко показать, что
$$
(e^{\lambda t})=\lambda e^{\lambda t},\quad \lambda=\alpha+i\beta.\label{ref29}
$$

По аналогии с производной неопределенный интеграл от комплекснозначной функции \(z(t)=x(t)+iy(t)\) определяется формулой
$$
\int z(t) dt = \int x(t) dt + i\int y(t) dt.\nonumber
$$

Если комплексная функция \(\omega(t) = \xi(t) + i\eta (t)\) такова, что \(\omega'(t)=z(t)\), то
$$
\int z(t)=\int \omega'(t)dt=\int \xi'(t)dt+i\int \eta'(t)dt = \xi(t) + C_1 + i\eta(t)+iC_2.\nonumber
$$
Следовательно,
$$
\int z(t) dt = \omega(t) + C,\quad C = C_1+iC_2.\nonumber
$$
Применяя это утверждение к функции \(e^{(\alpha+i\beta)t}\) и используя формулу \eqref{ref29}, получаем
$$
\int e^{(\alpha+i\beta)t}=\displaystyle \frac{e^{(\alpha+i\beta)t}}{\alpha+i\beta}+C_1+iC_2.\label{ref30}
$$

Выделяя в равенстве \eqref{ref30} действительные и мнимые части, находим
$$
\int e^{\alpha t}\cos\beta t dt + i\int e^{\alpha t}\sin\beta t dt = \frac{\alpha-i\beta}{\alpha^2+\beta^2}e^{\alpha t}(\cos\beta t+i\sin\beta t)+C_1+C_2,\nonumber
$$
откуда получаем
$$
\int e^{\alpha t}\cos\beta t dt=\frac{e^{\alpha t}}{\alpha^2+\beta^2}(\alpha\cos\beta t+\beta\sin\beta t)+C_1,\label{ref31}
$$
$$
\int e^{\alpha t}\sin\beta t dt=\frac{e^{\alpha t}}{\alpha^2+\beta^2}(\alpha\sin\beta t-\beta\cos\beta t)+C_2,\label{ref32}
$$

Заметим, что формула \eqref{ref31} была получена с помощью в .

Комплексные числа — простое объяснение

Для того, чтобы разобраться с комплексными числами, следует для начала рассмотреть множество действительных чисел. К этому множеству относятся целые числа, и дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой прямой обязательно соответствует некоторое действительное число.

Рассмотрим две точки на прямой А = 1 и Б = 2. Сложим эти две точки. Их сумма эта третья точка В = 1+2 = 3.

Точки также можно перемножать. Посмотрим, например, как действует умножения на минус 2. Данное действие преобразует точку 1 в минус 2.  Если мы снова умножим на минус 2, то нужно будет повторить аналогичное передвижение на прямой, поменять стороны относительно начала координат и удвоить расстояние до него. В результате получим 4.

Умножение на минус 1 устроено просто. Каждая точка переходит в симметричную ей относительно начала координат. Другими словами нужно сделать пол оборота (повернуть на 180°). Повторение умножения на минус 1 приводит в исходное положение. Умножение на минус 1 переводит 1 в минус 1. Если еще раз умножить на минус 1, мы вернемся обратно в 1.

На данном этапе можно выделить правило, что если умножить число на себя, результат всегда будет положительным. Другими словами минус 1 не имеет квадратного корня. Но только не в случае с комплексными числами.

В начале 19 века Робер Арган высказал следующую идею. Поскольку умножить на минус 1 означает повернуть на 180°, то квадратный корень из минус 1 означает повернуть на половину (90°). Если повернуть дважды на четверть оборота, вы сделаете пол оборота. Квадрат четверти оборота — это пол оборота (минус 1). То есть квадратный корень из минус 1 отвечает точке, в которую минус 1 переходит при повороте на 90°. Поскольку такое построение, выходящее за пределы горизонтальной прямой, выглядит странным, говорят, что такая точка, являющаяся квадратным корнем из минус 1 — это мнимое число. И в математике оно обозначается — i.

Аргумент комплексного числа

      Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа   z.

      Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором    z.

