Просто о сложном: комплексные числа

Аргумент комплексного числа

      Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа   z.

      Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором    z.

      Аргумент комплексного числа  z  считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к  радиус-вектору z  происходит против часовой стрелки, и отрицательным  — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

      Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

      Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где  k  — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента, обозначаемое   arg z   и удовлетворяющее неравенствам:

      Тогда оказывается справедливым равенство:

      Если для комплексного числа   z = x + i y   нам известны его модуль   r = | z | и его аргумент φ, то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

(3)

      Если же комплексное число   z = x + i y   задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа   x   и   y,   то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

      Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом  k  обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

      Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа   z = x + i y

Расположениечисла  z Знаки x и y Главное значение аргумента Аргумент Примеры
Положительная вещественнаяполуось

x > 0 ,

y = 0

φ = 2kπ

x > 0 ,

y > 0

Положительнаямнимаяполуось

x = 0 ,

y > 0

x < 0 ,

y > 0

Отрицательнаявещественнаяполуось

x < 0 ,

y = 0

π φ = π + 2kπ

x < 0 ,

y < 0

Отрицательнаямнимаяполуось

x = 0 ,

y < 0

x > 0 ,

y < 0

Расположениечисла  z Положительнаявещественнаяполуось
Знаки x и y

x > 0 ,

y = 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент φ = 2kπ
Примеры
Расположениечисла  z  
Знаки x и y

x > 0 ,

y > 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры
Расположениечисла  z Положительнаямнимаяполуось
Знаки x и y

x = 0 ,

y > 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры
Расположениечисла  z  
Знаки x и y

x < 0 ,

y > 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры
Расположениечисла  z Отрицательнаявещественнаяполуось
Знаки x и y

x < 0 ,

y = 0

Главноезначениеаргумента π
Аргумент φ = π + 2kπ
Примеры
Расположениечисла  z  
Знаки x и y

x < 0 ,

y < 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры
Расположениечисла  z Отрицательнаямнимаяполуось
Знаки x и y

x = 0 ,

y < 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры
Расположениечисла  z  
Знаки x и y

x < 0 ,

y < 0

Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположение числа   z :

Положительная вещественная полуось

Знаки x и y :

x > 0 ,   y = 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

φ = 2kπ

Примеры:

Расположение числа   z :

Знаки x и y :

x > 0 ,   y > 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Положительная мнимая полуось

Знаки x и y :

x = 0 ,   y > 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Знаки x и y :

x < 0 ,   y > 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Отрицательная вещественная полуось

Знаки x и y :

x < 0 ,   y = 0

Главное значение аргумента:

π

Аргумент:

φ = π + 2kπ

Примеры:

Расположение числа   z :

Знаки x и y :

x < 0 ,   y < 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Отрицательная мнимая полуось

Знаки x и y :

x = 0 ,   y < 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Знаки x и y :

x < 0 ,   y < 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Извлечение корня.

Рассмотрим уравнение
$$
z^n=a,\label{ref22}
$$
где \(a\neq 0\) — комплексное число, \(n\) — натуральное число.

Если \(z=re^{i\varphi}, \ a=\rho e^{i\theta}\), то уравнение \eqref{ref22} примет вид
$$
r^n e^{in\varphi}=\rho e^{i\theta},\nonumber
$$
откуда
$$
r^n=\rho,\quad n\varphi=\theta+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},\nonumber
$$
и поэтому
$$
r=\sqrt{\rho},\qquad \varphi_k=\frac{1}{n}(\theta+2k\pi),\quad k\in \mathbb{Z},\label{ref23}
$$
то есть числа
$$
z_k=\sqrt{\rho}e^{i\varphi_k}\label{ref24}
$$
являются корнями уравнения \eqref{ref22} и других корней это уравнение не имеет.

Заметим, что числа \(z_0,\ z_1,\ …,\ z_{n-1}\) различны, так как их аргументы \(\displaystyle\varphi_0=\frac{\theta}{n},\ \varphi_1=\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi}{n},\ …,\ \varphi_{n-1}=\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi(n-1)}{n}\) различны и отличаются друг от друга меньше, чем на \(2\pi\). Далее, \(z_n = z_0\), так как \(|z_n| = |z_0|=\displaystyle\sqrt{\rho}\) и \(\varphi_n=\varphi_0+2\pi\). Аналогично, \(z_{n+1} = z_1,\ z_{-1} = z_{n-1}\) и т. д.

