Целые числа — определение, свойства и арифметические действия с ними

Целые положительные и целые отрицательные числа

Изучив материал статьи положительные и отрицательные числа, мы из всех целых чисел можем выделить целые положительные и целые отрицательные числа.

Определение.

Целые положительные числа — это целые числа со знаком плюс.

Например, число 5 – это целое положительное число. Другими примерами целых положительных чисел являются числа 11, 501, 40 000 003.

Определение.

Целые отрицательные числа – это целые числа со знаком минус.

Приведем несколько примеров целых отрицательных чисел. Числа −6, −5 555, −12 121 – целые отрицательные.

Число нуль (число ) не является ни целым положительным, ни целым отрицательным числом. Нуль как бы отделяет целые отрицательные числа от целых положительных.

Вообще, в силу определения противоположных чисел, любое число, противоположное целому положительному числу, есть целое отрицательное число. И наоборот, любое число, противоположное целому отрицательному числу, есть целое положительное. Это утверждение позволяет дать определения целых положительных и целых отрицательных чисел на основе их сравнения с нулем (здесь нужно владеть материалом статьи сравнение целых чисел).

Определение.

Целые положительные числа – это целые числа, которые больше нуля.

Определение.

Целые отрицательные числа – это целые числа, которые меньше нуля.

Целые положительные и отрицательные числа можно также определить по их положению на координатной прямой. На горизонтальной координатной прямой точки, координатами которых являются целые положительные числа, лежат правее начала отсчета. В свою очередь точки с целыми отрицательными координатами располагаются левее точки O.

Понятно, что множество всех целых положительных чисел представляет собой множество натуральных чисел. В свою очередь множество всех целых отрицательных чисел – это множество всех чисел, противоположных натуральным числам.

Отдельно обратим Ваше внимание на то, что любое натуральное число мы можем смело назвать целым, а любое целое число мы НЕ можем назвать натуральным. Натуральным мы можем назвать лишь любое целое положительное число, так как целые отрицательные числа и нуль не являются натуральными.

Мощность

В мощность множества целых чисел равно ℵ (алеф-нуль). Это легко демонстрируется построением биекция, то есть функция, которая инъективный и сюръективный из ℤ к ℕ.Если ℕ₀ ≡ {0, 1, 2, …} затем рассмотрим функцию:

ж(Икс)={2|Икс|,еслиИкс≤2Икс−1,еслиИкс>{ displaystyle f (x) = { begin {cases} 2 | x |, & { mbox {if}} x leq 0 2x-1, & { mbox {if}} x> 0 конец {case}}}

{… (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,0) (1,1) (2,3) (3,5) …}

Если ℕ ≡ {1, 2, 3, …} затем рассмотрим функцию:

грамм(Икс)={2|Икс|,еслиИкс<2Икс+1,еслиИкс≥{ displaystyle g (x) = { begin {cases} 2 | x |, & { mbox {if}} x

{… (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,1) (1,3) (2,5) (3,7) …}

Если домен ограничен ℤ затем каждый член ℤ имеет одного-единственного члена-корреспондента ℕ и по определению кардинального равенства оба множества имеют одинаковую мощность.

[править] Символы и изображения

Современная цифра 0 обычно записывается в виде круга или эллипса. Традиционно многие шрифты делают заглавную букву O более округлой, чем более узкую эллиптическую цифру 0. Пишущие машинки изначально не делали различий по форме между О и 0; в некоторых моделях даже не было отдельной клавиши для цифры 0. Это различие стало заметно на современных символьных дисплеях.

Косую черту можно использовать, чтобы отличить число от буквы. Цифра 0 с точкой в центре, похоже, возникла как опция на дисплеях IBM 3270 и продолжена в некоторых современных компьютерных шрифтах, таких как Andalé Mono, и в некоторых системах бронирования авиакомпаний. В одном варианте вместо точки используется короткая вертикальная полоса. Некоторые шрифты, разработанные для использования с компьютерами, сделали одну из пары заглавная буква O — цифра 0 более округлой, а другую — более угловатой (ближе к прямоугольнику). Еще одно различие заключается в шрифте, препятствующем фальсификации, который используется на немецких автомобильных номерных знаках, путем разрезания цифры 0 в верхнем правом углу. Иногда цифра 0 используется либо исключительно, либо вовсе не используется, чтобы избежать путаницы.

