Самая красивая теорема математики: тождество эйлера

Напряженность поля точечного заряда

У электрического поля, создаваемого точечным зарядом, есть одна особенность — ввиду малой величины самого заряда оно очень слабо влияет на другие наэлектризованные тела. Именно поэтому такие «точки» используют для исследований.

Но прежде чем рассказать, от чего зависит напряженность электрического поля точечного заряда, рассмотрим подробнее, как взаимодействуют эти заряды.

Закон Кулона

Предположим, в вакууме есть два точечных заряженных тела, которые статично расположены на некотором расстоянии друг от друга. В зависимости от одноименности или разноименности они могут притягиваться либо отталкиваться. В любом случае на эти объекты воздействуют силы, направленные по соединяющей их прямой.

Закон Кулона

Модули сил, действующих на точечные заряды в вакууме, пропорциональны произведению данных зарядов и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними.

Силу электрического поля в конкретной точке можно найти по формуле: где q1 и q2 — модули точечных зарядов, r — расстояние между ними.

В формуле участвует коэффициент пропорциональности k, который был определен опытным путем и представляет собой постоянную величину. Он обозначает, с какой силой взаимодействуют два тела с зарядом 1 Кл, расположенные на расстоянии 1 м.

Важно!
Сила взаимодействия двух точечных зарядов остается прежней при появлении сколь угодно большого количества других зарядов в данном поле.

Учитывая все вышесказанное, напряжение электрического поля точечного заряда в некой точке, удаленной от заряда на расстояние r, можно вычислить по формуле:

Итак, мы выяснили, что называется напряженностью электрического поля и от чего зависит эта величина. Теперь посмотрим, как она изображается графическим способом.

Современные подходы

Программа Гильберта по математике заключалась в том, чтобы обосновать эти формальные системы как непротиворечивые по отношению к конструктивным или полуконструктивным системам. В то время как результаты Гёделя о неполноте в значительной степени затрагивали Программу Гильберта, современные исследователи находят, что эпсилон-исчисление предоставляет альтернативы для приближения к доказательствам системной непротиворечивости, как описано в методе замены эпсилон.

Метод замещения Эпсилон

Теория, которая должна быть проверена на непротиворечивость, сначала включается в соответствующее эпсилон-исчисление. Во-вторых, разработан процесс переписывания количественных теорем, которые будут выражены в терминах операций эпсилон с помощью метода подстановки эпсилон. Наконец, необходимо показать процесс нормализации процесса переписывания, чтобы переписанные теоремы удовлетворяли аксиомам теории.

Основные сведения[править | править код]

В физике элементарных частиц в электронвольтах обычно выражается не только энергия Е, но и масса m элементарных частиц. Основанием для этого служит тот факт, что в силу эквивалентности массы и энергии выполняется соотношение m = E/c2, где c — скорость света, E — энергия покоящейся частицы. Поскольку c — фундаментальная постоянная, равная 299 792 458 м/с (точно), не изменяющаяся ни при каких условиях, то указание в качестве характеристики массы частицы её энергии покоя, выраженной в электронвольтах, однозначно определяет значение массы в любых традиционных единицах и к недоразумениям не приводит. В единицах массы 1 эВ = 1,782 661 921…⋅10−36кг (точно), и напротив, 1 кг = 5,609 588 603…⋅1035 эВ (точно). Атомная единица массы близка по значению к 1 ГэВ (с погрешностью около 7 %): 1 а. е. м. = 931,494 102 42(28) МэВ, и напротив, 1 ГэВ = 1,073 544 102 33(32) а. е. м.. Импульс элементарной частицы также может быть выражен в электронвольтах (строго говоря, в эВ/c).

Электронвольт по сравнению с энергиями, характерными для большинства ядерных процессов, — маленькая величина, в этой области физики обычно применяются кратные единицы:

  • килоэлектронвольт (кэВ) — 1000 эВ,
  • мегаэлектронвольт (МэВ) — 1 млн электронвольт,
  • гигаэлектронвольт (ГэВ) — 1 млрд электронвольт,
  • тераэлектронвольт (ТэВ) — 1 трлн электронвольт.

Последнее поколение ускорителей элементарных частиц позволяет достичь нескольких триллионов электронвольт (тераэлектронвольт, ТэВ). Один ТэВ приблизительно равен (кинетической) энергии летящего комара или энергии, выделяющейся при падении маленькой капли воды диаметром в 1 мм (массой ок. 0,5 мг) с высоты 3 см.