Итак, при \(a\neq 0\) уравнение \eqref{ref22} имеет ровно \(n\) различных корней, определяемых формулами \eqref{ref23} и \eqref{ref24}, где \(k=0,1,…,n-1\).

На комплексной плоскости точки \(z_k\ (k=\overline{0,n-1})\) располагаются в вершинах правильного \(n\)-угольника, вписанного в окружность радиуса \(\displaystyle \sqrt{\rho}\) с центром в точке 0.

Пример 5.

Найти все корни уравнения \(z^4 = 1 + i\).

\(\triangle\) Корни \(z_k\ (k = \overline{0,3})\) этого уравнения определяются формулами \eqref{ref23} и \eqref{ref24}, где \(\displaystyle \rho=|1 + i| =\sqrt{2},\ \theta=\frac{\pi}{4}\), то есть
$$
z_k=\sqrt{2}e^{i\varphi_k},\nonumber
$$
где
$$
\varphi_k=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{2},\quad k=0,1,2,3.\nonumber
$$

Рис. 31.6

Точки \(z_k\) располагаются в вершинах квадрата (рис. 31.6). \(\blacktriangle\)

10.3 Производная от функции комплексной переменной

Пусть задана функция . Говорят что у существует
производная в точке z, если существует

.

Определение.
Если имеет
производную в каждой точке области G, то она называется аналитической в области G.

Выясним геометрический смысл
производной. Рассмотрим на плоскости z бесконечно малый
отрезок, соединяющий точки z и Dz. Тогда длина этого отрезка есть |Dz|, а argDzесть угол, который этот отрезок образует с
осью OX(см. рис. 10.3).

Аналогично, на плоскости w бесконечно малый отрезок, соединяющий точки w и Dw. Тогда длина этого отрезка есть |Dw|, а argDwесть угол, который
этот отрезок образует с осью OU.

Рис. 10.3 Геометрический смысл
производной от функции комплексной переменной

А теперь вспомним, что , , так что . Тогда получим

.

Отсюда

.

Отношение есть отношение
длин отрезков и . Таким образом, есть коэффициент растяжения бесконечно
малого отрезка при его отображении с плоскости z на
плоскость w.

Далее, так как

,

то есть угол поворота бесконечно малого отрезка
при его отображении с плоскости z на плоскость w. Заметим, что этот угол поворота не зависит от , то есть от направления отрезка .

Комплексные числа стали ближе?

Мы пронеслись смерчем по моим базовым открытиям в области комплексных чисел. Посмотрите на самую первую иллюстрацию, теперь он должен стать более понятным.

Есть еще столько всего интересного в этих красивых, чудных числах, но мой мозг уже устал. Моя цель была проста:

  • Убедить вас в том, что комплексные числа только рассматривались как «сумасшествие», а на деле они могут быть очень полезными (точно как и отрицательные числа)
  • Показать, как комплексные числа могут упростить некоторые задачи вроде вращения.

Если я кажусь слишком озабоченным этой темой, то для этого есть причина. Мнимые числа годами были моей навязчивой идеей — недостаток понимания меня раздражал.

Сейчас я наконец-то дошел до этого долгожданного понимания, и мне не терпелось поделиться с вами. Но меня по-прежнему злит, что вы знакомитесь с этими замечательными, несложными приемами понимания в блоге какого-то безумного лунатика, а не в классе на уроке математики. Мы душим в себе вопросы и «пыхтим» над непонятными вещами, потому что не хотим искать, находить и делиться чистыми, абсолютно логичными объяснениями.

Но зажечь свечу лучше, чем пробираться сквозь кромешную тьму: вот мои мысли, и я уверен, что огонек зажжется и в умах моих читателей.

Члены

Функции

Имя Описание
Вычисляет модуль комплексного числа.
Извлекает аргумент из комплексного числа.
Возвращает комплексно-сопряженную величину комплексного числа.
Возвращает косинус комплексного числа.
Возвращает гиперболический косинус комплексного числа.
Возвращает экспоненциальную функцию комплексного числа.
Извлекает мнимую часть комплексного числа.
Возвращает натуральный логарифм комплексного числа.
Возвращает десятичный логарифм комплексного числа.
Извлекает норму комплексного числа.
Возвращает комплексное число, соответствующее указанному модулю и аргументу, в декартовой форме.
Вычисляет комплексное число, получаемое в результате возведения основания (комплексное число) в степень другого комплексного числа.
Извлекает вещественную часть комплексного числа.
Возвращает синус комплексного числа.
Возвращает гиперболический синус комплексного числа.
Возвращает квадратный корень комплексного числа.
Возвращает тангенс комплексного числа.
Возвращает гиперболический тангенс комплексного числа.

