Математическая система быстрого счета трахтенберга, созданная в освенциме

Предварительные замечания

Замечание №1: При умножении двух чисел ( множителей ) первый множитель, который нужно умножить, называется множимым, а второй множитель — множителем . Результат операции — товар . Проще говоря, если вы хотите умножить большое число на «X» раз, большое число будет множимым, а «X» умножить на множитель.

Замечание № 2: Цифра и число — это два разных понятия. Число пишется цифрами. Приведенные ниже советы по расчету основаны на простой методике, заключающейся в рассмотрении каждой цифры множимого как числа, к которому применяется указанное правило. Из-за злоупотребления языком, но для упрощения понимания подсказок, в остальной части этой статьи термин « номер» будет использоваться только в его строгом смысле или в качестве замены термина « номер» .

Примечание № 3: Чтобы применить приведенные ниже советы, необходимо вычислить цифры произведения справа налево (от единиц до цифр возрастающего веса) из цифр множимого в том же порядке. .

Замечание №4: Необходимо добавить слева от множимого количество нулей, равное количеству цифр в множителе. Пример 1: умножив 325 на 6, мы возьмем 0325 на 6. Пример 2: умножив 325 на 12, мы получим 00325 на 12.

Замечание 5: При делении нечетного числа на два цифры после десятичной точки игнорируются. Пример 1: 3/2 = 1,5 Пример 2: 7/2 = 3,5

Частные правила умножения

Умножение на 11

Правило: Добавь цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.

Пример: 3425 × 11 = 37675

3425 × 11 = (0+3)(3+4)(4+2)(2+5)(5+0) = 37675

Умножение на 12

Правило: Добавь удвоенную цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.

Пример: 2413 × 12 = 28956

2413 × 12 = (0×2+2)(2×2+4)(4×2+1)(1×2+3)(3×2+0) = 28956

Умножение на 13

Правило: Добавь утроенную цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.

Пример: 5876 × 13 = 76388

5876 × 13 = (0×3+5)(5×3+8)(8×3+7)(7×3+6)(6×3+0) = 76388

Умножение на 14

Правило: Добавь учетверённую цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.

Пример: 4859 × 14 = 68026

4859 × 14 = (0×4+4)(4×4+8)(8×4+5)(5×4+9)(9×4+0) = 68026

Умножение на 17

Правило: Добавь цифру, умноженную на разряд единиц, к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.

Пример: 5739 × 17 = 97563

5739 × 17 = (0×7+5)(5×7+7)(7×7+3)(3×7+9)(9×7+0) = 97563

литература

К личности
К методике расчета
  • Энн Катлер, Рудольф МакШейн: высокоскоростной метод расчета Трахтенберга . Издательство Hyperion, Фрайбург и. Br.1963, 272 стр., Без ISBN
  • Энн Катлер, Рудольф МакШейн: Система скоростей Трахтенберга базовой математики . Сувенирная пресса 2008, 270 страниц, ISBN 978-0-285-62916-5
  • Хольгер Дамбек: Нули делают единицу большим: математические уловки на все случаи жизни . KiWi-Мягкая обложка Verlag 2013, 2-е издание, ISBN 978-3462045116
  • Катя Лёшер: Альтернативные методы вычислений письменным обычным методам основных арифметических операций . Грин Верлаг 2008, ISBN 9783640117611

Быстрый счет без калькулятора

Жизнь любого современного человека неотрывно связана с числами. Без умения считать невозможно выполнять самые простые повседневные задачи. Конечно, сегодня у людей появились умные помощники – калькуляторы, смартфоны, компьютеры, но даже они могут иногда подвести – сломаться или не вовремя разрядиться. Да и не всегда можно полагаться на гаджеты, ведь на экзаменах в школе или в ВУЗе они не помогут. Именно поэтому многие люди стремятся научиться хорошо считать без помощи подручных средств. Особенно это актуально для школьников, ведь если с детства освоить техники быстрого устного счета, то и учеба в школе, и различные задачи во взрослой жизни будут даваться легче.

