Планковский квант действия

Квантовая физика — FAQ

Это были основы квантовой физики, которые необходимо знать для базового понимания. Однако осталось несколько интересных вопросов:

Что такое квант простыми словами?

Квант — наименьшая неделимая порция чего-либо, в частности энергии. Понятие кванта ввёл Макс Планк.

Что такое квантовые компьютеры и существуют ли они в реальности?

Квантовый компьютер — вычислительное устройство, использующее явления квантовой суперпозиции и квантовой запутанности для передачи и обработки информации. И он существует. Наибольший составлен из семи кубитов. Этого хватит, чтобы разложить число 14 на простые множители: 7 и 2. Пока что нет квантового компьютера для практического применения, однако его появление поможет человечеству решить медицинские проблемы, расшифровать генетический код и выйти за рамки материального мира. Поэтому многие страны финансируют десятки миллионов долларов на создание квантового компьютера.

Когда появится квантовое шифрование (квантовая криптография)?

Пока что о квантовой криптографии говорят в будущем времени. Однако первый протокол был создан в 1984 году и носил название BB84. Замысел квантового шифрования состоит в том, чтобы передавать информацию отдельными фотонами. Главным теоретическим недостатком квантового шифрования является низкая пропускная способность.

Как проявляется квантовая запутанность?

Если выбрать одну частицу из определённого количества частиц и повлиять на неё, то состояние изменится у остальных частиц, независимо от условий. Явление квантовой запутанности — основа квантовой телепортации.

Что такое сверхпроводимость?

Свойство некоторых металлов при охлаждении до абсолютного нуля полностью терять сопротивление электрическому току.

Свет — частица или волна?

Свет не является ни частицей, ни волной, приобретая их свойства только в некотором приближении.

Что такое квантовый двигатель?

Квантовый двигатель — механизм, который выполняет работу без потерь энергии, сил трения и теплообмена с окружающей средой.

Что такое эффект наблюдателя?

Эффект наблюдателя — теория о том, что наблюдение за объектом изменяет его свойства.

Как возникает квантовое поле?

В квантовых полях процесс передачи взаимодействия происходит квантами, в качестве которых выступают элементарные частицы с фиксированными физическими характеристиками. Таким образом, взаимодействующие частицы имеют квантованные характеристики и взаимодействие между ними передаётся квантовым полем со своими квантованными характеристиками.

Из чего сделан квантовый камуфляж?

Квантовый камуфляж сделан из оксида самария и никеля и позволяет спрятаться от инфракрасных камер.

Кот Шрёдингера и макроскопические суперпозиции

Кот Шрёдингера

Суть эксперимента в том, что условия точно описываются квантовой механикой (распадется ли радиоактивный атом?), а сам он представлен классической проблемой (жив кот или мертв?). Мы хотим посмотреть, на каком этапе результат эксперимента перестанет находиться в компетенции КМ и станет обычным классическим «да» или «нет».

Основной аргумент таков: пока коробка не откроется, кот будет находиться в квантовой суперпозиции мертвого и живого кота. С другой стороны, если кот выступает в роли наблюдателя, он как минимум будет знать, что он жив. (Осознание котом того факта, что он умер, зависит от существования загробной жизни — и такое предлагается в квантовой механике). Обсуждение тянется бесконечно, вариантов ответов — масса.

В многомировой интерпретации судьба кота не так печальна. Когда коробка открывается, вселенная расщепляется на две: в одной кошка живет дальше, в другой нет.

Этот вопрос очень важен, поскольку его можно проверить экспериментально.

Крупнейшей системой, которая была успешно введена в состояние квантовой суперпозиции, является квантовый микрофон весом в нанограмм (10 триллионов атомов) объемом около 450 кубических микрон. Намного меньше кота, но больше того, что связывают с обычными атомными и субатомными взаимодействиями — то есть тем, что обычно разбирает квантмех. Активное развитие создания квантовой суперпозиции больших объектов, наверное, основная причина того, почему ученые позитивно смотрят на макроскопические суперпозиции. Если идея работает на практике, со временем она найдет все больше и больше сторонников.