Температура, которая является мерой средней кинетической энергии частиц, тоже иногда выражается в электронвольтах, исходя из соотношения температуры и энергии частиц в одноатомном идеальном газе Eкин = 32. В температурных единицах 1 эВ соответствует 11 604,518 12… кельвин (точно) (см. постоянная Больцмана).

В электронвольтах выражают энергию квантов электромагнитного излучения (фотонов). Энергия фотонов с частотой ν в электронвольтах численно равна hν/EэВ, а излучения с длиной волны λ — hc/(λEэВ), где h — постоянная Планка, а EэВ — энергия, равная одному электронвольту, выраженная в единицах той же системы единиц, что и использованная для выражения h, ν и λ. Так как для ультрарелятивистских частиц, в том числе фотонов, λE = hc, то при вычислении энергии фотонов с известной длиной волны (и наоборот) часто полезен коэффициент пересчёта, представляющий собой выраженное в эВ·нм произведение постоянной Планка и скорости света:

hc = 1239,841 984… эВ·нм (точно) ≈ 1240 эВ·нм.

Так, фотон с длиной волны 1 нм имеет энергию 1240 эВ; фотон с энергией 10 эВ имеет длину волны 124 нм и т. д.

В электронвольтах измеряется также работа выхода при внешнем фотоэффекте — минимальная энергия, необходимая для удаления электрона из вещества под действием света.

В химии часто используется молярный эквивалент электронвольта. Если один моль электронов или однозарядных ионов перенесён между точками с разностью потенциалов 1 В, он приобретает (или теряет) энергию Q = 96 485,332 12… Дж (точно), равную произведению 1 эВ на число Авогадро. Эта величина, выраженная в джоулях, численно равна постоянной Фарадея (модулю заряда 1 моля электронов), выраженной в кулонах. Аналогично, если при химической реакции в одном моле вещества выделяется (или поглощается) энергия 96,485 кДж, то соответственно каждая молекула теряет (или получает) около 1 эВ.

В электронвольтах измеряется также ширина распада Γ элементарных частиц и других квантовомеханических состояний, например ядерных энергетических уровней. Ширина распада — это неопределённость энергии состояния, связанная с временем жизни состояния τ соотношением неопределённостей: Γ = ħ/τ). Частица с шириной распада 1 эВ имеет время жизни 6,582 119 569…⋅10−16 с (точно). Аналогично квантовомеханическое состояние с временем жизни 1 с имеет ширину 6,582 119 569…⋅10−16 эВ (точно).

Одним из первых термин «электронвольт» применил американский физик и инженер Карл Дарроу в 1923 году.

Сюрреалистические числа ε

В О числах и играх , классическая экспозиция на сюрреалистических номерах , Конвей представила ряд примеров понятий , которые имели естественные расширения от порядковых к surreals. Одна из таких функций — ; это отображение естественным образом обобщается и включает в себя все сюрреалистические числа в своей области , что, в свою очередь, обеспечивает естественное обобщение для сюрреалистических чисел.
п↦ωп{\ Displaystyle п \ mapsto \ omega ^ {n}}

Естественно рассматривать любую фиксированную точку этой расширенной карты как эпсилон-число, независимо от того, является ли это строго порядковым числом. Некоторые примеры неординальных чисел эпсилон:

ε-1знак равно{,1,ω,ωω,…∣ε-1,ωε-1,…}{\ displaystyle \ varepsilon _ {- 1} = \ {0,1, \ omega, \ omega ^ {\ omega}, \ ldots \ mid \ varepsilon _ {0} -1, \ omega ^ {\ varepsilon _ {0 } -1}, \ ldots \}}

а также

ε12знак равно{ε+1,ωε+1,…∣ε1-1,ωε1-1,…}.{\ displaystyle \ varepsilon _ {1/2} = \ {\ varepsilon _ {0} +1, \ omega ^ {\ varepsilon _ {0} +1}, \ ldots \ mid \ varepsilon _ {1} -1, \ omega ^ {\ varepsilon _ {1} -1}, \ ldots \}.}

Существует естественный способ определения для каждого сюрреалистического числа n , и карта сохраняет порядок. Конвей продолжает определять более широкий класс «неприводимых» сюрреалистических чисел, который включает числа эпсилон как особенно интересный подкласс.
εп{\ displaystyle \ varepsilon _ {n}}

Время примеров!