Есть еще одна серьезная причина для того, чтобы начать тренироваться хорошо считать в уме. Устный счет развивает человеческий мозг и способствует росту уровня интеллекта. Поэтому даже те студенты, которые обучаются на гуманитарных специальностях, все равно изучают такие точные науки, как высшая математика и математический анализ. Упражнения, направленные на устный счет больших чисел, являются отличной зарядкой для ума. Так развитие интеллекта и удобство в быту – это две самые главные причины научиться хорошо считать без калькулятора.

Человечество еще с древности стремилось найти такие способы быстрого счета. И речь не только о простых вычислениях, таких как сложение и вычитание, но и о более сложных – об умножении и делении. Пусть это и занимает много времени, но складывать и вычитать большие значения все же можно без предварительной подготовки, а вот такие действия, как умножение двузначных чисел, недоступны большинству людей.

Но, благодаря труду математиков со всего земного шара, сегодня появились некоторые математические хитрости, позволяющие считать в уме не только однозначные, но и двузначные числа. Чтобы понять принцип их работы, лучше рассмотреть каждый из этих приемов отдельно.

Нелёгкая судьба гения

Во время Второй Мировой войны вокруг царил хаос и ужас, Трахтенберга он, к сожалению, тоже не обошёл стороной. Из-за своего происхождения он был насильно доставлен из Берлина прямо в исток адских страданий – концентрационный лагерь. Ежедневно ему приходилось наблюдать за смертями своих соотечественников и издевательствами над ними, неоднократно подвергаясь им, в том числе. Чтобы не обезуметь, он решил полностью погрузиться в таинственный мир математики и чисел.

Найти даже клочок бумаги было непосильной задачей, однако, он искал выход из ситуации всеми возможными путями, насколько сложными они бы ни были. Но большинство информации он хранил не в рукописном варианте, а в своём разуме, что и сейчас позволяет проводить простые манипуляции с числами в уме и записывать лишь конечный результат.

Продумывая множество вариантов, он, в конечном счёте, придумал поистине совершенный метод, который до сих пор часто используют в обиходе при тяжёлых подсчётах.

Название приложения

Когда приложение уже было готово, я задумался над названием. С одной стороны, я хотел, чтобы название содержало фамилию Якова Трахтенберга, придумавшего все эти правила. С другой стороны, сейчас эта фамилия вызывает ассоциации с чем угодно, но только не с математикой. Русскоязычные пользователи мобильных устройств, скорее всего, вспомнят шоумена Романа Трахтенберга. Англоязычные – американскую актрису Мишель Трахтенберг. Назвать просто по фамилии будет явно недостаточно – неясно, что речь именно о профессоре математики, а не о прочих Трахтенбергах.

Подумав, я решил сделать несколько названий:
1. На устройстве – приложение называется «Трахтенберг» (Trachtenberg), это самый короткий вариант названия.

2. На главном экране внутри приложения – «Умножение без таблицы» (Multiply Without Times Table), это отражает смысл приложения.

3. В AppStore – используется полное название, позволяющее, помимо прочего, использовать дополнительные ключевые слова – «Яков Трахтенберг – Система быстрого счета – Научись выполнять умножение чисел от 2 до 12 без знания таблицы умножения» (по-английски короче – Trachtenberg Speed System – Basic Multiplication Without Times Table).

В процессе перевода названия, я узнал, что по-немецки таблица умножения называется Einmaleins, что переводится как «одиножды один». А еще говорят, что у немцев нет чувства юмора!

Справка

(ru) Дж. Трахтенберг, Система скоростей Трахтенберга по фундаментальной математике . Doubleday and Company, Inc., Гарден-Сити, Нью-Йорк, США (1960).