      Аргумент комплексного числа  z  считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к  радиус-вектору z  происходит против часовой стрелки, и отрицательным  — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

      Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

      Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где  k  — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента, обозначаемое   arg z   и удовлетворяющее неравенствам:

      Тогда оказывается справедливым равенство:

      Если для комплексного числа   z = x + i y   нам известны его модуль   r = | z | и его аргумент φ, то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

(3)

      Если же комплексное число   z = x + i y   задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа   x   и   y,   то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

      Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом  k  обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

      Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа   z = x + i y

Расположениечисла  z Знаки x и y Главное значение аргумента Аргумент Примеры
Положительная вещественнаяполуось

x > 0 ,

y = 0

φ = 2kπ

x > 0 ,

y > 0

Положительнаямнимаяполуось

x = 0 ,

y > 0

x < 0 ,

y > 0

Отрицательнаявещественнаяполуось

x < 0 ,

y = 0

π φ = π + 2kπ

x < 0 ,

y < 0

Отрицательнаямнимаяполуось

x = 0 ,

y < 0

x > 0 ,

y < 0

Расположениечисла  z Положительнаявещественнаяполуось
Знаки x и y

x > 0 ,

y = 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент φ = 2kπ
Примеры
Расположениечисла  z  
Знаки x и y

x > 0 ,

y > 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры
Расположениечисла  z Положительнаямнимаяполуось
Знаки x и y

x = 0 ,

y > 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры
Расположениечисла  z  
Знаки x и y

x < 0 ,

y > 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры
Расположениечисла  z Отрицательнаявещественнаяполуось
Знаки x и y

x < 0 ,

y = 0

Главноезначениеаргумента π
Аргумент φ = π + 2kπ
Примеры
Расположениечисла  z  
Знаки x и y

x < 0 ,

y < 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры
Расположениечисла  z Отрицательнаямнимаяполуось
Знаки x и y

x = 0 ,

y < 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры
Расположениечисла  z  
Знаки x и y

x < 0 ,

y < 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположение числа   z :

Положительная вещественная полуось

Знаки x и y :

x > 0 ,   y = 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

φ = 2kπ

Примеры:

Расположение числа   z :

Знаки x и y :

x > 0 ,   y > 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Положительная мнимая полуось

Знаки x и y :

x = 0 ,   y > 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Знаки x и y :

x < 0 ,   y > 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Отрицательная вещественная полуось

Знаки x и y :

x < 0 ,   y = 0

Главное значение аргумента:

π

Аргумент:

φ = π + 2kπ

Примеры:

Расположение числа   z :

Знаки x и y :

x < 0 ,   y < 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Отрицательная мнимая полуось

Знаки x и y :

x = 0 ,   y < 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Знаки x и y :

x < 0 ,   y < 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Свойства операций.

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:

  1. коммутативности, то есть
    $$
    z_1+z_2=z_2+z_1,\qquad z_1z_2=z_2z_1;\nonumber
    $$
  2. ассоциативности, то есть
    $$
    (z_1+z_2)+z_3= z_1 + (z_2+z_3),\qquad (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3);\nonumber
    $$
  3. дистрибутивности, то есть
    $$
    z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2+z_1z_3.\nonumber
    $$

Эти свойства вытекают из определения операций сложения и умножения комплексных чисел и свойств операций для вещественных чисел.

Из этих свойств следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами, заменяя \(i\) на \(-1\). Например, равенство \eqref{ref2} можно получить так:
$$
z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=\\=x_1 x_2+i x_1 y_2+ix_2 y_1+i^2 y_1 y_2=x_1x_2-y_1y_2+i(x_1 y_2+x_2 y_1).\nonumber
$$
Множество комплексных чисел обозначают буквой \(\mathbb{C}\). Числа \(0= 0 + 0\cdot i\) и \(1 = 1 + 0\cdot i\) на множестве \(\mathbb{C}\) обладают такими же свойствами, какие они имеют на множестве \(\mathbb{R}\), а именно: для любого \(z \in \mathbb{C}\) справедливы равенства
$$
z+ 0 = z,\qquad z\cdot 1 = z.\nonumber
$$
На множестве \(\mathbb{C}\) вычитание вводится как операция, обратная сложению. Для любых комплексных чисел \(z_1=_1+iy_1\) и \(z_2 = x_2 + iy_2\) существует, и притом только одно, число \(z\) такое, что
$$
z+z_2=z_1.\label{ref7}
$$
Это число называют разностью чисел \(z_1\) и \(z_2\) и обозначают \(z_1-z_2\). В частности, разность \(0 -z\) обозначают \(-z\).