Примеры всегда делают сухую математику веселее. Маленькая поправка: мы так уже привыкли к формулам типа 2x и обычному, составному росту, что можно легко запутаться (я и сам через это прошел). Почитайте подробнее о простом, составном и непрерывном росте.

Эти примеры демонстрируют плавный, непрерывный рост, а не «скачкообразный» рост, которые происходит в годичные интервалы. Есть способы расчетов прибыли между интервалами, но оставим это для новой статьи.

Пример 1: Наращивание кристаллов

Предположим, у меня есть 300 кг магических кристаллов. Они магические, потому что растут в течение дня: сначала я вижу один кристалл, а через 24 часа он выбрасывает из себя другой кристалл, весом как он сам. (Кристаллы-детки начинают расти сразу же, и с таким же темпом, но я это уже не могу отследить — я могу увидеть только вот эту первую партию новорожденных). Сколько кристаллов будет у меня через 10 дней?

В общем, так как кристаллы начинают расти немедленно, мы имеем дело с непрерывным ростом. Наш коэффициент прироста 100% каждые 24 часа, так что через 10 дней мы получим 300 × e1 × 10 = 6.6 миллионов кг магических самоцветов.

Здесь может быть загвоздка: видите, какая разница между исходным коэффициентом и общим коэффициентом прироста. «Исходный» — это насколько изменяется один кристалл: 100% за 24 часа. Общий прирост равен числу е (2.718х), потому что детки-кристаллы тоже постоянно растут.

В этом случае у нас есть исходный коэффициент (как быстро растут кристаллы), и мы хотим получить совокупный результат (как вся группа вырастет с учетом кристаллов-деток). Если у нас есть общий прирост, а вычислить требуется исходный коэффициент (рост одного кристалла за определенный период времени), мы вычисляем в обратном порядке и используем натуральный логарифм.

Пример 2: максимальная ставка процента

Допустим, у меня есть 120 рублей на счету в банке с 5% ставкой. Мой банк очень щедр, и обеспечивает мне максимально возможную капитализацию. Сколько у меня будет денег через 10 лет?

Наша ставка составляет 5%, и нам повезло с непрерывной капитализацией. После 10 лет мы получим 120 × e0.05 × 10 = 197,85 рублей. Конечно, большинство банков не настолько хороши, чтобы предоставить вам лучший из возможных процентов. Разница между вашей конечной суммой и размером непрерывного прироста показывает, насколько именно они жадничают..

Пример 3: радиоактивный распад

У меня 10 кг радиоактивного материала, который непрерывно распадается с коэффициентом 100% в год. Как много у меня останется через 3 года?

Совсем ничего? Ноль без палочки? Подумайте еще раз.

Распадаться непрерывно на 100% в год — примерно такую ситуацию мы рассматривали в начале. Да, мы начали с 10 кг, и ожидаем потерять все к концу первого же года, так как материал распадается на 10 кг/год.

Наше радиотопливо распадалось несколько месяцев, и осталось всего 5 кг материала. До полного распада осталось полгода? Неа! Теперь мы теряем в весе уже 5 кг/год, так что у нас еще целый год для полного распада!

Мы ждем еще несколько месяцев, и доходим до 2 кг. И конечно же, дальнейший распад уже пойдет со скоростью 2 кг/год, так что у нас еще в запасе полный год (с этого момента). Мы доходим до 1 кг, и опять в запасе целый год, так мы достигнем 0,5 кг, еще один год – улавливаете схему?

С течением времени мы теряем материал, но и скорость распада постепенно уменьшается. Этот постоянно изменяющийся темп и лежит в основе непрерывного роста и распада.

Спустя три года, у нас останется 10 × e-1 × 3 = 0.498 кг. Мы использовали отрицательную степень для распада – нам нужна дробь (1/eп × в) вместо произведения роста (еп × в). (Распад обычно дается в контексте «полураспада» — мы поговорим о преобразовании этих показателей в другой статье).

Больше примеров

Если вы хотите более сложные примеры, попробуйте формулу опционов Блэка-Шоулза (число е используется для экспоненциального снижения в цене) или радиоактивный распад. Цель таких примеров — дать человеку увидеть еп × в в формуле и понять, почему она там: это и моделирует прирост или распад.