5.8. Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера лежит в основе
квантовой механики. Оно, как и уравнение Ньютона, не выводится, а является обобщением
опытных фактов. Его справедливость доказывается совпадением результатов,
полученных из его решения и экспериментов. Уравнение Шредингера для
стационарных состояний
,
т. е. для состояний с фиксированными значениями энергии, имеет вид

где  — сумма вторых частных производных
от волновой функции по координатам;      me 
— масса частицы;          — постоянная Планка;     E — полная энергия частицы;     U — потенциальная энергия частицы.

Из решения уравнения Шредингера для
конкретного случая находят вид волновой функции Ψ, квадрат ее модуля
|Ψ|2 и вероятность обнаружения частицы.

Эйнштейн и фотоэлектрический эффект

В 1905 году Альберт Эйнштейн объяснил фотоэффект, опираясь на квантовую гипотезу Планка.

Учёный предположил, что электромагнитная волна (которой считался свет) состоит из световых квантов (фотонов). Поглощение света происходит так, что фотоны квантами передают собственную энергию электронам вещества. При фотоэффекте часть электромагнитного излучения отражается от поверхности металла, а другая попадает внутрь и там поглощается. Электрон получает энергию от фотона и совершает работу выхода из вещества, приобретая начальную скорость.

Формула:

Это уравнение объясняет все законы внешнего фотоэлектрического эффекта:

  • Суммарное число фотоэлектронов, покидающих поверхность вещества, прямо пропорционально числу фотонов, попадающих на поверхность вещества.
  • Максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона зависит от частоты электромагнитного излучения и работы выхода, но не зависит от интенсивности электромагнитного излучения.
  • Для каждого вещества есть граница частоты электромагнитного излучения, ниже которой фотоэффект не наблюдается. Эта частота и соответствующая длина волны называется красной границей фотоэффекта. Она зависит от работы выхода, химической природы вещества и состояния поверхности.

Благодаря явлению внешнего фотоэффекта мы смотрим фильмы со звуком. Фотоэлемент позволял превратить звук, запечатлённый на киноплёнке, в слышимый. Свет обычной лампы проходил через звуковую дорожку киноплёнки, преобразовывался и попадал на фотоэлемент. Чем больше света проходило через дорожку, тем громче был звук в динамике.

Формирование квантовой механики

Матричная механика Гейзенберга

В 1925 году Вернер Гейзенберг сформулировал теорию квантовой механики.

Метод Гейзенберга требовал работы с матрицами (математическая таблица, представляющая набор упорядоченных чисел). Отсюда название — матричная механика. Теория объясняла, как происходят квантовые скачки.

Подход Гейзенберга включал два компонента:

  • Полный набор частот, на которых излучает атом вследствие квантового скачка;
  • Вероятности, в соответствии с которыми происходят скачки;

Замысел матричной механики заключался в том, что физические величины, характеризующие частицу, описываются матрицами, изменяющимися во времени.

Волновая механика Шрёдингера

Совершенно другой подход предложил Эрвин Шрёдингер, назвав теорию волновой механикой. Он предположил, что любая материя существует в виде волн.

Волновое уравнение, сформулированное Шрёдингером, относится к ненаблюдаемой величине. Квадрат модуля этой величины показывает распределение вероятности обнаружить частицу в различных точках пространства, то есть отдельная частица представляется как волна, распределённая по всему пространству. Из его метода описание материи стало статистическим, то есть вероятностным.

Позже Поль Дирак доказал, что теории двух учёных были разными представлениями одного и того же и равноценными. Эти два подхода сформировали квантовую механику.

Однако Гейзенберг и Шрёдингер известны другими открытиями.