Синтаксические функции

Если числительные употребляются без существительных, то обозначают отвлеченное число: Шесть да два — восемь. Если числительные употребляются с существительными, то обозначают количество предметов: Двадцать пять мячей положили в корзину. Если числительное стоит в им.п. (вин.п.), то оно управляет существительным:

  • числительные два, три, четыре, а также числительные, оканчивающиеся на эти числа (двадцать два), требуют постановки существительного в родительный падеж единственного числа: два обруча, три обруча;
  • остальные числительные (от пяти) требуют постановки существительного в родительный падеж множественного числа: пять обручей, одиннадцать обручей.

Если числительное стоит в косвенных падежах, то оно зависит от существительного и согласуется с ним: род.п. — (чего?) пяти мячей, дат.п. — (чему?) пяти мячам, тв.п. — (чем?) пятью мячами.

Синтаксические функции в предложении разнообразны.
Подлежащее и сказуемое: Три да четыре — семь.
Дополнение: От семи отнять три.
Обстоятельство: В две тысячи восемнадцатом году в России пройдет Чемпионат мира по футболу.

Описание изменения величин

Класс целых значений применяется для описания изменения различных величин. В частности, с их помощью решают простые задачи: на складе хранится 400 насосов, 300 привезли вчера, а 200 увезли сегодня, нужно найти остаток. Если добавилось 300 предметов, то их записывают со знаком плюс: 400+300 = 700. А для уменьшения количества перед числом ставят минус: 700−200 = 500. Искомое выражение — 500 насосов. Если никаких передвижений товаров не будет, то на неизменность количества укажет нуль.

А также они применяются в финансовых расчетах. Если человек должен отдать кому-то 10 долларов, то на данный момент у него есть -10 долл. То есть долги можно записать отрицательными числами, а прибыль — положительными. Общую задолженность также узнают с помощью целого ряда: если за электроэнергию нужно заплатить 200 рублей, а за квартплату отдать 100, то вместе счет за коммунальные платежи -200+(-100) = -300 р.

Теоретико-порядковые свойства

ℤ это полностью заказанный набор без верхняя или нижняя граница. Порядок ℤ дан кем-то::… −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < …Целое число положительный если он больше чем нуль, и отрицательный если он меньше нуля. Ноль не определяется ни отрицательным, ни положительным.

Порядок целых чисел совместим с алгебраическими операциями следующим образом:

  1. если а < б и c < d, тогда а + c < б + d
  2. если а < б и 0 < c, тогда ac < до н.э.

Отсюда следует, что ℤ вместе с указанным выше порядком заказанное кольцо.

Целые числа — единственные нетривиальные полностью заказанный абелева группа чьи положительные элементы хорошо организованный. Это эквивалентно утверждению, что любой Нётерян оценочное кольцо является либо поле—Или кольцо дискретной оценки.

Определение иррациональных чисел

Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби:

Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби.

Бесконечная периодическая десятичная дробь — это такая дробь, десятичные знаки которой повторяются в виде группы цифр или одного и того же числа.

Примеры иррациональных чисел:

  • π = 3,1415926…
  • √2 = 1,41421356…
  • e = 2,71828182…
  • √8 = 2.828427…
  • -√11= -3.31662…

Множество иррациональных чисел договорились обозначать латинской буквой I.

Действительныеили вещественные числа — это все рациональные и иррациональные числа: положительные, отрицательные и нуль.

Если натуральное число n не является точным квадратом, т. е. n ≠ k2, где k ∈ Q, то √n — иррациональное число.

[править] Математика

0 — это целое число, непосредственно предшествующее . Ноль — четное число, потому что оно делится на 2 без остатка. 0 не является ни положительным, ни отрицательным. Многие определения включают 0 как натуральное число, и в этом случае это единственное натуральное число, которое не является положительным. Ноль — это число, которое определяет количество или величину нулевого размера. В большинстве культур 0 был определен до того, как была принята идея о негативных вещах (то есть о количестве меньше нуля).