Умножение

  • Фактор

    • Множимое
    • Множитель
  • Товар
  • Крест умножения
  • Таблица умножения
Характеристики
  • Распределительность
  • Ассоциативность
  • Коммутативность
Примеры
  • Скалярное произведение
  • Векторный продукт
  • Умножение на скаляр
  • Матричный продукт
Алгоритмы умножения
Умножение целых чисел
  • Древний Египет
  • русский
  • Древний Китай
  • Скольжением
  • Ревностью
  • Метод Трахтенберга
  • Алгоритм умножения Бута
  • Карацуба
  • Тоом-Кук
  • Шёнхаге-Штрассен
  • Фюрер
Умножение матриц
  • Адамар
  • Кронекер
  • Стразы
  • Медник-Виноград
  • Цепной алгоритм умножения матриц
Алгоритмы верификации
Умножение целых чисел
Умножение матриц

Математический портал

Для кого это приложение

Приложение может быть полезно многим:

  • Детям – многие дети испытывают трудности при механическом запоминании каких-то фактов, цифр и т.п. Проблемы могут быть вызваны, в том числе, и расстройством развития – «синдромом рассеянного внимания», которым в той или иной форме страдают 3–5% процентов людей (статистика по США, данные из Википедии). Система Трахтенберга предлагает вместо заучивания чисел запомнить и применять набор правил вида: «Добавить к текущей цифре ее соседа справа».
  • Пожилым людям – с годами у человека возрастает необходимость проводить «тренировки для мозга». Решение головоломок, тренировка памяти, устный счет помогают мозгу оставаться «в форме», замедляют процесс его старения. С этой точки зрения, система Трахтенберга – один из возможных «тренажеров» для извилин.
  • Взрослым людям – среди нас немало тех, кто сохранил интерес или даже любовь к различным математическим фокусам и развлечениям. «Умножение без таблицы» – это разновидность таких развлечений. Данным методом можно проверить – сколько будет 7×8 или 6×9 в случаях, когда сомневаешься или подзабыл. Я, работая над приложением, лично для себя запомнил правила умножения на 11 и на 12. Во-первых, эти правила оказались очень простыми, а во-вторых, таблица на 11 и 12 не входила в школьный курс, это было для меня новым знанием.

Общее умножение

Пусть даны два числа — a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b}, выглядящие в десятичной записи как …a2a1a{\displaystyle \ldots a_{2}a_{1}a_{0}} и …b2b1b{\displaystyle \ldots b_{2}b_{1}b_{0}}. Стандартный алгоритм умножения a{\displaystyle a} на b{\displaystyle b} предписывает умножить a{\displaystyle a} на все разряды b,b1,b2,…{\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\ldots } по очереди и сложить результаты, учитывая их сдвиг. Трахтенберг предлагает взамен считать n{\displaystyle n}-ый разряд ответа как сумму переноса из предыдущего разряда и ∑i+j=naibj{\displaystyle \sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}}, не записывая промежуточные вычисления.

Действительно, разложим

∑iai10i⋅∑jbj10j{\displaystyle \sum _{i}a_{i}10^{i}\cdot \sum _{j}b_{j}10^{j}}

по дистрибутивности: слагаемые aibj10i+j{\displaystyle a_{i}b_{j}10^{i+j}} с i+j<n{\displaystyle i+j<n} влияют на разряд 10n{\displaystyle 10^{n}} только в виде переноса, а с i+j>n{\displaystyle i+j>n} — вообще не влияют.

Например, умножим 12345 на 21.

перенос ∑i+j=naibj{\displaystyle \sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}} Всего Цифра
5*1 5 5
4*1+5*2 14 4
1 3*1+4*2 11 2
1 2*1+3*2 8 9
1*1+2*2 5 5
1*2 2 2

Итого, читая снизу вверх, получается 259245. Яков Трахтенберг предлагает делать вычисления, записанные в таблице выше, в уме, выписывая только результат.