5.2. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

Объяснение законов фотоэффекта дал в 1905
г. немецкий ученый Альберт Эйнштейн на основе гипотезы световых квантов.
Вслед за Планком он предположил, что, если излучение энергии атомами происходит дискретно в
виде порций или квантов, то ее распространение
в пространстве и поглощение
веществом происходит
порциями (квантами)
.
Энергия кванта равна:

где v
частота падающего света,     h = 6.63 ∙ 10
-34 (Дж/с) — постоянная Планка.

Заметим, что в механике есть величина,
которую называют действием.
Она имеет размерность «энергия × время». Поэтому постоянную Планка иногда называют квантом действия.

Кванты света называются
фотонами.

Поэтому с квантовой точки зрения свет представляет собой поток фотонов.

Комптон-эффект

Во всем предыдущем оставался еще один пункт, не проверенный опытом. Если квант обладает энергией и импульсом, то выполняются ли для него законы сохранения энергии и импульса так же, как для других частиц? И хотя в положительном ответе на этот вопрос никто не сомневался, все же прямая экспериментальная проверка законов сохранения была бы очень полезной. Такая проверка была осуществлена в 1925 году Артуром Комптоном, который изучал, как рассеиваются кванты света, когда они падают на покоящийся электрон. Ком- птон обнаружил, во-первых, что электрон испытывает отдачу, т.е. электрон получает от кванта импульс, а во- вторых, что квант теряет энергию и его частота уменьшается. Качественно картина была похожей на столкновение частиц. Но Комптон показал и больше — что энергия и импульс электрона и кванта в конце соударения как раз такие, какие получаются из уравнений, описывающих законы сохранения.

Применение фотоэффекта

Подробности
Просмотров: 671

«Физика — 11 класс»

Открытие фотоэффекта имело очень большое значение для более глубокого понимания природы света.
Но ценность науки состоит не только в том, что она выясняет сложное и многообразное строение окружающего нас мира, но и в том, что она дает нам в руки средства, используя которые можно совершенствовать производство, улучшать условия материальной и культурной жизни общества.

С помощью фотоэффекта «заговорило» кино, стала возможной передача движущихся изображений (телевидение).
Применение фотоэлектронных приборов позволило создать станки, которые без участия человека изготовляют детали по заданным чертежам.
Основанные на фотоэффекте приборы контролируют размеры изделий лучше человека, вовремя включают и выключают маяки и уличное освещение и т. п.

Все это оказалось возможным благодаря изобретению особых устройств — фотоэлементов, в которых энергия света управляет энергией электрического тока или преобразуется в нее.

Вакуумные фотоэлементы

Современный вакуумный фотоэлемент представляет собой стеклянную колбу, часть внутренней поверхности которой покрыта тонким слоем металла с малой работой выхода.
Это катод 1. Через прозрачное окошко свет проникает внутрь колбы.

В ее центре расположена проволочная петля или диск — анод 2, который служит для улавливания фотоэлектронов.
Анод присоединяют к положительному полюсу батареи.
Фотоэлементы реагируют на видимое излучение и даже на инфракрасные лучи.

При попадании света на катод фотоэлемента в цепи возникает электрический ток, который включает или выключает реле.
Комбинация фотоэлемента с реле позволяет конструировать множество различных «видящих» автоматов. Одним из них является автомат в метро. Он срабатывает (выдвигает перегородку) при пересечении светового пучка, если предварительно не пропущена карточка.

Подобные автоматы могут предотвращать аварии.
На заводе фотоэлемент почти мгновенно останавливает мощный пресс, если рука человека оказывается в опасной зоне.

С помощью фотоэлементов воспроизводится звук, записанный на кинопленке.

Полупроводниковые фотоэлементы

Кроме рассмотренного в этой главе фотоэффекта, называемого более полно внешним фотоэффектом, широко применяется и так называемый внутренний фотоэффект в полупроводниках.
На этом явлении основано устройство фоторезисторов — приборов, сопротивление которых зависит от освещенности.