Сейчас вы знаете, почему константа называется «е», а не «пи» или другое какое-то число: е, возведенная в степень «п × в», позволяет оценить влияние коэффициента прироста П и времени В.

Непрерывные дроби

Хотя простых непрерывных дробей нет, есть несколько обобщенных непрерывных дробей , в том числе:

пер⁡(1+Икс)знак равноИкс11-Икс22+Икс33-Икс44+Икс55-⋯знак равноИкс1-Икс+12Икс2-1Икс+22Икс3-2Икс+32Икс4-3Икс+42Икс5-4Икс+⋱{\ displaystyle {\ begin {align} \ ln (1 + x) & = {\ frac {x ^ {1}} {1}} — {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {3}} — {\ frac {x ^ {4}} {4}} + {\ frac {x ^ {5}} {5}} — \ cdots \\ & = {\ cfrac {x} {1-0x + {\ cfrac {1 ^ {2} x} {2-1x + {\ cfrac {2 ^ {2} x} {3-2x + {\ cfrac {3 ^ {2 } x} {4-3x + {\ cfrac {4 ^ {2} x} {5-4x + \ ddots}}}}}}}}} \ end {выровнено}}}
пер⁡(1+Иксу)знак равноИксу+1Икс2+1Икс3у+2Икс2+2Икс5у+3Икс2+⋱знак равно2Икс2у+Икс-(1Икс)23(2у+Икс)-(2Икс)25(2у+Икс)-(3Икс)27(2у+Икс)-⋱{\ displaystyle {\ begin {align} \ ln \ left (1 + {\ frac {x} {y}} \ right) & = {\ cfrac {x} {y + {\ cfrac {1x} {2 + {\ cfrac {1x} {3y + {\ cfrac {2x} {2 + {\ cfrac {2x} {5y + {\ cfrac {3x} {2+ \ ddots}}}}}}}}}}}} \\ & = {\ cfrac {2x} {2y + x — {\ cfrac {(1x) ^ {2}} {3 (2y + x) — {\ cfrac {(2x) ^ {2}} {5 (2y + x) — {\ cfrac {(3x) ^ {2}} {7 (2y + x) — \ ddots}}}}}}}} \ end {выровнено}}}

Эти непрерывные дроби — особенно последние — быстро сходятся для значений, близких к 1. Однако натуральные логарифмы гораздо больших чисел могут быть легко вычислены путем многократного сложения логарифмов меньших чисел с такой же быстрой сходимостью.

Например, поскольку 2 = 1,25 3 × 1,024, натуральный логарифм 2 может быть вычислен как:

пер⁡2знак равно3пер⁡(1+14)+пер⁡(1+3125)знак равно69-1227-2245-3263-⋱+6253-32759-621265-921771-⋱.{\ displaystyle {\ begin {align} \ ln 2 & = 3 \ ln \ left (1 + {\ frac {1} {4}} \ right) + \ ln \ left (1 + {\ frac {3} {125 }} \ right) \\ & = {\ cfrac {6} {9 — {\ cfrac {1 ^ {2}} {27 — {\ cfrac {2 ^ {2}} {45 — {\ cfrac {3 ^ {2}} {63- \ ddots}}}}}}}} + {\ cfrac {6} {253 — {\ cfrac {3 ^ {2}} {759 — {\ cfrac {6 ^ { 2}} {1265 — {\ cfrac {9 ^ {2}} {1771- \ ddots}}}}}}}}. \ End {align}}}

Кроме того, поскольку 10 = 1,25 10 × 1,024 3 , даже натуральный логарифм 10 может быть вычислен аналогично:

пер⁡10знак равно10пер⁡(1+14)+3пер⁡(1+3125)знак равно209-1227-2245-3263-⋱+18253-32759-621265-921771-⋱.{\ displaystyle {\ begin {align} \ ln 10 & = 10 \ ln \ left (1 + {\ frac {1} {4}} \ right) +3 \ ln \ left (1 + {\ frac {3} { 125}} \ right) \\ & = {\ cfrac {20} {9 — {\ cfrac {1 ^ {2}} {27 — {\ cfrac {2 ^ {2}} {45 — {\ cfrac {3 ^ {2}} {63- \ ddots}}}}}}}} + {\ cfrac {18} {253 — {\ cfrac {3 ^ {2}} {759 — {\ cfrac {6 ^) {2}} {1265 — {\ cfrac {9 ^ {2}} {1771- \ ddots}}}}}}}}. \ End {align}}}