С этой книгой читают

Система и методы Самсона. Пояснения и инструкции Засс Александр Иванович

«ВО-ПЕРВЫХ, Я БЫЛ НАЦЕЛЕН РАЗВИВАТЬ ОСНОВНЫЕ СОЕДИНИТЕЛЬНЫЕ ТКАНИ, А НЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ МУСКУЛЫ. Я РАЗВИВАЛ СИЛУ СУХОЖИЛИЯ. Сухожилия — подобны тросам между костями и…

3.75
 (8)

Активное долголетие Микулин Александр Александрович

Как сохранить здоровье и продлить творческую активность? Этот вопрос волнует многих. В книге академика А. А. Микулина крупнейшего советского конструктора авиадвигателей,…

3.4
 (4)


Школа ножевого боя. По системе спецназа КГБТравников Александр Игоревич

Уникальное пособие для сотрудников силовых структур, основанное на недавно рассекреченном курсе оперативного карате спецназа КГБ, теперь доступно всем, кому интересны…

4.5
 (1)

Чертовщина за свой счетАндреева Валентина Алексеевна

Чтобы сменить обстановку и немного развеяться, две закадычные подруги отправляются в трехдневный круиз на теплоходе. Но… Лучше бы они этого не делали!Природное…

4.6
 (4)

Реальный уличный бой — универсальная система самообороныСиллов Дмитрий Олегович

Эта книга является простым, доступным и понятным учебником реального уличного боя, сборником методик и приемов самозащиты, неоднократно проверенных временем.

Дмитрий…

4.4
 (3)

По дороге быстрее Князев Милослав

Захотелось написать книгу про попаданца в мир меча и магии. Но не обычного для меня Иванушку Дурачка, которому просто везёт, несмотря на отсутствие крутости, и…

3.7
 (4)

Бой с использованием шеста, палки, трости. По системе спецназа КГБТравников Александр Игоревич

Уникальное пособие для обязательного изучения профессионалами и любителями боевых единоборств, тренерами и спортсменами, работниками силовых ведомств, а также всеми, кто…

4.2
 (1)

Тайна чисел системы ПифагораСветлый Петр

Во второй книге серии «Исцеляйтесь, познав себя» популярно изложены вопросы самопознания на основе числовой системы Пифагора. Эта книга поможет всем желающим…

4.2
 (5)

Как быстро и легко выучить таблицу умножения с ребёнком?

Рассмотрим несколько, проверенных личным опытом, практических советов, которые, при применении на практике, дают очень хороший результат.

Совет №1

Большую роль в усвоении таблицы умножения играет понимание смысла умножения. Объясните ребёнку смысл действия умножения и научите этим пользоваться при вычислениях.

Умножение – это сумма одинаковых слагаемых.

8 умножить на 3 – это значит, что число 8 мы должны взять 3 раза: 8 х 3 = 8 + 8 + 8

Понимая смысл умножения, ребёнок сможет найти результат даже в ситуации, когда он забыл какой-то случай из таблицы.

Важно знать переместительное свойство умножения (от перестановки множителей произведение не меняется), тогда результат можно найти ещё быстрее: 4 х 8 = 8 х 4 = 8 + 8 + 8 + 8 = 32

Умножать можно с помощью рук

Умножение на 9

Для этого положите руки ладонями вверх, пальцы разогните. Мысленно пронумеруйте пальцы слева направо от 1 до 10. Загните тот палец, на какое число нужно умножить 9. Например, нужно 9х3. Загибаете 3 палец. Все пальцы слева (их 2 — это десятки), пальцы справа (их 7) — единицы. Соединяем десятки и единицы, получаем — 27.

Вычисление произведения любых однозначных чисел больше, чем 5

Способ 1

Пронумеруйте мысленно пальцы на обеих руках. Мизинец — 6, безымянный — 7, средний — 8, указательный — 9, большой — 10 (на то он и БОЛЬШОЙ, чтобы выражать самое БОЛЬШОЕ число).

Допустим, вы хотите узнать, сколько будет 8 х 7. Соедините вместе средний палец левой руки (8) с безымянным правой (7), как показано на рисунке. А теперь считайте. Два соединённых пальца плюс те, что под ними, указывают на количество десятков в произведении. В данном случае — 5. Число пальцев, оказавшихся над одним из сомкнутых пальцев, умножьте другим сомкнутым пальцем. В нашем случае 2 х 3 = 6. Это — число единиц в искомом произведении. Десятки складываем с единицами, и ответ готов — 56.

Способ 2

Например, нужно умножить 7х7. Загнём на левой руке столько пальцев, на сколько первый множитель больше 5, а на правой руке столько пальцев, на сколько второй множитель больше 5.