Кроме того, сконструированы полупроводниковые фотоэлементы, создающие ЭДС и непосредственно преобразующие энергию излучения в энергию электрического тока.
ЭДС, называемая в данном случае фотоЭДС, возникает в области р—n-перехода двух полупроводников при облучении этой области светом.

Под действием света образуются пары электрон — дырка.
В области р—n-перехода существует электрическое поле.
Это поле заставляет неосновные носители полупроводников перемещаться через контакт.
Дырки из полупроводника n-типа перемещаются в полупроводник p-типа, а электроны из полупроводника р-типа — в область n-типа, что приводит к накоплению основных носителей в полупроводниках n- и p-типов.
В результате потенциал полупроводника р-типа увеличивается, а n-типа уменьшается.
Это происходит до тех пор, пока ток неосновных носителей через р—n-переход не сравняется с током основных носителей через этот же переход.
Между полупроводниками устанавливается разность потенциалов, равная фотоЭДС.

Если замкнуть цепь через внешнюю нагрузку, то в цепи пойдет ток, определяемый разностью токов неосновных и основных носителей через р—n-переход.
Сила тока зависит от интенсивности падающего света и сопротивления нагрузки R.
Фотоэлементы с р—n-переходом создают ЭДС порядка 1—2 В.
Их выходная мощность достигает сотен ватт при коэффициенте полезного действия до 20%.

Фотоэлементы малой мощности используются, например, в фотоэкспонометрах.
Особенно широко применяются полупроводниковые фотоэлементы при изготовлении солнечных батарей, устанавливаемых на космических кораблях.
К сожалению, пока такие батареи довольно дороги.
Широко применяются вакуумные и полупроводниковые фотоэлементы, которые создают фотоЭДС.

Следующая страница «Давление света. Химическое действие света»

Назад в раздел «Физика — 11 класс, учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин»

Световые кванты. Физика, учебник для 11 класса — Класс!ная физика

Фотоэффект —
Теория фотоэффекта —
Фотоны —
Применение фотоэффекта —
Давление света. Химическое действие света —
Краткие итоги главы

2.2. Число осцилляторов в единице объёма

Попытаемся объяснить все приведённые выше экспериментальные

факты. Для этого введём представление об осцилляторах, или о стоячих волнах

внутри некоторой полости (например, как на рис.2.1). Количество энергии

излучения Uω dω

определяется числом осцилляторов dNω в

интервале частот (ω, ω + dω), в

объеме V, при средней энергии одного осциллятора

< E >:

Перейдём к вычислению dNω и < E >.

Число осцилляторов

Подсчёт числа осцилляторов мы выполним по методу,

предложенному Рэлеем и реализованному Джинсом. Число осцилляторов dNω равно количеству стоячих волн в рассматриваемом

объеме. Подсчёт числа колебаний можно выполнить и в терминах длин волн

для интервала от l до l + dl,

но удобнее проводить его в шкале волновых чисел

для интервала от k до k + dk. Рассмотрим волны в кубе L Î

L Î L. Введём волновой вектор k проекции которого на оси координат равны kx, ky, kz. Внутри

рассматриваемого объёма по каждому направлению должно укладываться целое число

волн:

где Nx, Ny и Nz — целые положительные числа.

Совокупность таких значений kx, ky, kz обеспечивает наличие узлов на

гранях куба. Модуль k волнового

вектора выражается через его проекции, как модуль любого вектора:

Для нахождения числа осцилляторов

удобно воспользоваться простым геометрическим приёмом. Выберем Nx, Ny и Nz из

формулы (2.4) за координатные оси в воображаемом пространстве чисел. На

рис. 2.1 изображена часть этого пространства. Каждой тройке чисел Nx, Ny и Nz на этом

рисунке отвечает точка. Введём величину

Если числа Nx, Ny и Nz достаточно велики, то их функция N будет меняться почти непрерывно и на рис.(2.1) изобразится

радиус-вектором. Согласно (2.4–6), модуль волнового вектора однозначно

выражается через N:

Отсюда следует, что число волн с

модулем волнового вектора, лежащим в интервале от k

до k + dk, равно числу

чисел N в интервале от N

до N + dN. Последнее

равно числу точек, попадающих в шаровой слой между сферами радиусом N и N + dN, а именно,

Таким образом, число волн, или число

осцилляторов с величиной волнового числа между k и

k + dk и с

определённым направлением поляризации в объёме V =

L3

равно

Последнее равенство справа

получилось после дифференцирования (2.7). Нам осталось умножить полученное

выражение на 2 — число независимых направлений поляризации излучения, и,

воспользовавшись формулой (2.3), перейти к шкале частот:

В силу большой важности (2.8),

приведём другой его вывод, основанный на формуле (2.3) первой главы

для числа квантовых состояний dN в элементе фазового объёма dG.

Проинтегрировав последнюю формулу по всем пространственным координатам,

получим, что число квантов в объёме V и в элементе dpx dpy dpz пространства

импульсов равно V dpx dpy dpz /h3. Теперь перейдём к сферическим координатам в

пространстве импульсов

dpxdpydpz = p2 dp sinq dj dq

и проинтегрируем по угловым

переменным:

Итак, в пространстве импульсов объём

шарового слоя радиусом p и толщиной dp равен 4πpdp. С помощью

формулы pωcперейдём от интервала импульсов фотона к

диапазону частот излучения:

откуда следует выражение для числа

квантов в объёме V и в интервале частот dω с заданным направлением поляризации:

Если теперь учесть наличие у фотона

двух независимых поляризаций, то снова получится формула (2.8). Примечательно,

что она не содержит постоянной Планка. Это обстоятельство служит указанием на

то, что она может быть получена в рамках классического рассмотрения.

Теперь вычислим среднюю энергию осциллятора. Рассмотрим

последовательно случаи классического и квантового осцилляторов

Две самые короткие формулы современной физики

Современная квантовая физика родилась 14 декабря 1900 года. В этот день на заседании Берлинского физического общества выступил с докладом Макс Планк. В его докладе впервые появилась новая мировая постоянная, обозначенная буквой h и названная элементарным квантом действия. Элементарным она была названа потому, что определяла самую малую энергию, которую может нести с собой электромагнитное излучение.

Слово «квант» происходит от латинского quantum, означающего «столько» (например, quantum placet означает «столько, сколько хочется»). Мировую постоянную называют теперь постоянной Планка, и ее наиболее точное значение равно


h = 6,626176·10-34 Дж·с.

Вместо h физики чаще пользуются другой величиной, которая в 2π раз меньше. Ее также называют постоянной Планка и обозначают

\(~\frac{h}{2 \pi} = \hbar\) = 1,0545887·10-34 Дж·с.

Формула Планка записывается так:

\(~E = h \nu.\)

Здесь Е — наименьшая порция света (или радиоволн, или рентгеновских лучей, или любого другого электромагнитного излучения), которую может испустить или поглотить атом, молекула или кристалл при заданной частоте излучения ν. Для видимого света частота определяет «цвет» света. Синему цвету соответствует большая частота, красному — меньшая. Частота колебаний излучения связана с длиной волны λ соотношением

\(~\nu = \frac{c}{\lambda},\)

где c — скорость света, которая в пустоте равна 3·108 м/с (точнее 299792458 м/с). Таким образом, постоянная Планка связывает наименьшую энергию излучения с его частотой, показывая, что отношение E к ν есть всегда величина постоянная.

Формула Планка вместе с формулой Эйнштейна

\(~E = mc^2,\)

связывающей массу и энергию, — две самые короткие и самые знаменитые формулы современной физики.

Попробуем понять, что привело Планка к необходимости квантовой гипотезы и почему формула Планка оказалась столь важной

Световые Кванты

Фотоэлектрическим эффектом (фотоэффектом) называют
явление испускания электронов веществом под действием света.
Оно было открыто Г. Герцем в 1887 г., а первые
экспериментальные исследования были выполнены русским ученым
А. Г. Столетовым, который установил ряд закономерностей
фотоэффекта.