Как значение или число, ноль — это не то же самое, что цифра ноль, используемая в системах счисления с позиционным обозначением. Последовательные позиции цифр имеют более высокий вес, поэтому цифра 0 используется внутри числа, чтобы пропустить позицию и присвоить соответствующий вес предыдущим и последующим цифрам. Нулевая цифра не всегда необходима в позиционной системе счисления (например, число 02). В некоторых случаях для различения числа может использоваться начальный ноль.

Элементарная алгебра

Число 0 — это наименьшее целое неотрицательное число. Натуральное число, следующее за 0, равно 1, и никакое натуральное число не предшествует 0. Число 0 может или не может рассматриваться как натуральное число, но это целое число, а следовательно, рациональное число и действительное число (а также алгебраическое число и комплексное число).

Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным, и обычно отображается как центральное число в числовой строке. Это не простое и не составное число. Он не может быть простым, потому что он имеет бесконечное количество факторов, и не может быть составным, потому что он не может быть выражен как произведение простых чисел (поскольку 0 всегда должен быть одним из факторов). Однако ноль является четным (то есть кратным 2, а также кратным любому другому целому, рациональному или действительному числу).

Рекомендации

  1. Вайсштейн, Эрик В. . MathWorld .
  2. Вайсштейн, Эрик В. . MathWorld .
  3. ^ . Математическое хранилище . 1 марта 2020 . Дата обращения 11 августа 2020 .
  4. Вайсштейн, Эрик В. . mathworld.wolfram.com . Дата обращения 11 августа 2020 .
  5. Миллер, Джефф (29 августа 2010 г.). . Архивировано из на 31 января 2010 года . Проверено 20 сентября 2010 года .
  6. Питер Джефсон Кэмерон (1998). . Издательство Оксфордского университета. п. 4. ISBN
  7. Кейт Пледгер и Дэйв Уилкинс, «Edexcel AS и модульная математика уровня A: основная математика 1» Пирсон, 2008 г.
  8. LK Тернер, FJ Бадденом, D Найтон, «Высшая математика», книга 2, Longman 1975.
  9. Вайсштейн, Эрик В. . MathWorld .
  10. . Британская энциклопедия . Дата обращения 11 августа 2020 .
  11. . Математическое хранилище . 24 февраля 2019 . Дата обращения 11 августа 2020 .
  12. Серж, Лэнг (1993). Алгебра (3-е изд.). Эддисон-Уэсли. С. 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0.
  13. Уорнер, Сет (2012). . Дуврские книги по математике. Курьерская корпорация. Теорема 20.14, с. 185. ISBN.
  14. Мендельсон, Эллиотт (2008). . Дуврские книги по математике. Courier Dover Publications. п. 86. ISBN.
  15. Иворра Кастильо: Алгебра
  16. Фробишер, Лен (1999). . Серия «Преподавание начальной математики» Стэнли Торнса. Нельсон Торнс. п. 126. ISBN.
  17. ^ Кэмпбелл, Говард Э. (1970). . Appleton-Century-Crofts. п.  . ISBN
  18. Garavel, Hubert (2017). . Итоги 23-го Международного семинара по методам алгебраического развития (WADT’2016). Конспект лекций по информатике. 10644 . Springer. С. 120–134. DOI . 26 января 2018 года . Проверено 25 января 2018 года .

Неположительные и неотрицательные целые числа

Дадим определения.

Определение 6. Неотрицательные целые числа

Неотрицательные целые числа — это положительные целые числа и число нуль.

Определение 7. Неположительные целые числа

Неположительные целые числа — это отрицательные целые числа и число нуль.

Как видим, число нуль не является ни положительным, ни отрицательным.

Примеры неотрицательных  целых чисел: 52, 128, .

Примеры неположительных целых чисел: -52, -128, .

Неотрицательное число — это число, большее или равное нулю. Соответственно, неположительное целое число — это число, меньшее или равное нулю.

Термины «неположительное число» и «неотрицательное число» используются для краткости. Например, вместо того, чтобы говорить, что число a — целое число, которое больше или равно нулю, можно сказать: a — целое неотрицательное число.