Из уравнения \eqref{ref7} в силу правила равенства и определения суммы комплексных чисел следует, что
$$
z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2).\nonumber
$$

Деление на множестве \(\mathbb{C}\) вводится как операция, обратная умножению, а частным от деления комплексного числа \(z_1=_1+iy_1\) на число \(z_2 = x_2 + iy_2\) называют такое число \(z\), которое удовлетворяет уравнению
$$
zz_2=z_1\label{ref8}
$$
и обозначается \(z_1:z_2\) или \(\displaystyle \frac{z_1}{z_2}\).

Докажем, что уравнение \eqref{ref8} для любых комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\), где \(z_2\neq 0\), имеет единственный корень.

\(\circ\) Умножая обе части уравнения \eqref{ref8} на \(\overline{z}_2\), получим в силу равенства \eqref{ref6} уравнение
$$
z|z_2|^2 = z_1\overline{z}_2,\label{ref9}
$$
которое равносильно уравнению \eqref{ref8}, так как \(\overline{z}_2\neq 0\).

Умножая обе части \eqref{ref9} на \(\displaystyle\frac{1}{|z_2|^2}\), получаем \(z=\displaystyle\frac{z_1\overline{z}_2}{|z_2|^2}\), то есть
$$
\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\overline{z}_2}{|z_2|^2},\nonumber
$$
или
$$
\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{x_2^2+y_2^2}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}.\ \bullet\nonumber
$$

Эту формулу можно не запоминать — важно знать, что она получается умножением числителя и знаменателя на число, сопряженное со знаменателем. Пример 1

Пример 1.

Найти частное \(\displaystyle \frac{z_1}{z_2}\), если \(z_1=5-2i,\ z_2=3 + 4i\).

$$
\triangle\quad \frac{z_1}{z_2}=\frac{(5-2i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}=\frac{15-26i+8i^2}{25}=\frac7{25}-\frac{26}{25}i.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Определение комплексного числа.

Комплексными числами называют пары \((x,y)\) вещественных (действительных) чисел \(x\) и \(y\), для которых следующим образом определены понятие равенства и операции сложения и умножения.
Обозначим комплексное число \((x,y)\) буквой \(z\), то есть положим \(z=(x,y)\). Пусть \(z_1=(x_1,y_1)\), \(z_2=(x_2,y_2)\). Два комплексных числа \(z_1\) и \(z_2\) считаются равными тогда и только тогда, когда \(x_1=x_2\) и \(y_1=y_2\), то есть
$$
\{(x_1,y_1) = (x_2,y_2)\}\Leftrightarrow \{x_1=x_2\}\ \wedge\ \{y_1 = y_2\}.\nonumber
$$

Сумма и произведение комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\) обозначаются соответственно \(z_1+z_2\) и \(z_1z_2\) и определяются формулами
$$
z_1+z_2=(x_1+x_2,y_1+y_2),\label{ref1}
$$
$$
z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1).\label{ref2}
$$

Из формул \eqref{ref1} и \eqref{ref2} следуют соотношения
$$
(x_1,0) + (x_2,0) = (x_1+x_2,0),\qquad (x_1,0)(x_2,0) = (x_1x_2,0),\nonumber
$$
которые показывают, что операции над комплексными числами вида \((x, 0)\) совпадают с операциями над действительными числами. Поэтому комплексное число вида \((x, 0)\) отождествляют с действительным числом \(x\), то есть полагают \((x,0) = x\).

Среди комплексных чисел особую роль играет число \((0,1)\), которое называют мнимой единицей и обозначают \(i\), то есть
$$
i = (0,1).\nonumber
$$
Вычислив произведение \(i\) на \(i\) по формуле \eqref{ref2}, получим
$$
i\cdot i = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1,\nonumber
$$
то есть \(i^2 = -1\). Используя формулы \eqref{ref1}, \eqref{ref2}, находим
$$
i\cdot y = (0,1)(y,0) = (0,y),\qquad (x,y) = (x, 0) + (0,y) = x + iy.\nonumber
$$

Следовательно, любое комплексное число \(z= (x,y)\) можно записать в виде \(x + iy\), то есть
$$
z = x + iy.\label{ref3}
$$

Запись комплексного числа \(z = (x,y)\) в виде \eqref{ref3} называют алгебраической формой комплексного числа.

В записи \eqref{ref3} число \(x\) называют действительной частью комплексного числа и обозначают \(Re\ z\), а число \(y\) — мнимой частью и обозначают \(Im\ z\), то есть
$$
Re\ z = x,\quad Im\ z = y. \nonumber
$$

Если \(x= 0\), то есть \(z = iy\), то такое комплексное число называют чисто мнимым.