Для решения проблемы излучения энергии абсолютно черным телом
М. Планк в 1900 г. высказал гипотезу: излучение
электромагнитных волн происходит порциями. Энергия порции
излучения пропорциональна частоте излучения:

-34

В дальнейшем при изучении фотоэффекта различными учеными были
открыты его законы. При этом использовалась установка,
собранная по схеме (рис.110).

В стеклянный баллон, из которого выкачали воздух, помещали два
электрода. Внутрь баллона через кварцевое стекло, которое
пропускает ультрафиолетовые лучи, поступает свет. На электроды
подается напряжение, причем освещаемый электрод подключается к
отрицательному полюсу источника тока. Напряжение, подаваемое
на электроды, можно изменять с помощью потенциометра и
измерять вольтметром. Под действием света отрицательно
заряженный электрод испускает электроны, которые, направляясь
к положительно заряженному электроду, образуют электрический
ток. Если, не меняя интенсивность излучения, изменять разность
потенциалов между электродами, то можно получить
вольт-амперную характеристику (зависимость I от U) (рис. 111).

При достижении максимального значения сила тока не меняется.
Максимальное значение силы тока IВ называют
током насыщения. Изменяя в опыте интенсивность
излучения, удалось установить первый закон фотоэффекта:
количество электронов, вырываемое с поверхности металла
за 1 с, прямо пропорционально поглощенной энергии световой
волны
.

Электроны, вылетающие с поверхности катода, имеют некоторую
скорость и могут достичь анода. Чтобы ток стал равен нулю,
необходимо изменить полярность батареи и подать напряжение
U3 (задерживающее напряжение), которое определяется
выражением:

При изменении интенсивности света задерживающее напряжение не
меняется. Оно меняется с изменением частоты падающего света.

Второй закон фотоэффекта: максимальная кинетическая
энергия вырываемых светом электронов линейно возрастает с его
частотой и не зависит от интенсивности падающего
света
.

Если частота света меньше некоторой постоянной величины для
данного вещества, то фотоэффект не наблюдается.

Третий закон фотоэффекта: для каждого вещества
существует «красная граница» — минимальная частота
VК (максимальная длина волны Лк), при
которой фотоэффект еще наблюдается
.

Классическая электродинамика Максвелла не смогла объяснить
второй и третий законы фотоэффекта и, кроме того,
безынерционность этого явления. Квантовая теория легко
объясняет все законы фотоэффекта.

1-й закон. Согласно квантовой теории свет испускается в
виде потока квантов. Чем больше поток квантов, тем больше
интенсивность света и тем большее число электронов будет
выбито с поверхности металла. Если напряжение будет таким, что
все электроны, выбитые фотонами, достигнут электрода
(положительного), то ток насыщения будет зависеть от
интенсивности света.

А. Эйнштейн предположил, что свет не только испускается
квантами, как это показал М. Планк, но и поглощается квантами.
Энергия кванта света расходуется на сообщение электрону
кинетической энергии и на работу его выхода из катода, т. е.

вых

— кинетическая энергия электрона. Уравнение А. Эйнштейна
представляет собой закон сохранения энергии при фотоэффекте.

2-й закон. Примем условие, что один электрон поглощает
один квант. Тогда его потенциальная и кинетическая энергия
увеличивается, при этом совершается работа выхода (А) и
приобретается скорость v. Энергия кванта света hv идет на
совершение работы выхода Авых, т. е. работы,
которую надо совершить для вырывания электронов из металла и
на сообщение ему кинетической энергии:

= hv — А. Так как работа выхода для данного вещества
постоянна, то очевидно, что максимальная кинетическая энергия
фотоэлектронов
(выбитшьяад дейнявием свете) линейно зависит от
частоты.