Операторы

Имя Описание
Проверяет на неравенство два комплексных числа, по крайней мере одно из которых может принадлежать к подмножеству типа для вещественной и мнимой частей.
Умножает два комплексных числа, по крайней мере одно из которых может принадлежать к подмножеству типа для вещественной и мнимой частей.
Складывает два комплексных числа, по крайней мере одно из которых может принадлежать к подмножеству типа для вещественной и мнимой частей.
Вычитает два комплексных числа, по крайней мере одно из которых может принадлежать к подмножеству типа для вещественной и мнимой частей.
Делит два комплексных числа, по крайней мере одно из которых может принадлежать к подмножеству типа для вещественной и мнимой частей.
Функция шаблона, вставляющая комплексное число в поток вывода.
Проверяет на равенство два комплексных числа, по крайней мере одно из которых может принадлежать к подмножеству типа для вещественной и мнимой частей.
Функция шаблона, извлекающая комплексное число из входного потока.

Классы

name Описание
В явном специализированном шаблоне класса описывается объект, хранящий упорядоченную пару объектов типа , где первый представляет реальную часть комплексного числа, а вторая — мнимую часть.
В явном специализированном шаблоне класса описывается объект, хранящий упорядоченную пару объектов типа , где первый представляет реальную часть комплексного числа, а вторая — мнимую часть.
В явном специализированном шаблоне класса описывается объект, хранящий упорядоченную пару объектов типа , где первый представляет реальную часть комплексного числа, а вторая — мнимую часть.
Шаблон класса описывает объект, используемый для представления комплексной системы счисления и выполнения сложных арифметических операций.

Литералы

<complex>Заголовок определяет следующие пользовательские литералы. Литералы создают комплексное число с реальной частью нуля и мнимой частью, которая имеет значение входного параметра.

Объявление Описание
Возвращаемый результат:
Возвращает .
Возвращает .

Операции с комплексными числами

Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел. Например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше.

Сложение и вычитание комплексных чисел

Комплексные числа могут складываться и вычитаться как обычные.

Рассмотрим точку, обозначающую число 1+2i. Прибавим к нему число 3+1i. Можно сложить столбиком и получить 4+3i. Геометрически это обычное сложение векторов.

Разность комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, представляет собой комплексное число, действительная часть которого и коэффициент при мнимой части равны соответственно разности действительных частей и разности коэффициентов при мнимой части уменьшаемого и вычитаемого.

В общем виде вычитание комплексных чисел z1 = a+bi и z2 = c+di можно записать так: z1-z2 = (a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i.

Несколько примеров вычитания:

  • (5+9i)-(3+24i) = (5-3)+(9-24)i = 2-15i.
  • (-4+16i)-(11-8i) = (-4-11)+(16+8)i = -15+24i.

Умножение и деление комплексных чисел

Комплексные числа перемежаются точно также, как и действительные числа. Рассмотрим несколько примеров.

2×(1+1i) = 2+2i. Геометрически умножение на два выглядит как растягивание прямой с точкой на плоскости в два раза.

Умножать на i также не сложно. Известно, что i отвечает четверти оборота. Например, чтобы умножить 3+1i на i, достаточно повернуть точку на четверть оборота. Получаем -1+3i.

Умножим два комплексных числа 2+1,5i и -1+2,4i:

Сначала нужно умножить (-1+2,4 i) на два, затем на 1,5i. Далее складываются результаты. (2+1,5i)×(-1+2,4i) = 2(-1+2,4i)+1,5i(-1+2,4i) = -2+4,8i-1,5i+3,6×i×i. i в квадрате равно минус 1. Соответственно -2+4,8i-1,5i+3,6×i×i = -2+4,8i-1,5i-3,6 = -5,6+3,3i.

Частное комплексных чисел z1 = x1+y1i и z2 = x2+y2i в алгебраической форме находится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное число к знаменателю:

z1÷z2 = (x1+y1i)÷(x2+y2i) = ((x1+y1i)×(x2-y2i))÷((x2+y2i)×(x2-y2i)) = ((x1×x2+y1×y2)÷(x2²+y2²)) + (i×(x2×y1-x1×y2)÷(x2²+y2²)).