Оператор Эпсилон

Нотация Гильберта

Для любого формального языка L расширьте L , добавив оператор эпсилон, чтобы переопределить квантификацию:

  • (∃Икс)А(Икс) ≡ А(ϵИкс А){\ Displaystyle (\ существует х) А (х) \ \ эквив \ А (\ эпсилон х \ А)}
  • (∀Икс)А(Икс) ≡ А(ϵИкс (¬А)){\ Displaystyle (\ forall x) A (x) \ \ Equiv \ A (\ epsilon x \ (\ neg A))}

Предполагаемая интерпретация ϵ x A — это некоторое x , удовлетворяющее A , если оно существует. Другими словами, ϵ x A возвращает некоторый член t такой, что A ( t ) истинно, в противном случае он возвращает некоторый термин по умолчанию или произвольный член. Если более чем один член может удовлетворить A , то любой из этих терминов (который делает A истинным) может быть выбран недетерминированно. Равенство должно быть определено в L , и единственные правила, необходимые для L, расширенного оператором epsilon, — это modus ponens и подстановка A ( t ) для замены A ( x ) для любого члена t .

Обозначение Бурбаки

В нотации тау-квадрата из Теории множеств Н. Бурбаки кванторы определяются следующим образом:

  • (∃Икс)А(Икс) ≡ (τИкс(А)|Икс)А{\ Displaystyle (\ существует х) А (х) \ \ экви \ (\ тау _ {х} (А) | х) А}
  • (∀Икс)А(Икс) ≡ ¬(τИкс(¬А)|Икс)¬А ≡ (τИкс(¬А)|Икс)А{\ Displaystyle (\ forall x) А (х) \ \ эквив \ \ негатив (\ тау _ {х} (\ нег А) | х) \ нег А \ \ эквив \ (\ тау _ {х} (\ нег A) | x) A}

где A — отношение в L , x — переменная, и ставит a в начале A , заменяет все экземпляры x на и связывает их обратно . Тогда пусть Y будет сборка, (Y | х) обозначает замену всех переменных х в А с Y .
τИкс(А){\ Displaystyle \ тау _ {х} (А)}τ{\ Displaystyle \ тау}{\ displaystyle \ square}τ{\ Displaystyle \ тау}

Это обозначение эквивалентно обозначению Гильберта и читается так же. Он используется Бурбаки для определения кардинального присваивания, поскольку они не используют аксиому замещения .

Такое определение кванторов ведет к большой неэффективности. Например, расширение первоначального определения числа один Бурбаки с использованием этого обозначения имеет длину приблизительно 4,5 × 10 12 , а для более позднего издания Бурбаки, в котором это обозначение сочетается с определением упорядоченных пар Куратовски , это число возрастает примерно до 2,4 × 10 54 .

В исчислении

Графики функций xa x показаны для a = 2 (пунктир), a = e (синий) и a = 4 (пунктир). Все они проходят через точку (0,1) , но красная линия (имеющая наклон 1 ) касается только точки e x .

Значение функции натурального логарифма для аргумента e , то есть ln e , равно 1.

Основная мотивация введения числа e , особенно в исчислении , заключается в выполнении дифференциального и интегрального исчисления с экспоненциальными функциями и логарифмами . Общая экспоненциальная функция y = a x имеет производную, задаваемую пределом :

ddИксаИксзнак равноLimчас→аИкс+час-аИксчасзнак равноLimчас→аИксачас-аИксчасзнак равноаИкс⋅(Limчас→ачас-1час).{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dx}} a ^ {x} & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {a ^ {x + h} -a ^ { x}} {h}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {a ^ {x} a ^ {h} -a ^ {x}} {h}} \\ & = a ^ {x } \ cdot \ left (\ lim _ {h \ to 0} {\ frac {a ^ {h} -1} {h}} \ right). \ end {выравнивается}}}

Предел в скобках справа не зависит от переменной x . Его значение оказывается логарифмом от a до основания e . Таким образом, когда значение устанавливается на е , этот предел равен к 1 , и поэтому один приходит к следующему простое тождество:

ddИксеИксзнак равноеИкс.{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x}.}

Следовательно, экспоненциальная функция с основанием e особенно подходит для вычислений. Выбор e (в отличие от некоторого другого числа в качестве основания экспоненциальной функции) значительно упрощает вычисления с использованием производных.