Примечания

  1. Здесь имеется в виду самое древнее понимание натуральных чисел с первым элементом единица: 1,2,3,4,5…{\displaystyle 1,2,3,4,5\dots }
  2. ↑ , с. 111—113.
  3. , с. 37.
  4. Paul Pollack.  (недоступная ссылка). Дата обращения: 22 октября 2017.
  5. , с. 18.
  6. , с. 114.
  7. ↑ , с. 24—28.
  8. ↑ , с. 39.
  9. , с. 114—115.
  10. ↑ , с. 172—173.
  11. ↑ Деление // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2.
  12. Сушкевич А. К. Теория чисел. Элементарный курс. — Х.: Изд-во Харьковского университета, 1954. — С. 5.
  13. , с. 20.
  14. // Элементы теории делимости: Методические рекомендации для студентов факультета педагогики и психологии детства / сост. С. В. Поморцева, О. В. Иванова. — Омск: Омский гос. пед. университет, 2008. — 37 с.
  15. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 1. Основные алгоритмы. — М.: Мир, 1976. — С. 68. — 735 с.
  16. Мах Э. Познание и заблуждение // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. — М.: Мир, 1979. — С. 74 (подстрочное примечание). — 592 с.: «прежде чем возникнет понятие о числе, должен существовать опыт, что в известном смысле равноценные объекты существуют множественно и неизменно».
  17. Ламберто Гарсия дель Сид. Особые числа других культур // Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии. — DeAgostini, 2014. — Т. 21. — С. 115. — 159 с. — (Мир математики). — ISBN 978-5-9774-0716-8.
  18. Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — С. 132—135. — 376 с.
  19. , с. 113—114.
  20. Сухотин А. К. Превратности научных идей. М.: Мол. гвардия. 1991, стр. 34.
  21. Панов В. Ф. Отрицательные числа // Математика древняя и юная. — Изд. 2-е, исправленное. — М.: МГТУ им. Баумана, 2006. — С. 399. — 648 с. — ISBN 5-7038-2890-2.
  22. Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 164.
  23. Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III. — С. 48—49.
  24. Сивухин Д. В. § 38. Четыре квантовых числа электрона и тонкая структура спектральных термов // Общий курс физики. — М., 2005. — Т. V. Атомная и ядерная физика. — С. 226.
  25. Карманов В. Г. Математическое программирование. — М.: Наука, 1986. — 288 с.
  26. Винберг Э. Б. Курс алгебры. 2-е изд. — М.: Изд-во МЦНМО, 2013. — С. 15—16, 113—114. — 590 с. — ISBN 978-5-4439-0209-8.
  27. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — С. 94. — 160 с.
  28. Дональд Кнут. Искусство программирования, том I. Основные алгоритмы. — М.: Мир, 1976. — С. 571 (15b). — 736 с.
  29. , с. 100.
  30. , с. 95—96.
  31. , с. 160—162.
  32. , с. 96—98.
  33. , с. 170—171.
  34. , с. 98.
  35. ↑ , с. 100—102.
  36. ↑ , с. 162—168.
  37. Окунев Л. Я. Целые комплексные числа. — М.: Гос. уч.-пед. изд-во Наркомпроса РСФСР, 1941. — 56 с.
  38. Eric W. Weisstein. . Дата обращения: 19 августа 2017.

Делимость чисел. Признаки делимости. Основная теорема арифметики

В этой статье – необходимая теория для решения задачи 19 Профильного ЕГЭ по математике. Но это не все. Знания о числах и их свойствах, признаки делимости и формула деления с остатком могут пригодиться вам при решении многих задач ЕГЭ.
Повторим еще раз, какие бывают числа.

Натуральные числа — это числа 1,2,3, … – те, что мы используем для счёта предметов. Ноль не является натуральным числом. Множество натуральных чисел обозначается .

Целые числа — это 0,±1,±2,±3 … Множество целых чисел обозначается .

Рациональные — числа, которые можно записать в виде
дроби , где – целое, а – натуральное.
Например, . Рациональные числа – это периодические десятичные дроби. Множество рациональных чисел обозначается .

Иррациональные числа – те, которые нельзя записать в виде или в виде периодической десятичной дроби. Числа – иррациональные.
Множества рациональных и иррациональных чисел вместе образуют множество действительных чисел .