3-й закон. Как видно из уравнения А. Эйнштейна,
фотоэффект будет наблюдаться, если hv > Авых.
При hv вых фотоэффект не наблюдается. Если
hvкp = А, то электроны освобождаются с нулевой
скоростью. Учитывая, что

Отсюда можно вычислить красную границу фотоэффекта
vкp

Угловой момент

Для Планка термин «квант эффекта» изначально был мотивирован исключительно физическим измерением энергии, умноженной на время постоянной , что называется эффектом . Однако классический механический орбитальный угловой момент имеет такую ​​же размерность, и в целом было показано, что он является естественной константой, определяющей угловой момент.
ЧАС{\ displaystyle h} л→знак равнор→×п→{\ displaystyle {\ vec {l}} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {p}}}ℏ{\ displaystyle \ hbar}

В атомной модели, созданной Нильсом Бором в 1913 году , после того, как она была расширена до атомной модели Бора-Зоммерфельда в 1917 году , вектор орбитального углового момента электрона появляется как дважды квантованная величина. Согласно количеству, как и в модели Бора, он может принимать только целые числа, кратные : с квантовым числом углового момента . Кроме того, применяется условие, что проекция вектора углового момента длины на ось координат может принимать только значения, в которых магнитное квантовое число является целым числом (см. Направленное квантование ), и ограничивается диапазоном от до . Ибо орбиты к главному квантовому числу могут иметь все значения .
л→знак равнор→×п→{\ displaystyle {\ vec {l}} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {p}}}ℏ{\ displaystyle \ hbar}|л→|знак равнолℏ{\ displaystyle | {\ vec {l}} | = l \ hbar} л{\ displaystyle l}лℏ{\ displaystyle l \ hbar}мℏ{\ displaystyle m \ hbar} м{\ displaystyle m}-л{\ displaystyle -l}+л{\ displaystyle + l}п{\ displaystyle n}л{\ displaystyle l}лзнак равно1,2,…,п{\ displaystyle l = 1,2, \ dotsc, n}

В квантовой механике, основанной Вернером Гейзенбергом и Эрвином Шредингером в 1925 году , получается такое же количественное определение орбитального углового момента, как оно представлено оператором . Однако модуль вектора углового момента теперь имеет длину . Кроме того, согласно квантово-механическим расчетам, квантовые числа орбитального углового момента принадлежат электронным состояниям с главными квантовыми числами в атоме водорода , поэтому они на 1 меньше, чем в модели Бора-Зоммерфельда. Это согласуется со всеми наблюдениями.
л→^знак равнор→^×п→^{\ displaystyle {\ hat {\ vec {l}}} = {\ hat {\ vec {r}}} \ times {\ hat {\ vec {p}}}}|л→|знак равнол(л+1)ℏ{\ displaystyle | {\ vec {l}} | = {\ sqrt {l (l + 1)}} \ hbar}п{\ displaystyle n}лзнак равно,1,…,п-1{\ displaystyle l = 0,1, \ dotsc, n-1}

В дополнение к орбитальному угловому моменту частицы (а также системы частиц) также могут иметь спин , который представляет собой собственный угловой момент вокруг их собственного центра тяжести, часто называемый . Вращение также выражается в единицах . Есть частицы, спин которых является целым кратным ( бозонов ), но есть также частицы с полуцелым кратным ( фермионов ). Различие между двумя типами частиц, бозонами и фермионами, является фундаментальным в физике. Расширение углового момента от только целых до полуцелых квантовых чисел является результатом свойств квантово-механического оператора спина . Его три компонента выполняют те же коммутационные соотношения друг с другом, что и компоненты оператора орбитального углового момента . Кроме того , это относится к орбитальному угловому моменту, но не относится к спину.s→{\ displaystyle {\ vec {s}}}ℏ{\ displaystyle \ hbar}ℏ{\ displaystyle \ hbar}ℏ{\ displaystyle \ hbar}s→^{\ displaystyle {\ hat {\ vec {s}}}}л→^{\ displaystyle {\ hat {\ vec {l}}}}л→^⋅п→^знак равно{\ Displaystyle {\ шляпа {\ vec {l}}} \ cdot {\ шляпа {\ vec {p}}} = 0}

Формула Вина и формула Рэлея—Джинса

Теперь пора вернуться к вопросу, который был поставлен в начале статьи: как получить из теории спектральную функцию, которая описывает распределение энергии излучения по спектру, и как она зависит от температуры?