Здесь и всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, в записи \(x+iy\) числа \(x\) и \(y\) считаются действительными (вещественными).

Число \(\displaystyle\sqrt{x^2+y^2}\) обозначают \(|z|\) и называют модулем комплексного числа \(z\), то есть
$$
|z|=|x + iy|=\sqrt{x^2+y^2}.\label{ref4}
$$
Заметим, что \(|z|\geq 0\) и \(\{|z| = 0\}\Leftrightarrow \{z=0\}\).

Комплексное число \(x-iy\) называют сопряженным комплексному числу \(z = x + iy\) и обозначают \(\overline{z}\) то есть
$$
\overline{z} = \overline{x+iy}= x-iy.\label{ref5}
$$
Из равенств \eqref{ref4} и \eqref{ref5} следует, что
$$
|z| = |\overline{z}|,\qquad    z\overline{z}=|z|^2,\label{ref6}
$$
так как \(z\overline{z}=(x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2\).

Операции с комплексными числами

Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел. Например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше.

Сложение и вычитание комплексных чисел

Комплексные числа могут складываться и вычитаться как обычные.

Рассмотрим точку, обозначающую число 1+2i. Прибавим к нему число 3+1i. Можно сложить столбиком и получить 4+3i. Геометрически это обычное сложение векторов.

Разность комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, представляет собой комплексное число, действительная часть которого и коэффициент при мнимой части равны соответственно разности действительных частей и разности коэффициентов при мнимой части уменьшаемого и вычитаемого.

В общем виде вычитание комплексных чисел z1 = a+bi и z2 = c+di можно записать так: z1-z2 = (a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i.

Несколько примеров вычитания:

  • (5+9i)-(3+24i) = (5-3)+(9-24)i = 2-15i.
  • (-4+16i)-(11-8i) = (-4-11)+(16+8)i = -15+24i.

Умножение и деление комплексных чисел

Комплексные числа перемежаются точно также, как и действительные числа. Рассмотрим несколько примеров.

2×(1+1i) = 2+2i. Геометрически умножение на два выглядит как растягивание прямой с точкой на плоскости в два раза.

Умножать на i также не сложно. Известно, что i отвечает четверти оборота. Например, чтобы умножить 3+1i на i, достаточно повернуть точку на четверть оборота. Получаем -1+3i.

Умножим два комплексных числа 2+1,5i и -1+2,4i:

Сначала нужно умножить (-1+2,4 i) на два, затем на 1,5i. Далее складываются результаты. (2+1,5i)×(-1+2,4i) = 2(-1+2,4i)+1,5i(-1+2,4i) = -2+4,8i-1,5i+3,6×i×i. i в квадрате равно минус 1. Соответственно -2+4,8i-1,5i+3,6×i×i = -2+4,8i-1,5i-3,6 = -5,6+3,3i.

Частное комплексных чисел z1 = x1+y1i и z2 = x2+y2i в алгебраической форме находится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное число к знаменателю:

z1÷z2 = (x1+y1i)÷(x2+y2i) = ((x1+y1i)×(x2-y2i))÷((x2+y2i)×(x2-y2i)) = ((x1×x2+y1×y2)÷(x2²+y2²)) + (i×(x2×y1-x1×y2)÷(x2²+y2²)).

Рассмотрим пример деления -1+3i на 1+2i. Используя формулу для нахождения частного, получаем:

z1÷z2 = (-1+3i)÷(1+2i) = ((-1+3i)×(1-2i))÷((1+2i)×(1-2i)) = ((-1×1+3×2)÷(1²+2²))+(i×(3×1+(-1)×(-2))÷(1²+2²)) = 5÷5+i×5÷5 = 1+i.

Другие действия над комплексными числами

Помимо базовых операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:

  • Получение действительной части числа:
  • Получение мнимой части числа:
  • Модуль числа:
  • Аргумент числа:
  • Экспонента:
  • Логарифм:
  • Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
  • Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
  • Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctg z, arcctg z
  • Обратные гиперболические функции: arsh z, arch z, arth z, arcth z

Примеры

Найти действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 — 3i
Re(z) = Re(4 — 3i) = 4
Im(z) = Im(4 — 3i) = -3
|z| = √(42 + (-3)2) = √25 = 5