Число делится на число , если найдется такое число такое, что . Например, 15 делится на 3, а 49 делится на 7. Обозначение:

  • — Если делится на , то число называется делителем числа .
  • — Если числа и делятся на , то тоже делится на .
  • — Если числа и делятся на , а и – целые, то тоже делится на .

Формула деления с остатком. Если , то число делится на с остатком .

Например, при делении 9 на 4 мы получаем частное 2 и остаток 1, то есть 9 = 4∙2 + 1.

Четные числа – целые числа, которые делятся на 2. Любое четное число можно записать в виде , где – целое.

Нечетные числа – те целые числа, что не делятся на 2. Любое нечетное число можно записать в виде , где – целое.

Простые числа – те, что делятся только на себя и на единицу. Единица не является ни простым, ни составным числом. Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

  1. Числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, кроме 1.
  2. Любое натуральное число можно разложить на простые множители.
  3. Например, 72 = 2∙2∙2∙3∙3, а 98 = 2∙7∙7.
  4. Основная теорема арифметики: Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых делителей, взятых в натуральных степенях, причем это разложение единственно.
  5. Например, 72 = 2³∙3².
  6. Количество делителей натурального числа равно .
  7. Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее число, которое делится на оба данных числа.
  8. Наибольший общий делитель двух чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое делятся два данных числа.
  9. Признаки делимости
  10. последняя цифра числа четная;
  11. сумма цифр числа делится на 3;
  12. число заканчивается на 0 или на 5;
  13. число, составленное из двух последних цифр числа , делится на 4;
  14. число, составленное из трех последних цифр числа , делится на 8;
  15. сумма цифр числа делится на 9;
  16. последняя цифра числа равна 0;
  17. суммы цифр на четных и нечетных позициях числа равны или их разность кратна 11.

Целые неположительные и целые неотрицательные числа

Дадим определения целых неположительных чисел и целых неотрицательных чисел.

Определение.

Все целые положительные числа вместе с числом нуль называют целыми неотрицательными числами.

Определение.

Целые неположительные числа – это все целые отрицательные числа вместе с числом .

Другими словами, целое неотрицательное число – это целое число, которое больше нуля, либо равно нулю, а целое неположительное число – это целое число, которое меньше нуля, либо равно нулю.

Примерами целых неположительных чисел являются числа −511, −10 030, , −2, а в качестве примеров целых неотрицательных чисел приведем числа 45, 506, , 900 321.

Наиболее часто термины «целые неположительные числа» и «целые неотрицательные числа» используют для краткости изложения. Например, вместо фразы «число a целое, причем a больше нуля или равно нулю» можно сказать «a – целое неотрицательное число».

Данное число простое или составное?

Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.

Пример 1

Доказать что число 898989898989898989 является составным.

Решение

Сумма цифр заданного числа равняется 9·8+9·9=9·17. Значит, число 9·17 делится на 9, исходя из признака делимости на 9. Отсюда следует, что оно составное.

Такие признаки не способны доказать простоту числа.  Если нужна проверка, следует производить другие действия. Самый подходящий способ – это перебор чисел. В течение процесса можно найти простые и составные числа. То есть числа по значению не должны превосходить a.  То есть число а необходимо разложить на простые множители. если это будет выполнено, тогда число а можно считать простым.

Пример 2

Определить составное или простое число 11723.

Решение

Теперь необходимо найти все делители для числа 11723. Необходимо оценить 11723.

Отсюда видим, что 11723<200, то 2002=40 000, а 11 723<40 000. Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200.

Для более точной оценки числа 11723 необходимо записать выражение 1082=11 664, а 1092=11 881, то 1082<11 723<1092. Отсюда следует, что 11723<109. Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

При разложении получим, что 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107 – это все простые числа.  Весь данный процесс можно изобразить как деление столбиком. То есть разделить 11723 на 19. Число 19 является одним из его множителей, так как получим деление без остатка. Изобразим деление столбиком:

Отсюда следует, что 11723 является составным числом, потому как кроме себя и 1 имеет делитель 19.

Ответ: 11723 является составным числом.