Рассмотрим пример деления -1+3i на 1+2i. Используя формулу для нахождения частного, получаем:

z1÷z2 = (-1+3i)÷(1+2i) = ((-1+3i)×(1-2i))÷((1+2i)×(1-2i)) = ((-1×1+3×2)÷(1²+2²))+(i×(3×1+(-1)×(-2))÷(1²+2²)) = 5÷5+i×5÷5 = 1+i.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Прежде чем рассматривать другие формы записи комплексного числа рассмотрим не только сами комплексные числа, но и операции над ними.

К операциям над комплексными числами в алгебраической форме относятся:

  • Сложение;
  • Вычитание;
  • Умножение;
  • Деление.

Как считать и проводить алгебраические операции, содержащие комплексные числа

Введем комплексные числа как примеры 2 + 3 * i, 1 – 5 * i и рассмотрим выполнение указанных выше операций.

Сложение

2 + 3 * i + 1 – 5 * i = 2 + 1 + 3 * i – 5 * i = 3 + (3 – 5) * i = 3 – 2 * i.

Вычитание

2 + 3 * i – (1 – 5 * i) = 2 – 1 + 3 * i – (-5 * i) = 1 + (3 + 5) * i = 1 + 8 * i.

Умножение

(2 + 3 * i) * (1 – 5 * i) = 2 * 1 + 3 * i * 1 – 2 * 5 * i – 3 * i * 5 * i = 2 + 3 * i – 10 * i + 15 = 17 – 7 * i.

Деление

(2 + 3 * i) / (1 – 5 * i) = (2 + 3 * i) * (1 + 5 * i) / ((1 – 5 * i) * (1 + 5 * i)) =

= (2 * 1 + 3 * i * 1 + 2 * 5 * i + 3 * i * 5 * i) / (1 * 1 – 5 * i * 5 * i) =

= (2 + 3 * i + 10 * i – 15) / (1 + 25) = (-13 + 13 * i) / 26 = -0,5 + 0,5 * i.

Стоит обратить внимание, что при совершении арифметических операций над комплексными числами, выполняемые действия аналогичны к тем, которые производятся при преобразовании многочленов (двучленов). Однако не следует забывать, что при возведении в квадрат комплексного числа i, в результате всегда получается число -1

Ещё одним важным нюансом при вычислении частного комплексных чисел является необходимость умножать числитель и знаменатель дроби, полученной при записи частного, на выражение (комплексное число), которое является сопряженным к знаменателю.

На этом этапе достаточно просто убедиться, что мало знать комплексные числа, нужны ещё формулы сокращенного умножения, которые позволяют получать упрощенное выражение (которое преобразуется в действительное число), в знаменателе дроби.

[править] Свойства

В алгебраической форме комплексное число записывается как a + b \cdot i, где под i понимается \sqrt{-1}, то есть выполняется тождество i^2=-1. Мнимая часть появляется при извлечении квадратного корня из отрицательного вещественного числа: \sqrt{-16} = \sqrt{-1 \cdot 16} = \sqrt{16} \cdot i = ±4 \cdot i.

Над комплексными числами можно проводить операции сложения (вычитания), умножения (по правилам перемножения многочленов), деления.

Формула деления комплексных чисел:

\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c — di)}{(c + di)(c — di)} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc — ad}{c^2 + d^2}i,

то есть для каждого ненулевого комплексного число можно найти обратное к нему по умножению.

Поэтому они образуют поле, которое расширяет поле вещественных чисел: \mathbb{R} \subset \mathbb{C}. Вещественные числа в этой модели — комплексные, коэффициент при мнимой части которых равен 0.

Пара сопряженных комплексных чисел является решением квадратного уравнения при D \lt 0. Например, в уравнении x² + 6x + 34 = 0 имеем D = −100; в таком случае \sqrt{D} = ±10i, где i = \sqrt{-1}. Решения уравнения, соответственно -3 ± 5i.

Сумма и произведение сопряженных комплексных чисел представляют собой вещественные числа.

Комплексные числа изучаются в специальном разделе математического анализа — комплексном анализе, в алгебре они доставляют пример алгебраически замкнутого поля, имеют значительное применение в физике.