Прежде всего этот вопрос попробовали решить по аналогии, но аналогия с газом не помогла. Число степеней свободы светового потока, как их ни считай, бесконечно велико, и если на каждую степень свободы выделить по одинаковой порции энергии, скажем по kT (световым волнам разумно сопоставить колебательные степени), то общая энергия будет бесконечной при любой конечной температуре. Рассуждение «по аналогии» приводит нас к абсурдному выводу, что вся тепловая энергия стенок (а за ними и всего остального) должна перейти в электромагнитные волны, так что температура всех предметов должна стремиться к абсолютному нулю.

Точные физические измерения говорят, что при каждой температуре тело излучает волны в сравнительно узком интервале спектра. Максимальная энергия излучения сосредоточена вблизи длины волны, которая определяется так называемым законом Вина

\(~\lambda_{max} = \frac bT.\)

Постоянная Вина b = 0,29·10-2 м·К была определена из опыта, но ее происхождение оставалось неясным. Мы увидим дальше, что она связана с постоянной Планка (так же, как и постоянная Стефана — Больцмана).

Закон Вина показывает, что с нагреванием тела максимум спектра смещается в сторону меньших длин волн, т.е. в сторону больших частот (этот закон часто так и называют законом смещения).

Итак, закон Стефана — Больцмана говорит о полной энергии излучения, а закон Вина — о положении максимума в спектре. Другими словами, известно, где спектральная кривая имеет максимум и какова площадь под кривой. Настала очередь обсудить более подробно форму этой кривой.

К началу XX века существовали две формулы, с помощью которых пытались описать форму кривой распределения энергии по спектру. Одну из них предложили два англичанина — это формула Рэлея — Джинса

\(~f(\nu) = \frac{8 \pi \nu^2}{c^3} kT.\)

Сравнение с опытом показало, что формула Рэлея — Джинса правильно описывает спектр только для самых малых частот (слева от максимума кривой).

Если посмотреть на эту формулу с точки зрения числа степеней свободы, то можно дать ей красивое объяснение. Формула Рэлея — Джинса имеет такой вид, как будто участок спектра Δν содержит \(~\frac{8 \pi \nu^2}{c^3}\) степеней свободы, на каждую из которых приходится тепловая энергия kT. Однако эта эффектная интерпретация порочна. Число степеней свободы быстро растет, если переходить ко все большим частотам в ультрафиолетовую часть спектра (направо от максимума кривой). Это значит, что чем больше частота, тем больше энергии содержит спектр, т.е. и по этой формуле все тела должны излучать электромагнитные волны с бесконечно большой энергией.

Этот странный вывод носил драматическое название ультрафиолетовой катастрофы, так как демонстрировал полный провал попыток объяснить свойства спектра, оставаясь в рамках понятий классической физики.

Другую формулу предложил уже известный нам Вин:

\(~f(\nu) = A \nu^3 e^{-\frac{a \nu}{T}}.\)

(Правда, он писал эту формулу несколько иначе, используя не частоту, а длину волны.) В формуле Вина A и a — некоторые постоянные, связанные, как мы это увидим в дальнейшем, с постоянной Планка. Формула Вина описывала ультрафиолетовую часть спектра, но была беспомощна, когда речь заходила о длинноволновой его части.

Итак, перед работами Планка физики знали уже довольно много: площадь под кривой распределения энергии по спектру, положение максимума и форму кривой в «начале» и в «конце». Оставалось сделать последний смелый шаг. Он-то и привел к рождению новой физики.