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Целые и вещественные числа

Существуют практические задачи, в которых необходимо округлить вещественное значение до целого, то есть заменить его на ближайшее (в ту или иную сторону) целое. Поскольку выполнять округление можно разными способами, для уточнения можно использовать «символы Айверсона»:

⌊x⌋{\displaystyle \lfloor x\rfloor } — ближайшее к x{\displaystyle x} целое в меньшую сторону (функция «пол», англ. floor, или «целая часть»). Традиционно используются также обозначение Гаусса x{\displaystyle } или обозначение Лежандра E(x){\displaystyle E\left(x\right)}.
⌈x⌉{\displaystyle \lceil x\rceil } — ближайшее к x{\displaystyle x} целое в бо́льшую сторону (функция «потолок», англ. ceiling).

В зависимости от особенностей постановки задачи, могут встретиться и другие методы: округлить до ближайшего целого или отсечь дробную часть (последний вариант для отрицательных x{\displaystyle x} отличается от функции «целая часть»).

Другой класс задач, связывающих целые и вещественные числа — приближение вещественного числа отношением целых, то есть рациональным числом. Доказано, что любое вещественное число можно с любой желаемой точностью приблизить рациональным, наилучшим инструментом для такого приближения служат непрерывные (цепные) дроби.

Целые числа — это…

Согласно этому определению, к целым числам можно отнести:

и так далее. Ведь у них нет дробной части. А вот числа:

и так далее не могут считаться целыми, так как у них есть
какие-то цифры после запятой или они являются дробью.

В это множество входят и так называемые натуральные числа (это что?). Это все те,
которые имеют положительное значение, но опять же без дробной
части. Проще говоря, все числа, которые мы используем при счете.
Например, 1, 2, 5, 10, 100 и так далее.

Множество натуральных чисел обознается буквой
N. И зависимость его и множества целых чисел наглядно показана на
следующем рисунке.

Отсюда можно сделать важный вывод:

А можно представить это и в таком варианте. Целые числа —
это:

  1. Натуральные числа;
  2. Ноль;
  3. Отрицательные числа.

Каким бы определением вы не пользовались, главное, чтобы было
все понятно.

внешняя ссылка

  • «Целое число» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001
  • Положительные целые числа — таблицы делителей и средства представления чисел
  • Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей cf OEIS
  • Вайсштейн, Эрик В. «Целое число» . MathWorld .

Эта статья включает в себя материал из Integer на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

vтеКоличество систем
Счетные множества
  • Натуральные числа  ( )N{\displaystyle \mathbb {N} }
  • Целые числа  ( )Z{\displaystyle \mathbb {Z} }
  • Рациональные числа  ( )Q{\displaystyle \mathbb {Q} }
  • Конструируемые числа
  • Алгебраические числа  ( )A{\displaystyle \mathbb {A} }
  • Периоды
  • Вычислимые числа
  • Определимые действительные числа
  • Арифметические числа
  • Гауссовские целые числа
Композиционные алгебры
  • Алгебры с делением : действительные числа  ( )R{\displaystyle \mathbb {R} }
  • Комплексные числа  ( )C{\displaystyle \mathbb {C} }
  • Кватернионы  ( )H{\displaystyle \mathbb {H} }
  • Октонионы  ( )O{\displaystyle \mathbb {O} }
Сплит- типы
  • более :R{\displaystyle \mathbb {R} }
  • Сплит-комплексные числа
  • Сплит-кватернионы
  • Сплит-октонионы над :C{\displaystyle \mathbb {C} }
  • Бикомплексные числа
  • Бикватернионы
  • Биоктонионы
Другой гиперкомплекс
  • Двойные числа
  • Двойные кватернионы
  • Двойные комплексные числа
  • Гиперболические кватернионы
  • Седенионы  ( )S{\displaystyle \mathbb {S} }
  • Сплит-бикватернионы
  • Мультикомплексные номера
  • Геометрическая алгебра
    • Алгебра физического пространства
    • Алгебра пространства-времени
Другие типы
  • Количественные числительные
  • Иррациональные числа
  • Нечеткие числа
  • Гиперреальные числа
  • Поле Леви-Чивита
  • Сюрреалистические числа
  • Трансцендентные числа
  • Порядковые номера
  • p -адические числа( p -адические соленоиды)
  • Сверхъестественные числа
  • Сверхреальные числа
  • Классификация
  • Список
vтеРациональное число
  • Целое число
  • Дедекинда вырезать
  • Диадический рациональный
  • Полуцелое число
  • Суперчастичное соотношение
Авторитетный контроль
  • GND : 4134668-3
  • NDL : 00570428