Библиография

  • Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ: Введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной (3-е изд.). Нью-Йорк; Лондон: Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-000657-1.
  • Поннусвами, С. (2005). Основы комплексного анализа (2-е изд.). Нью-Дели; Мумбаи: Нароса. ISBN 978-81-7319-629-4.
  • Бирдон, Алан (1979). Комплексный анализ: принцип аргументации в анализе и топологии . Чичестер: Вайли. ISBN 0-471-99671-8.
  • Боровский, Ефрем; Борвейн, Джонатан (2002) [1-е изд. 1989 как математический словарь . Математика . Словарь Коллинза (2-е изд.). Глазго: HarperCollins . ISBN 0-00-710295-X.

Аргумент комплексного числа

Угол $\phi$ между положительным направлением
действительной оси и радиус-вектора $\overline{O M}$, соответствующим
комплексному числу $z=a+b i$, называется аргументом
этого числа и обозначается $\arg z$ .

Аргумент $\phi$ комплексного числа
$z=a+b i$ связан с его
действительной и мнимой частями соотношениями:

$\phi=\operatorname{tg} \frac{b}{a}, \cos \phi=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \sin \phi=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

На практике для вычисления аргумента комплексного числа обычно пользуются формулой:

$\phi=\arg z=\arg (a+b i)=\left\{\begin{array}{l}{\operatorname{arctg} \frac{b}{a}, a \geq 0} \\ {\operatorname{arctg} \frac{b}{a}+\pi, a \lt 0}\end{array}\right.$

Слишком сложно?

Геометрическая интерпретация комплексного числа не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Найти аргумент комплексного числа
$z=-3-3 i$

Решение. Так как $a=\operatorname{Re} z=-3 \lt 0$, то
в выше приведенной формуле будем рассматривать вторую строку, то есть

$\phi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{-3}{-3}+\pi=\operatorname{arctg} 1+\pi=\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{5 \pi}{4}$

Ответ. $\phi=\arg z=\frac{5 \pi}{4}$

Аргумент действительного положительного числа равен
$0^{\circ}$, действительного отрицательного —
$\pi$ или
$180^{\circ}$. Чисто мнимые числа с положительной мнимой частью имеют
аргумент равный $\frac{\pi}{2}$, с отрицательной мнимой частью —
$\frac{3 \pi}{2}$ .

У комплексно сопряженных чисел аргументы отличаются знаком (рис. 3).

Читать дальше: комплексно сопряженные числа.

Мнимое число • ru.knowledgr.com

Мнимое число – число, которое может быть написано как действительное число, умноженное на воображаемую единицу, которая определена ее собственностью. Квадрат мнимого числа. Например, мнимое число, и его квадрат. За исключением 0 (который и реален и воображаем), мнимые числа производят отрицательные действительные числа, когда согласовано.

Мнимое число может быть добавлено к действительному числу, чтобы сформировать комплексное число формы, где действительные числа и называют, соответственно, реальной частью и воображаемой частью комплексного числа.

Мнимые числа могут поэтому считаться комплексными числами, реальная часть которых – ноль. Имя «мнимое число» было выдумано в 17-м веке как уничижительный термин, числа как таковые были расценены некоторыми как фиктивные или бесполезные.

Термин «мнимое число» теперь означает просто комплексное число с реальной частью, равной, то есть, много форм.

История

Хотя греческий математик и инженер Херон Александрии отмечены как первое, чтобы задумать эти числа, Рафаэль Бомблли сначала записал правила для умножения комплексных чисел в 1572. Понятие появилось в печати ранее, например в работе Джероламо Карданоом.

В то время, такие числа были плохо поняты и расценены некоторыми как фиктивные или бесполезные, очень как ноль, и отрицательные числа однажды были.

Много других математиков не спешили принимать использование мнимых чисел, включая Рене Декарта, который написал о них в его La Géométrie, где воображаемый термин был использован и предназначен, чтобы быть уничижительным.

Использование мнимых чисел не было широко принято до работы Леонхарда Эйлера (1707–1783) и Карла Фридриха Гаусса (1777–1855). Геометрическое значение комплексных чисел как пункты в самолете было сначала описано Каспаром Весселом (1745–1818).

В 1843 математический физик, Уильям Роуэн Гамильтон, расширил идею оси мнимых чисел в самолете к трехмерному пространству кватерниона imaginaries.

С развитием колец фактора многочленных колец понятие позади мнимого числа стало более существенным, но тогда каждый также находит другие мнимые числа, такие как j tessarines, у которого есть квадрат. Эта идея сначала появилась со статьями Джеймса Кокла, начинающего в 1848.