Другая мотивация исходит из рассмотрения производной от основания логарифма (т. Е. Log a x ) для  x > 0 :

ddИксбревноа⁡Иксзнак равноLimчас→бревноа⁡(Икс+час)-бревноа⁡(Икс)часзнак равноLimчас→бревноа⁡(1+часИкс)Икс⋅часИксзнак равно1Иксбревноа⁡(Limты→(1+ты)1ты)знак равно1Иксбревноа⁡е,{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dx}} \ log _ {a} x & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ log _ {a} (x + h ) — \ log _ {a} (x)} {h}} \\ & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ log _ {a} (1 + h / x)} {x \ cdot h / x}} \\ & = {\ frac {1} {x}} \ log _ {a} \ left (\ lim _ {u \ to 0} (1 + u) ^ {\ frac {1}) {u}} \ right) \\ & = {\ frac {1} {x}} \ log _ {a} e, \ end {align}}}

где сделана замена u = h / x . Основание — логарифм числа e равен 1, если a равно e . Так символически,

ddИксбревное⁡Иксзнак равно1Икс.{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ log _ {e} x = {\ frac {1} {x}}.}

Логарифм с этим специальным основанием называется натуральным логарифмом и обозначается как ln ; он хорошо ведет себя при дифференцировании, поскольку нет неопределенного предела для проведения расчетов.

Таким образом, есть два способа выбора таких специальных номеров: a . Один из способов — установить производную экспоненциальной функции a x равной a x и найти a . Другой способ заключается в установлении производной от основания к логарифму 1 / х и решить для . В каждом случае приходит к удобному выбору базы для проведения расчетов. Оказывается, эти два решения для a на самом деле одно и то же : число e .

Альтернативные характеристики

Пять цветных областей имеют равную площадь и определяют единицы гиперболического угла вдоль гиперболы. Иксузнак равно1.{\ displaystyle xy = 1.}

Возможны и другие характеристики e : одна — как предел последовательности , другая — как сумма бесконечного ряда, а третьи полагаются на интегральное исчисление . До сих пор были введены следующие два (эквивалентных) свойства:

  1. Число e — это уникальное положительное действительное число такое, что .ddтетзнак равноет{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} e ^ {t} = e ^ {t}}
  2. Число e — это уникальное положительное действительное число такое, что .ddтбревное⁡тзнак равно1т{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ log _ {e} t = {\ frac {1} {t}}}

Можно следующие четыре характеристики

  1. Число е — это предел
    езнак равноLimп→∞(1+1п)п{\ displaystyle e = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n}}

    Сходным образом:

    езнак равноLimт→(1+т)1т{\ displaystyle e = \ lim _ {t \ to 0} \ left (1 + t \ right) ^ {\ frac {1} {t}}}
  2. Число е — это сумма бесконечного ряда
    езнак равно∑пзнак равно∞1п!знак равно1!+11!+12!+13!+14!+⋯,{\ displaystyle e = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} = {\ frac {1} {0!}} + {\ frac {1} {1 !}} + {\ frac {1} {2!}} + {\ frac {1} {3!}} + {\ frac {1} {4!}} + \ cdots,}
    где п ! является факториала из п .
  3. Число e — это уникальное положительное действительное число такое, что
    ∫1е1тdтзнак равно1.{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {e} {\ frac {1} {t}} \, dt = 1.}
  4. Если f ( t ) — экспоненциальная функция , то величина является константой, иногда называемой постоянной времени (это величина, обратная константе экспоненциального роста или константе спада ). Постоянная времени является время, необходимое для экспоненциальной функции увеличения на коэффициент е : .τзнак равнож(т)ж′(т){\ Displaystyle \ тау = е (т) / е ‘(т)}ж(т+τ)знак равноеж(т){\ Displaystyle е (т + \ тау) = еф (т)}

Нюансы ручной цветовой разметки

Цветовая маркировка проводов с помощью кембрика

Ручная разметка применяется в момент использования проводов одинакового цвета в домах старой застройки. Перед началом работ составляется схема с цветовыми значениями проводников. В процессе укладки помечать токоведущие жилы можно:

  • стандартными кембриками;
  • кембриками с термоусадкой;
  • изоляционной лентой.