В данном случае будет загнуто по 2 пальца. Если сложить количество загнутых пальцев и перемножить количество не загнутых, то получится соответственно число десятков и единиц искомого произведения, т.е. 49. Если этим способом вычислять произведение 6х7, то получится 3 десятка и 12 единиц, т.е. 30+12=42

Проверьте и убедитесь, что эти способы действительно работают.

Совет № 3

Знание правил умножения упростит запоминание таблицы умножения:

  • При умножении любого числа на 1 получается то число, которое умножали.
  • Все результаты умножения на 10 начинаются с числа, которое мы умножаем, а заканчиваются на 0.
  • Все результаты умножения на 5 заканчиваются на 5 или 0: если умножали нечётное число – на 5, если чётное – на 0.
  • Чтобы умножать на 4, можно просто дважды удваивать число. Например, чтобы умножить 6 на 4, нужно удвоить 6 два раза: 6 + 6 = 12, 12 + 12 = 24.
  • При умножении на 9, запишите ряд ответов в столбик: 09, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90. Запомнить нужно первое и последнее число. Все остальные можно воспроизвести по правилу: первая цифра в двузначном числе увеличивается на 1, а вторая уменьшается на 1.

Научиться пользоваться таблицей Пифагора

Необходимо показать ребёнку, что числа из левого столбика умножаются на числа из верхней строки. Найти результат очень просто: нужно только провести рукой по таблице вниз и вправо от множителей до места пересечения, где и будет расположен результат умножения.

Возьмите пустую распечатанную или нарисованную таблицу и заполните её вместе с ребёнком. Причем в цвете, закрашивая одинаковый результат одним цветом. Сразу будет видна закономерность. Ребёнок увидит, что запоминать нужно только половину таблицы (согласно переместительному закону умножения).

Понимая смысл умножения, можно использовать для вычислений предыдущие или последующие табличные случаи. При этом случае нужно лишь вычесть или прибавить нужное число.

Вам нужна только математика начальной школы

Чтобы умножать без бумаги, нужно на уровне рефлекса освоить два навыка:

I. Знать таблицу умноженияII. Складывать числа

Пункты важны, потому что будете десятки раз повторять операции. Получается просто, но много.

Отточить умножение поможет приложение УмноЖатель

Уделяйте тренировке не больше пяти минут за подход. Потом запоминать сложнее, а после тройки долгих сессий цифры начнут раздражать.

Быстро складывать получится точно таким же постоянным запоминанием.

Почти нигде не просят знать таблицу сложения, а она есть. Если до десяти цифры знают почти все, то после этого порога начинается ступор.

На лету вспомнить, какое число будет в следующем десятке полезнее в жизни, чем любое другое вычисление. Поэтому качайте и запоминайте.

Ещё один способ сложения, которого некоторые стесняются – довод до десятка. Это когда к одному числу сначала добавляют до круглого значения часть из второго, а потом плюсуют остаток:

В этом способе нет ничего стыдного, он эффективен, и с практикой доводится до автоматизма.

Когда научитесь на лету умножать и складывать элементарные значения, вставайте на продвинутый уровень: расчёты четырёхзначных чисел.

Общее умножение[ | код]

Пусть даны два числа — a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b}, выглядящие в десятичной записи как …a2a1a{\displaystyle \ldots a_{2}a_{1}a_{0}} и …b2b1b{\displaystyle \ldots b_{2}b_{1}b_{0}}. Стандартный алгоритм умножения a{\displaystyle a} на b{\displaystyle b} предписывает умножить a{\displaystyle a} на все разряды b,b1,b2,…{\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\ldots } по очереди и сложить результаты, учитывая их сдвиг. Трахтенберг предлагает взамен считать n{\displaystyle n}-ый разряд ответа как сумму переноса из предыдущего разряда и ∑i+j=naibj{\displaystyle \sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}}, не записывая промежуточные вычисления.