Геометрическая интерпретация

Геометрически, мнимые числа найдены на вертикальной оси самолета комплексного числа, позволив им быть представленными перпендикуляр реальной оси.

Один способ рассмотреть мнимые числа состоит в том, чтобы рассмотреть стандартную числовую ось, положительно увеличивающуюся в величине вправо, и отрицательно увеличивающуюся в величине налево.

В 0 на этом – оси, – ось может быть оттянута с «положительным» направлением, повышающимся; «положительные» мнимые числа тогда увеличиваются в величине вверх и «отрицательном» увеличении мнимых чисел величины вниз. Эту вертикальную ось часто называют «воображаемой осью» и обозначают, или.

В этом представлении умножение соответствует вращению 180 градусов о происхождении. Умножение соответствует вращению на 90 градусов в «положительном» направлении (т.е.

, против часовой стрелки), и уравнение интерпретируется как говорящий, что, если мы применяем два вращения на 90 градусов вокруг происхождения, конечный результат – единственное вращение на 180 градусов

Обратите внимание на то, что вращение на 90 градусов в «отрицательном» направлении (т.е. по часовой стрелке) также удовлетворяет эту интерпретацию

Это отражает факт, который также решает уравнение. В целом умножение на комплексное число совпадает с вращением вокруг происхождения аргументом комплексного числа, сопровождаемым вычислением его величиной.

Умножение квадратных корней

Уход должен использоваться в умножении квадратных корней отрицательных чисел. Например, следующее рассуждение неправильное:

Ошибка – то, что правило, где основная ценность квадратного корня взята в каждом случае, вообще действительно, только если и соответственно ограничены.

Следовательно в таких контекстах должен быть расценен или как бессмысленный, или как двузначное выражение с возможными ценностями и.

Идентичности

Одним из основных мотивов для определения главного значения Arg является возможность записывать комплексные числа в форме «модуль-аргумент». Следовательно , для любого комплексного числа г ,

zзнак равно|z|еяArg⁡z.{\ displaystyle z = \ left | z \ right | e ^ {i \ operatorname {Arg} z}.}

Это действительно только в том случае, если z не равно нулю, но может считаться действительным для z = 0, если Arg (0) рассматривается как неопределенная форма, а не как неопределенная.

Далее следуют некоторые дальнейшие отождествления. Если z 1 и z 2 — два ненулевых комплексных числа, то

Arg⁡(z1z2)≡Arg⁡(z1)+Arg⁡(z2)(мод(-π,π),Arg⁡(z1z2)≡Arg⁡(z1)-Arg⁡(z2)(мод(-π,π).{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Arg} (z_ {1} z_ {2}) & \ Equiv \ operatorname {Arg} (z_ {1}) + \ operatorname {Arg} (z_ {2}) {\ pmod {(- \ pi, \ pi]}}, \\\ operatorname {Arg} \ left ({\ frac {z_ {1}} {z_ {2}}} \ right) & \ Equiv \ operatorname { Arg} (z_ {1}) — \ operatorname {Arg} (z_ {2}) {\ pmod {(- \ pi, \ pi]}}. \ End {align}}}

Если z ≠ 0 и n — любое целое число, то

Arg⁡(zп)≡пArg⁡(z)(мод(-π,π).{\ displaystyle \ operatorname {Arg} \ left (z ^ {n} \ right) \ Equiv n \ operatorname {Arg} (z) {\ pmod {(- \ pi, \ pi]}}.}

Пример

Arg⁡(-1-яя)знак равноArg⁡(-1-я)-Arg⁡(я)знак равно-3π4-π2знак равно-5π4{\ displaystyle \ operatorname {Arg} {\ biggl (} {\ frac {-1-i} {i}} {\ biggr)} = \ operatorname {Arg} (-1-i) — \ operatorname {Arg} ( i) = — {\ frac {3 \ pi} {4}} — {\ frac {\ pi} {2}} = — {\ frac {5 \ pi} {4}}}

Использование комплексного логарифма

Из , легко следует, что . Это полезно, когда доступен комплексный логарифм .
zзнак равно|z|еяArg⁡(z){\ Displaystyle г = | г | е ^ {я \ OperatorName {Arg} (г)}}Arg⁡(z)знак равно-япер⁡z|z|{\ displaystyle \ operatorname {Arg} (z) = — я \ ln {\ frac {z} {| z |}}}