Правила допускают использование специальных наборов для маркировки. Точки установки маркеров для обозначения нуля и фазы указаны в ПУЭ и ГОСТе. Это концы провода и места его присоединения к шине.

Специфика разметки двухжильного провода

Термоусадочная трубка для проводов

Если подключение кабеля к сети уже сделано, можно использовать индикаторную отвертку. Сложность использования инструмента заключается в невозможности определения нескольких фаз. Их понадобится прозванивать мультиметром. Для предотвращения путаницы можно пометить электрический проводник цветом:

  • выбрать трубки с термоусадкой или изоленты для обозначения нуля и фазы;
  • работать с проводниками не по всей длине, а только на местах соединений и стыков.

Разметка трехжильного провода

При помощи мультиметра можно определить расположение фазы, ноля, и заземления

Для поиска фазы, заземления и нуля в трехжильном проводе целесообразно применять мультиметр. Его ставят на режим переменного напряжения и аккуратно щупами касаются фазы, потом – оставшихся жил. Показатели тестера следует записать и сравнить. В комбинации «фаза-земля» напряжение будет меньшим, чем в комбинации «фаза-ноль».

После уточнения линий можно делать маркировку. Понять, фаза – L или N, поможет соответствующая расцветка. У нуля она будет голубой или синей, у плюса – любой другой.

Порядок разметки пятипроводной системы

Электропроводка с трехфазной сети выполняется только пятижильным кабелем. Три проводника будут фазным, один – нейтральным, один – защитным заземлением. Цветовая маркировка применяется согласно нормативным требованиям. Для защиты используется желто-зеленая оплетка, для нуля – синяя или голубая, для фазы – из перечня разрешенных оттенков.

Как маркировать совмещенные провода

Для упрощения процесса монтажа проводки используются кабели с двумя или четырьмя жилами. Линия защиты тут соединяется с нейтралью. Буквенный индекс провода – PEN, где PE обозначает заземляющий, а N – нулевой проводник.

Согласно ГОСТу, используется особая цветовая маркировка. По длине совмещенный кабель будет желто-зеленым, а кончики и точки соединения – синими.

История запуска

Ракеты Epsilon запускаются с площадки в Космическом центре Учиноура, ранее использовавшейся ракетами Mu . Первый полет с научным спутником SPRINT-A стартовал в 05:00 UTC (14:00 JST) 14 сентября 2013 года. Стоимость запуска составила 38 миллионов долларов.

27 августа 2013 года первый запланированный запуск ракеты был прерван за 19 секунд до старта из-за неудачной передачи данных. Наземный компьютер пытался получить данные от ракеты за 0,07 секунды до фактической передачи информации.

Первоначальная версия Epsilon имеет полезную нагрузку на низкую околоземную орбиту до 500 килограммов, а рабочая версия, как ожидается, сможет вывести 1200 килограммов (2600 фунтов) на орбиту 250 на 500 километров (160 на 310 миль), или 700 кг (1500 фунтов) на круговую орбиту на расстояние 500 километров (310 миль) с помощью ступени, заправляемой гидразином .

Номер рейса. Дата / время ( UTC ) Ракета, Конфигурация Запустить сайт Полезная нагрузка Масса полезной нагрузки Орбита Покупатель Результат
запуска
1 14 сентября 2013 г. 05:00:00 Эпсилон 4 стадии Космический центр Учиноура СПРИНТ-А (ХИСАКИ) 340 кг ЛЕО JAXA Успех
Демонстрационный полет
2 20 декабря 2016 г. 11:00:00 Эпсилон 3 стадии Космический центр Учиноура ERG (ARASE) 350 кг Геоцентрический JAXA Успех
3 17 января 2018 г. 21:06:11 Эпсилон 4 стадии Космический центр Учиноура 570 кг SSO Японские космические системы Успех
4 18 января 2019 г., 00:50:20 Эпсилон 4 стадии Космический центр Учиноура Рапис-1 MicroDragon RISESAT ALE-1 OrigamiSat-1 Aoba-VELOX-IV НЕКСУС 200 кг SSO JAXA Успех
Демонстрация инновационных спутниковых технологий-1 ; Демонстрация компонентов и проверка технологий.