Действительно, разложим

∑iai10i⋅∑jbj10j{\displaystyle \sum _{i}a_{i}10^{i}\cdot \sum _{j}b_{j}10^{j}}

по дистрибутивности: слагаемые aibj10i+j{\displaystyle a_{i}b_{j}10^{i+j}} с i+j<n{\displaystyle i+j<n} влияют на разряд 10n{\displaystyle 10^{n}} только в виде переноса, а с i+j>n{\displaystyle i+j>n} — вообще не влияют.

Например, умножим 12345 на 21.

перенос ∑i+j=naibj{\displaystyle \sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}} Всего Цифра
5*1 5 5
4*1+5*2 14 4
1 3*1+4*2 11 2
1 2*1+3*2 8 9
1*1+2*2 5 5
1*2 2 2

Итого, читая снизу вверх, получается 259245. Яков Трахтенберг предлагает делать вычисления, записанные в таблице выше, в уме, выписывая только результат.

Удача наступает на пятки

Но как же в дальнейшем сложилась судьба такого талантливого человека?

Выждав подходящий момент, он смог совершить побег и выбраться из этого жерла вулкана отчаяния. Но он понимал, что стоит ему только попасться на глаза офицерам, и его ждёт та же участь. Так и произошло, однако в этот раз госпожа удача не обошла его стороной, офицер, который его поймал, оказалось, был знаком с деятельностью Якова. Избежать попадания в концлагерь ему не удалось, но он был доставлен в трудовой лагерь, который находился в Триесте. Да, работу на каменоломне лёгкой не назовёшь, но здесь охранники относились к узникам более снисходительно.

Трахтенберга не покидала мысль о побеге, и во второй раз он прошёл успешно. Он пришёл в себя уже в швейцарском лагере для беженцев. Оказавшись на свободе, он открыл институт математики, где и обучал своей методе детей.

Мир узнал об этой невероятной математической системе, благодаря счастливой случайности, по которой журналистка из США встретилась с гением. Она была в восторге, когда увидела, что даже ребёнок может производить сложнейшие расчёты, используя метод Трахтенберга.

Способы и примеры умножения по методике Трахтенберга

Она была знакома с одним из талантливейших профессоров математики Рудольфом МакШэйном, вместе с которым в дальнейшем Яков издал учебник-книгу для старшеклассников и студентов «Быстрая система элементарной математики Трахтенберга». Выше кратко изложена система быстрого счета по Трахтенбергу.

В ходе дальнейших исследований он определил, что его система помогает улучшать память без лишних усилий и укреплять разум. А сейчас его изобретение используют даже в банках и больших компаниях, это явный показатель того, что её оценили по достоинству.

Устный счёт на автомате

  • Во-первых, необходимо хорошо знать состав числа и таблицу умножения.

  • Во-вторых, надо запомнить приемы упрощения расчётов. Как выяснилось, таких математических алгоритмов не так уж много.

В-третьих, чтобы приём превратился в удобный навык, надо постоянно проводить краткие «мозговые штурмы» — упражняться в устных вычислениях, используя тот или иной алгоритм.

Тренировки должны быть короткими: решить в уме по 3-4 примера, используя один и тот же приём, затем переходить к следующему. Надо стремиться использовать любую свободную минутку — и полезно, и нескучно. Благодаря простым тренировкам все вычисления со временем будут совершаться молниеносно и без ошибок. Это очень пригодится в жизни и выручит в непростых ситуациях.

Методы развития математического мышления

Сразу следует отметить, что чем большим количеством методов овладеет ребенок, тем быстрее и правильней он научиться считать в уме. Кроме того, нет одного универсального метода, который поможет развить способности к быстрому счету в уме всех арифметических операций.

Суть процесса заключается даже не в этом. Усвоение каждого нового приема и вообще любого навыка создает в мозгу новые нейронные связи. Чем больше нейронных связей образуется у ребенка в мозгу, пока он взрослеет, тем более будет развит его интеллект и больше шансов на увеличение «числа Данбара» в его дефолт – системе мозга.

Теперь же рассмотрим некоторые наиболее эффективные методы для развития способностей школьника к быстрым подсчетам в уме.