Место в общей алгебре


Иерархия числовых множеств:N{\displaystyle \mathbb {N} } — натуральные числаZ{\displaystyle \mathbb {Z} } — целые числаQ{\displaystyle \mathbb {Q} } — рациональные числаR{\displaystyle \mathbb {R} } — вещественные числаR∖Q{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } — иррациональные числа

С точки зрения общей алгебры, Z{\displaystyle \mathbb {Z} } относительно сложения и умножения является бесконечным коммутативным кольцом с единицей, без делителей нуля (область целостности). Кольцо целых чисел является евклидовым (и, следовательно, факториальным) и нётеровым кольцом, но не является артиновым. Если расширить это кольцо, добавив к нему всевозможные дроби (см. поле частных), получится поле рациональных чисел (Q{\displaystyle \mathbb {Q} }); в нём уже выполнимо любое деление, кроме деления на ноль.

Относительно операции сложения Z{\displaystyle \mathbb {Z} } является абелевой группой, и, следовательно, также циклической группой, так как каждый ненулевой элемент Z{\displaystyle \mathbb {Z} } может быть записан в виде конечной суммы 1 + 1 + … + 1 или (−1) + (−1) + … + (−1). Фактически, Z{\displaystyle \mathbb {Z} } является единственной бесконечной циклической группой по сложению в силу того, что любая бесконечная циклическая группа изоморфна группе (Z,+){\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}. Относительно умножения Z{\displaystyle \mathbb {Z} } не образует группу, поскольку во множестве целых чисел деление, вообще говоря, невозможно.

Множество целых чисел с обычным порядком является упорядоченным кольцом, но не является вполне упорядоченным, так как, например, среди отрицательных чисел нет наименьшего. Однако его можно сделать вполне упорядоченным, если определить нестандартное отношение «меньше или равно», которое обозначим ≼{\displaystyle \preccurlyeq } и определим следующим образом:

a≼b,{\displaystyle a\preccurlyeq b,} если либо a=b,{\displaystyle a=b,} либо |a|<|b|,{\displaystyle |a|<|b|,} либо |a|=|b|{\displaystyle |a|=|b|} и a<<b.{\displaystyle a<0<b.}

Тогда порядок целых чисел будет таким: ≼−1≼1≼−2≼2…{\displaystyle 0\preccurlyeq -1\preccurlyeq 1\preccurlyeq -2\preccurlyeq 2\dots } В частности, −1{\displaystyle -1} будет наименьшим отрицательным числом. Z{\displaystyle \mathbb {Z} } с новым порядком будет вполне упорядоченным множеством, но уже не будет упорядоченным кольцом, так как этот порядок не согласован с операциями кольца: например, из 1≼−2{\displaystyle 1\preccurlyeq -2}, прибавив слева и справа 1, получаем неверное неравенство 2≼−1.{\displaystyle 2\preccurlyeq -1.}

Любое упорядоченное кольцо с единицей и без делителей нуля содержит одно и только одно подкольцо, изоморфное Z{\displaystyle \mathbb {Z} }.

[править] Химия

Ноль был предложен в качестве атомного номера теоретического элемента тетранейтрон. Было показано, что кластер из четырех нейтронов может быть достаточно стабильным, чтобы считаться атомом сам по себе. Это создаст элемент без протонов и заряда на ядре.

Еще в 1926 году Андреас фон Антропофф ввел термин нейтроний для предполагаемой формы материи, состоящей из нейтронов без протонов, которую он поместил как химический элемент с атомным номером ноль во главе своей новой версии периодической таблицы. Впоследствии он был помещен как благородный газ в середину нескольких спиральных представлений периодической системы для классификации химических элементов.