Вычитание с помощью 10. Зачастую подобные примеры вызывают у детей сложность при решении:

  1. 35 – 9

  2. 24 – 7

  3. 26 – 8

Решение с помощью 10 выглядит следующим образом, сначала следует вычесть 10, а потом прибавить число, которого не хватает до 10 вычитаемому числу.

  1. 35 – 9 = (35 – 10) + 1 = 26

  2. 24 – 7 = (24 — 10) + 3 = 17

  3. 26 – 8 = (26 — 10) + 2 = 18

Сначала ребенок должен понять, как это делается, потом нужно, чтобы он самостоятельно решил несколько примеров и после нужно переходить к тренировке метода, для доведения его до автоматизма.

Освоив сложение и вычитание переходим к умножению двух-трехзначных чисел на однозначное число (умножение на однозначные числа). Например,

  1. 47 х 3

  2. 718 х 4

Умножение этих чисел следует разбить следующим образом:

  1. 47 х 3 = 40х3 + 7х3 = 120 + 21 = 121

  2. 718 х 4 = 700х4 + 10х4 + 8х4 = 2800 + 40 + 32 = 2872

Если ребенок усвоил суть этого метода то, при достаточно большом количестве упражнений выполненных для тренировки, вполне реально считать в уме даже умножение трехзначного числа на однозначное, не говоря уже о двухзначных числах.

Метод быстрого умножения на 4, 8 и 16. На первый взгляд это кажется достаточно сложно, но к вопросу нужно подойти по-другому. Для этого вспоминаем, что

  1. 4 = 2 х 2

  2. 8 = 2 х 2 х 2

  3. 16 = 2 х 2 х 2 х 2

Достаточно просто умножить любое число на 2, когда ребенок увидит число, которое надо умножить на 4, достаточно вспомнить, что это число можно сначала умножить на 2, а потом полученный результат ещё раз на 2. Подобным же образом надо поступить при умножении на 8, только перемножая результат на 2 три раза и соответственно с числом 16 – 4 раза.

Этот метод поможет ребенку научиться делению на 5. Зачастую у детей деление числа на 5 в уме вызывает затруднения.

Для того чтобы поделить число на 5, его следует сначала поделить на 10, а потом умножить на 2.

  1. 840: 5 = (840: 10) х 2 = 84 х 2 = 168

Ещё один метод позволяющий облегчить ребенку счет в уме. Речь идет о делимости числа на 2,3,4,5,6 и 9 без остатка

Эту методику дают в обычной школе, но видимо ей мало уделяют внимание, и ребенок обычно её не усваивает и на практике не применяет. Математический принцип следующий:

  1. Число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2.

  2. Число делится на 3, если сумма его цифр, делится на 3.

Например, число 732 нужно представить, как 7+3+2=12. Соответственно 12 на 3 делится, — это означает, что 732 делится на 3

  1. Число делится на 4, если число составляющее его две последни цифры можно поделить на 4.

Например, число 1524, последние две цифры – 24, это число делится на 4. Поэтому все число делится на 4

  1. Число будет делиться на 5, только если его последняя цифра 0 или 5

  2. Число будет делиться без остатка на 6 если оно делится и на 2 и на 3. Выше описанными способами проверяем делится ли число на 2 и делится ли оно на 3.

Если это так, то число делится на 6

  1. Число можно поделить на 9, если сумма его цифр делится на 9. В этом они похожи с числом 3.

Рассмотрим пример с числом 6732, необходимо представить его в виде суммы цифр его составляющего 6+7+3+2=18. Число 18 на 9 делится, а значит и число 6732 делится на 9.

Следующий метод научит ребенка легко считать простые дроби. Называется он метод бабочки и выглядит так:

Производя по диагонали умножение чисел в «крылышках» полученный результат записываем под «усиками» 3х5=15 и 4х2=8 и складываем результаты 15+8=23. Результат умножения знаменателей записываем в нижнюю часть «тела бабочки» 4х5=20, на выходе получаем искомый ответ, проводим сокращение и выводим полученную дробь.

Тот же метод бабочки, при вычитании простых дробей. Принцип сохраняется без изменения, за исключением замены действия сложения числителей на действие их вычитания: